Решение СЛУ методом Гаусса

Метод Гаусса – это просто! Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». Портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок. Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может: 1) Иметь единственное решение. 2) Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной).

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу!

Как решить систему линейных уравнений и решим ее методом Гаусса На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы:.

По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае:

После того, как расширенная матрица системы записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями. Существуют следующие элементарные преобразования: 1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:

2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например, матрицу В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них:

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. 4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: Сначала распишем преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2:

и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2: Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ – не изменилась. Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ. На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче:

Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений ! ВНИМАНИЕ: рассмотренные манипуляции нельзя использовать, если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя!

Вернемся к нашей системе Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. И снова: почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке. (2) Делим вторую строку на 3.

Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому виду: В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид. В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса. В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»: Ответ:

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Пример 1 Решить методом Гаусса систему уравнений: Запишем расширенную матрицу системы: Сейчас нарисуем результат, к которому мы придём в ходе решения:

И повторимся, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия? Сначала смотрим на левое верхнее число: Почти всегда здесь должна находиться единица. Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче. Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2: Результат записываем во вторую строку:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3: Результат записываем в третью строку:

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг: Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»: В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2: Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3. В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх. В третьем уравнении у нас уже готовый результат: Смотрим на второе уравнение Значение «зет» уже известно, таким образом:

И, наконец, первое уравнение: «Игрек» и «зет» известны, дело за малым: Ответ: Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.

Пример 2 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса Пример 3 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Пример 4 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса Пример 5 Решить методом Гаусса систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными.