Первообразная

Устные упражнения

Взаимно-обратные операции в математике Прямая Обратная x 2 Возведение в квадрат sin α = a Синус угла arcsin a = α a [-1;1] Арксинус числа (x n )' = nx n-1 Дифференцирование nx n-1 dx = x n + C Интегрирование

Пояснение в сравнении Производная "Производит" новую ф-ию Первообразная Первичный образ дифференцирован ие вычисление производной интегрирование восстановление функции из производной

Определение первообразной y = F(x) называют первообразной для y = f(x) на промежутке X, если при x X F'(x) = f(x)

Неоднозначность первообразной f(x) = 2x F 1 (x) = x 2 F 2 (x) = x F 3 (x) = x F 1 '(x) = 2x F 2 '(x) = 2x F 3 '(x) = 2x y = f(x) имеет бесконечно много первообразных вида y = F(x)+C, где C - произвольное число

Определение интеграла Если у функции y = f(x) на промежутке X есть первообразная y = F(x), то все множества функций вида y = F(x)+C называют неопределенным интегралом от функции y = f(x) Обозначается как f(x)dx неопределенный интеграл f (эф) от x (икс) d (дэ) x (икс)

Правила интегрирования или свойства и таблицу интегралов самостоятельно смотрим в учебнике

Правила интегрирования

f(x)F(x) 1

Отработка материала Практические задания

Найти одну из первообразных для следующих функций 1) f(x) = 4 2) f(x) = -1 3) f(x) = x 3 4) f(x) = sin x 5) f(x) = x 2 + 3cos x

Док-ть, что F(x) первообразная для f(x) на заданном промежутке Условия Дано: F(x) = 3x 4 Док-ть: f(x) = 12x 3 при x (-;+) Доказательство Найдем производную F(x) : F'(x) = (3x 4 )' = 12x 3 = f(x) F'(x) = f(x), значит F(x) = 3x 4 первообразная для f(x) = 12x 3

Задачи на доказательство:

Определенный интеграл