Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуется не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами(или коротко векторами). Рассмотрим пример. Пусть на тело действует сила 8Н. На рисунке силу изображают отрезком со стрелой(рис.1). Стрелка указывает направление силы, а длина отрезка соответствует в набранном масштабе числовому значению силы. Так на(рис.1) сила в 1Н изображена отрезком длиной 0,6 см, поэтому сила в 8Н изображена отрезком длиной 4,8 см. Отвлекаясь от конкретных свойств физических векторных величин, мы приходим к геометрическому понятию вектора. Рассмотрим произвольный отрезок. Его концы называются также граничными точками отрезка. На отрезке можно указать два направления: от одной граничной точки к другой и наоборот(рис.2). Чтобы выбрать одно из направлений, одну граничную точку отрезка назовем началом отрезка, а другую - концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу. Рис.1 1Н АВ 8Н Рис.2

Определение: отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором. Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, на рисунке такой вектор изображается одной точкой. Нулевой вектор обозначается буквой М, то данный нулевой вектор можно обозначить так: ММ. Нулевой вектор обозначается также символом 0. Длинной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ. Длина вектора АВ(вектор а) обозначается так: АВ (|а|). Длина нулевого вектора считается равной нулю: |0|=0.

Коллинеарные вектора – нулевые вектора, лежащие либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. коллинеарные вектора коллинеарные вектора сонаправленные противоположно-направленные сонаправленные противоположно-направленные а d b cb c а b a c b d c d сонаправленные АВав Пртивоположно-направленные АВ ав Векторы называются равными, если они сонаправленны и их длины равны. а=dа=d, если 1.|а|=|d| 2. а d

Если точка А-начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки А(рис.3). Докажем следующее утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один. В самом деле, если а-нулевой вектор, то искомым вектором является вектором ММ. Допустим, что вектор а нулевой, а точки А и В-его начало и конец. Проведем через точку М прямую p, параллельную АВ. На прямой p отложим отрезки MN и MN тот, которой сонаправлен с вектором а. Из построения следует, что такой вектор только один. В самом деле, если а-нулевой вектор, то искомым вектором является вектором ММ. Допустим, что вектор а нулевой, а точки А и В-его начало и конец. Проведем через точку М прямую p, параллельную АВ. На прямой p отложим отрезки MN и MN тот, которой сонаправлен с вектором а. Из построения следует, что такой вектор только один. замечание: замечание: Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Так обозначены, например, равные векторы скорости различных точек (рис.4). Иногда про такие вектора говорят, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Так обозначены, например, равные векторы скорости различных точек (рис.4). Иногда про такие вектора говорят, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек.

1. в прямоугольнике АВСД АВ=3см, ВС=4см, М-середина стороны АВ. Найдите длины векторов АВ, ВС, ДС, МС, МА, СД, АС. РЕШЕНИЕ: РЕШЕНИЕ: АВСД-прямоугольник. АВСД-прямоугольник. АВ=3см, ВС=4см, М-середина АВ. АВ=3см, ВС=4см, М-середина АВ. |АВ|=3см |ВС|=4см |ДС|=3см |МС|=МС=ВС+ВМ=16+225=18,25 |МА|=1.5см |СВ|=4см |АС|=5см А В С Д

2.В параллелограмме АВСД диагонали пересекаются в точке О.Равны ли векторы: 1)АВ и ДС; 2)ВС и ДА; 3)АО и ОС; 4)АС и ВД.2.В параллелограмме АВСД диагонали пересекаются в точке О.Равны ли векторы: 1)АВ и ДС; 2)ВС и ДА; 3)АО и ОС; 4)АС и ВД. РЕШЕНИЕ: РЕШЕНИЕ:ДАНО:АВСД-парал. О-точка пересеч.диагоналей. 1) АВ=ДС 2)ВС=АД3)АО=ОС4)АС=ВД А В С Д О

Рассмотрим пример: пусть материальная точка переместилась из точки А в точку В, а затем из точки В в точку С. В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами АВ и ВС, материальная точка переместилась из точки А в точку С. Поэтому это перемещение можно представить вектором АС. Поскольку перемещение из точки А в точку С складывается из перемещения из А в В и перемещения из В в С, то вектор АС естественно называть суммой векторов АВ и ВС:АС=АВ+ВС. А В С

Пусть а и в-два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор АВ, равный а. Затем от точки В отложим вектор ВС, равный в. Вектор АС называется сумма векторов а и в(рис.5). ТЕОРЕМА: для любых векторов а,в и с справедливы равенства: 1. а+в=в+а (переместительный закон). 1. а+в=в+а (переместительный закон). 2. (а+в)+с=а+(в+с) (сочетательный закон). 2. (а+в)+с=а+(в+с) (сочетательный закон). а в ав А В С Рис.5 аа в в а+в А В С Д Переместительный закон

От любой точки А отложим От любой точки А отложим вектор АВ=а, от точки В- вектор АВ=а, от точки В- отложим вектор ВС=в, а от отложим вектор ВС=в, а от точки С-вектор СД=с. точки С-вектор СД=с. Применяя правило Применяя правило треугольника, получим: треугольника, получим: (а+в)+с=(АВ+ВС)+СД=АС+СД=АД, (а+в)+с=(АВ+ВС)+СД=АС+СД=АД, а+(в+с)=АВ+(ВС+СД)=АВ+ВД=АД. Отсюда следует, что а+(в+с)=АВ+(ВС+СД)=АВ+ВД=АД. Отсюда следует, что (а+в)+с=а+(в+с). (а+в)+с=а+(в+с). а в с а в с А ВС Д

Правило многоугольника можно сформулировать также следующим способом:если А 1,А 2,…,А Н -произвольные точки плоскости, то А 1 А 2 +А 3 А 2 +…+А Н-1 =А 1 А Н.Это равенство справедливо для любых точек А 1,А 2,…,А Н, в частности в том случае, когда некоторые из них совпадают. Например, если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору. а1а1 а3а3 а2а2 а4а4 а5а5 а6а6 а1а1 а2а2 а3а3 а4а4 а5а5 а6а6 p p=а 1 +а 2 +а 3 +а 4 +а 5 +а 6

Разность векторов а и в называется такой вектор, сумма которого с вектором в равна вектору а. Разность векторов а и в обозначаются так: а-в. ТЕОРЕМА: для любых векторов а и в справедливо равенство а-в=а+(-в). Доказательство: По определению разности векторов (а-в)+в=а. прибавив к обеим частям этого равенства вектор (-в), получим (а-в)+в+(-в)=а+(-в),или (а-в)+в+(-в)=а+(-в),или (а-в)+0=а+(-в),откуда (а-в)+0=а+(-в),откуда а-в=а+(-в). а-в=а+(-в). теорема доказана. теорема доказана.

1.Турист прошел 20км на восток из города А в город В, а потом 30км на восток в город С. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы АВ и ВС. Равны ли векторы АВ+ВС и АС? Решение.АВ=20кмВС=30км АС=50км, т.е АВ+ВС=АС, получим АС=20км+30км=50км. получим АС=20км+30км=50км. ЗАДАЧА 2. ЗАДАЧА 2. Начертите попарно неколлинеарные вектора а,в,с,д,е и, пользуясь правилом многоугольника, постройте вектор а+в+с+д+е. АС В 2030 а в с д еp

Задача 3. дан треугольник АВС. Выразите через векторы а=АВ и в=АС следующие векторы: а)ВА; в) СВ; с)СВ+ВА. РЕШЕНИЕ: А)векторы ВА и АВ-противоположные, поэтому ВА=-АВ, или ВА=-а. А)векторы ВА и АВ-противоположные, поэтому ВА=-АВ, или ВА=-а. В) по правилу треугольника СВ=СА+АВ. Но СА=-АС, поэтому В) по правилу треугольника СВ=СА+АВ. Но СА=-АС, поэтому СВ=АВ+(-АС)=АВ-АС=а-в. СВ=АВ+(-АС)=АВ-АС=а-в. А В С