Представление числовой информации в ПК Мясникова О.К.

Представление числовой информации в ПК Формат с фиксированной точкой (только целые) Формат с плавающей точкой (вещественные)

Представление чисел в формате с фиксированной запятой Целые числа. Каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, запятая находится справа после младшего разряда. Целые числа. Каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, запятая находится справа после младшего разряда. Для хранения целых неотрицательных чисел отводится одна ячейка памяти (8 бит), 2 ячейки памяти (16 бит). Для хранения целых неотрицательных чисел отводится одна ячейка памяти (8 бит), 2 ячейки памяти (16 бит). В k-разрядной ячейке может храниться 2 k различных значений целых чисел. (из 2х =4, из 3х =8, из 4х – 2 4 =16 и т.д.) В k-разрядной ячейке может храниться 2 k различных значений целых чисел. (из 2х =4, из 3х =8, из 4х – 2 4 =16 и т.д.) Например, число А 2 = будет храниться в ячейке следующим образом: Например, число А 2 = будет храниться в ячейке следующим образом: Максимальное значение достигается, когда во всех ячейках будут 1. Максимальное значение достигается, когда во всех ячейках будут 1. Для n-разрядного представления 2 n -1 Для n-разрядного представления 2 n

Представление чисел в формате с фиксированной запятой Целые числа без знака в двухбайтовом формате могут принимать значения Целые числа без знака в двухбайтовом формате могут принимать значения От 0 до (до 65535) Целые числа со знаком в двухбайтовом формате могут принимать значения Целые числа со знаком в двухбайтовом формате могут принимать значения От до ( от до ) Например, 19 ( ) в 16-разрядном представлении в памяти ПК записывается так: Например, 19 ( ) в 16-разрядном представлении в памяти ПК записывается так: поле числа знак числа

Алгоритм внутреннего представления целого положительного числа N, хранящегося в k-разрядном машинном слове: 1. Перевести число N в двоичную СС 2. Полученный результат дополнить слева незначащими нулями до k разрядов.

Пример 1. Пример 1. Получить внутреннее представление целого положительного числа 1607 в 2-х байтовой ячейке. Решение 1. N= = Внутреннее представление числа: Шестнадцатеричная форма внутреннего представления числа: 0647

Представление целого отрицательного числа Формирование дополнительного кода 1. Дополнительный код позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения. 2. Дополнительный код отрицательного числа А, хранящегося в n ячейках, равен 2 n - ׀A׀ 2 n - ׀A׀ Дополнение модуля отрицательного числа А до 0 Дополнение модуля отрицательного числа А до 0

Алгоритм внутреннего представления целого отрицательного числа N, хранящегося в k-разрядном машинном слове: 1. Получить внутреннее представление положительного числа N. 2. Получить обратный код этого числа заменой 0 на 1 и 1 на 0. заменой 0 на 1 и 1 на К полученному числу добавить 1. Данная форма представления целого отрицательного числа называется дополнительным кодом.

Пример 2. Пример 2. Запишите дополнительный код отрицательного числа для 16- разрядного компьютерного представления. Прямой код модуля | | Обратный кодИнвертировани е Прибавление единицы Дополнительн ый код

Десятичное числоПрямой кодОбратный кодДополнительный код Выполнить арифметическое действие в 16-ти разрядном компьютерном представлении. Примеры. Выполнить арифметическое действие в 16-ти разрядном компьютерном представлении. 2) Сложим прямой код положительного числа с дополнительным кодом отрицательного числа. Получим результат в дополнительном коде: ) Переведем полученный дополнительный код в десятичное число: 1.Инвертируем дополнительный код: Прибавим к полученному коду 1 и получим модуль отрицательного числа: Переведем в десятичное число и припишем знак отрицательного числа: ) 1) Представим положительное число в прямом, а отрицательное число в дополнительном коде:

Достоинства представления чисел в формате с фиксированной точкой Простота Наглядность представления чисел Простота алгоритмов реализации арифметических операций Недостатки представления чисел в формате с фиксированной точкой небольшой диапазон представления величин, недостаточный для решения математических, экономических и др. задач.

Задания Компьютер работает только с целыми положительными числами. Каков диапазон изменения чисел, если для представления числа в памяти компьютера отводится 1 байт? От 0 до 255 Каков диапазон изменения целых чисел (положительных и отрицательных), если в памяти ПК для представления целого числа отводится 1 байт? От -128 до 128 Компьютер работает только с целыми положительными числами. Каков диапазон изменения чисел, если для представления числа в памяти компьютера отводится 4 байт? От 0 до Каков диапазон изменения целых чисел (положительных и отрицательных), если в памяти ПК для представления целого числа отводится 4 байта? От до

Индивидуальная работа Получить двоичную форму внутреннего представления целого числа в 2-х байтовой ячейке. Получить двоичную форму внутреннего представления целого числа в 2-х байтовой ячейке. Получить шестнадцатеричную форму внутреннего представления целого числа в 2-х байтовой ячейке. Получить шестнадцатеричную форму внутреннего представления целого числа в 2-х байтовой ячейке. По шестнадцатеричной форме внутреннего представления целого числа в 2-х байтовой ячейке восстановить само число. По шестнадцатеричной форме внутреннего представления целого числа в 2-х байтовой ячейке восстановить само число.

Представление чисел в формате с плавающей запятой Базируется на экспоненциальной форме записи числа: Базируется на экспоненциальной форме записи числа: A = m *q n A = m *q n m - мантисса числа m - мантисса числа Q – основание СС Q – основание СС N – порядок числа N – порядок числа Для единообразия представления чисел используется нормализованная форма: Для единообразия представления чисел используется нормализованная форма: 1/n

Пример Число в форме с плавающей точкой занимает в памяти компьютера 4 или 8 байт. Число в форме с плавающей точкой занимает в памяти компьютера 4 или 8 байт. При записи числа с плавающей точкой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы. При записи числа с плавающей точкой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы. Любое вещественное число в современных ПК представляется в экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой. При этом мантисса является правильной двоичной дробью, а порядок целым числом. Любое вещественное число в современных ПК представляется в экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой. При этом мантисса является правильной двоичной дробью, а порядок целым числом. Преобразуйте десятичное число 888,888, записанное в естественной форме, в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой. Преобразуйте десятичное число 888,888, записанное в естественной форме, в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой. 888,888 = 0, × 103 Нормализованная мантисса m А = 0,888888, порядок P=3.

Представление чисел в формате с плавающей запятой Занимает в памяти ПК 4 (обычная точность) или 8 байтов (двойная точность) Занимает в памяти ПК 4 (обычная точность) или 8 байтов (двойная точность) Выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы. Выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы. 1-й байт 2-й байт 3-й байт 4-й байт 1-й байт 2-й байт 3-й байт 4-й байт Знак числа маш. порядок М А Н Т И С С А

Представление чисел в формате с плавающей запятой 1-й байт 2-й байт 3-й байт 4-й байт 1-й байт 2-й байт 3-й байт 4-й байт ± маш. порядок М А Н Т И С С А в старшем бите 1-го байта хранится знак числа 0 – обозначает плюс, 1 – минус; 7 бит содержат машинный порядок; в следующих трех байтах, хранятся значащиеся цифры мантиссы (24 разряда).

В оставшихся семи разрядах 1-го байта Помещается двоичное число в диапазоне от до , т.е. машинный порядок изменяется в диапазоне от 0 до 127 (всего 128). Порядок м.б. положительным и отрицательным, разумно 128 значений делить поровну: от -64 до +63. Машинный порядок смещен относительно математического и имеет только положительные значения. Смещение выбирается так, чтобы минимальному математическому значению соответствовал нуль. Машинный десятичное Математический Смещение порядок число порядок = = = М Р =Р+64

Алгоритм записи внутреннего представления вещественного числа 1. Перевести модуль числа в двоичную СС с 24 значащими цифрами. 2. Нормализовать двоичное число. 3. Найти машинный порядок в двоичной СС. 4. Учитывая знак числа, записать его в 4-х байтовом машинном слове.

Пример 1. Записать внутреннее представление числа 250,1875 в форме с плавающей точкой. Решение 1. Переведем в двоичную СС: 50, = , , = , Запишем в форме нормализованного двоичного числа: 0, * (мантисса, основание СС 2 10 =10 2 и порядок 8 10 = ) (мантисса, основание СС 2 10 =10 2 и порядок 8 10 = ) 3. Вычислим машинный порядок в двоичной СС: Мp 2 = = Мp 2 = = Запишем число в 4-х байтовой ячейке: Шестнадцатеричная форма 48FA3000 Шестнадцатеричная форма 48FA3000

Пример 2. По шестнадцатеричной форме внутреннего представления числа в форме с плавающей точкой CC восстановить число. Решение 1. Перейдем к двоичному представлению числа: В старшем разряде с номером 31 записана 1, значит получен код отрицательного числа. Получим порядок числа: p= – = , · Запишем в виде нормализованного дв. числа с плавающей точкой с учетом знака числа: -0, · , В двоичной системе СС число имеет вид: , Переведем число в десятичную СС: ,001 2 =-(1*2 8 +1*2 1 +1* 2 -3)=-258, ,001 2 =-(1*2 8 +1*2 1 +1* 2 -3)=-258,125 10

Представление чисел в формате с плавающей запятой Занимает в памяти ПК 4 (обычная точность) или 8 байтов (двойная точность) Занимает в памяти ПК 4 (обычная точность) или 8 байтов (двойная точность) Выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы. Выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы. Максимальное значение порядка числа: Максимальное значение порядка числа: = = Максимальное значение числа составляет: Максимальное значение числа составляет: = 1, * = 1, *10 38 Максимальное значение положительной мантиссы равно: Максимальное значение положительной мантиссы равно: ~ 2 23 = 2 (10*2,3) ~ ,3 = 10 (2,3*3) ~ ~ 2 23 = 2 (10*2,3) ~ ,3 = 10 (2,3*3) ~ 10 7 Максимальное значение чисел обычной точности вычислений составляет 1, *10 38

Задания 1. Заполните таблицу: Десятичное Прямой Обратный Дополнительный число код код код число код код код Определите диапазон представления целых чисел со знаком (2 байта памяти) в формате с фиксированной запятой. 3. Определите максимальное число и его точность для формата чисел двойной точности, если для хранения порядка и его знака отводится 11 разрядов, а для хранения мантиссы и ее знака -53 разряда.

ОТВЕТЫ ОТВЕТЫ 2. От до Максимальное значение чисел двойной точности с учетом возможной точности вычислений составит 8, * (количество значащих цифр десятичного числа в данном случае ограничено разрядами). 1. Десятичные числа Прямой кодОбратный кодДополнительный код