ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ

Учебник по теории вероятностей 1.7. Независимые испытания. Формула Бернулли Спасибо, что читаете и делитесь с другими При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли. Примеры повторных испытаний: 1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну; 2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается). Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А А в единичном испытании буквой р р, т.е. p=P(A) p=P(A), а вероятность противоположного события (событие А А не наступило) - буквой q=P(A ¯¯¯¯ )=1p q=P(A¯)=1p. Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли P n (k)=C kn p k q nk,q=1p. Pn(k)=Cnk pk qnk,q=1p. Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения. Онлайн-калькуляторы на формулу Бернулли Некоторые наиболее популярные типы задач, в которых используется формула Бернулли, разобраны в статьях и снабжены онлайн-калькулятором, вы можете перейти к ним по ссылкам: Задача про партии в шахматы Задача про выстрелы Задача про мальчиков и девочек Задача про лотерейные билеты Примеры решений задач на формулу Бернулли Пример. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых. Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности,. По формуле Бернулли требуемая вероятность равна. Пример. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми. Решение. Вероятность рождения девочки, тогда. Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:,,,. Следовательно, искомая вероятность. Пример. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными. Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - «появление нестандартной детали», его вероятность, тогда. Отсюда по формуле Бернулли находим. Пример. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19. Решение. Вычисляем по формуле Бернулли: Пример. Независимые испытания продолжаются до тех пор, пока событие А не произойдет краз. Найти вероятность того, что потребуется n испытаний (n ³ k), если в каждом из них. Решение. Событие В – ровно n испытаний до k-го появления события А – есть произведение двух следующий событий: D – в n-ом испытании А произошло; С – в первых (n–1)-ом испытаниях А появилось (к-1) раз. Теорема умножения и формула Бернулли дают требуемую вероятность: Надо заметить, что использование биномиального закона зачастую связано с вычислительными трудностями. Поэтому с возрастанием значений n и m становится целесообразным применение приближенных формул (Пуассона, Муавра-Лапласа), которые будут рассмотрены в следующих разделах.Пуассона Муавра-Лапласа Видеоурок формулу Бернулли