Площадь поверхности фигур вращения б Выполнил: Денисов Павел 11 б класса.

История развития. В XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести. Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Цилиндр. Прямым круговым цилиндром называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг своей стороны. Образующая цилиндра при вращении вокруг оси образует боковую (цилиндрическую) поверхность цилиндра. Приведем формулы для вычисления площадей боковой Sб поверхностей: Sб = H · C = 2πRH

Конус. Прямым круговым конусом называется тело, образованное при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета. При вращении образующей PA вокруг оси PO образуется боковая (коническая) поверхность конуса. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Следовательно,

Усечённый конус. Усеченным конусом называется часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, плоскость которого параллельна плоскости основания. Боковая поверхность усеченного конуса может быть найдена по формуле Sб = π(R + r)l

Сфера. Шар. Множество всех точек пространства, одинаково удаленных на расстояние R от данной точки O, называется сферой. В отличии от боковой поверхности цилиндра или конуса сферу нельзя развернуть на плоскость, и, следовательно, для неё непригоден способ определения и вычисления площади поверхности с помощью развёртки. Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного сногогранника. Многогранник называется описанным около сферы(шара), если сфера касается его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник. С помощью нахождения предела мы выведем формулу: S = 4ПR2

Задачи. Цилиндр. 1. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найти площадь боковой поверхности цилиндра. Решение: Искать площадь мы будем по формуле Sб = H · C = 2πRH. Так как, диаметр D = 2R, отсюда делаем вывод, что R= 0,5. С - длина окружности по условию равна высоте или образующей цилиндра. С=2ПR=ПD, отсюда Н = П. Подставим данные в формулу Sб = H · C = 2πRH = 2П · 0,5 · П = П2 м2.

Задачи. Цилиндр. 2. Сколько понадобиться краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с диаметром основания 1,5 м и высотой 3 м, если на один квадратный метр расходуется 200 г краски? Ответ: 1,125П кг. 3. Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288П см2. Найдите радиус основания и высоту цилиндра. Ответ: 6 см, 18 см. 4. Сколько квадратных метров листовой жести пойдёт на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади её боковой поверхности? Ответ: 0,82П 2, 58 м2. 5. Угол между диагоналями развёртки боковой поверхности цилиндра равен φ, диагональ равна d. Найдите площадь боковой поверхности и полной поверхности цилиндра. Ответ: Sб = 0,5d2sinφ Sп = 0,5d2sinφ+(1/2П)d2sin2(φ/2) 0,5d2sinφ+(1/2П)d2cos2(φ/2)

Задачи. Конус. 1.Угол между образующей и осью конуса равен 450, образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса Решение: РА – образующая равна 6,5 см. треугольник РОА – прямоугольный и равносторонний, потому что угол РАО = РО = ОА. Пусть РО = x, тогда по теореме Пифагора X 2 + X 2 = (6,5) 2 2X 2 = 42,25 X 2 = 21,125 X = 4,6 R=4,6 Sб = П · 4,6 · 6,5 = 29,9П

Задачи. Конус. 2. Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см 2. Высота конуса равна 1,2 см. вычислите площадь полной поверхности конуса. Ответ: 0,9П см Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхности образованного при этом вращении конуса. Ответ: Sб = 80П см 2. Sп = 144П см Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна m, а угол при основании равен φ, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника. Ответ: 2Пm 2 sinφ 5. Ведро имеет форму усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 15 см и 10 см, а образующая равна 30 см. сколько килограммов краски нужно взять для того, чтобы покрасить с обеих сторон 100 таких ведер, если на 1 м 2 требуется 150 г краски? (Толщину стенок ведер в расчёт не принимать.) Ответ:2,55П 8,011 кг.

Задачи. Сфера, шар. 1. Площадь сечения сферы, проходящего через её центр, равна 9 м 2. Найти площадь сферы. Решение: Воспользуемся формулой S = 4ПR 2. для нахождения площади нам нужно найти R. Площадь сечения находиться с помощью формулы: S = ПR 2, отсюда следует, что ПR 2 = 9, значит R 2 = 9/П Подставим значение в формулу и получим: S = 4· П· 9/П = 36 м 2.

Задачи. Сфера, шар. 2. Площадь сферы равна 324 см 2. Найдите радиус сферы. Ответ: 3. Радиусы двух параллельных сечений сферы равны 9 см и 12 см. Расстояние между секущими плоскостями равно 3 см. найдите площадь сферы. Ответ: 900П см 2 4. Радиусы сечений сферы двумя взаимно перпендикулярными плоскостями равны r 1 и r 2. Найдите площадь сферы, если сечения имеют единственную общую точку. Ответ: 4П(r r 2 2 ). 5. Используя формулу площади сферы, докажите, что площадь полной поверхности цилиндра, полученного при вращения квадрата вокруг одной из его сторон, равна площади сферы, радиус которой равен стороне квадрата. Ответ:

Применение в жизни Каждый день человек встречает фигуры вращения перед собой. Начиная от кружки утром и заканчивая зубной пастой вечером. Даже обычная пластиковая бутылка состоит из множества различных фигур вращения. С виду незначительные вещи нашли отличное применение в многих отраслях науки. Какой астроном сможет посчитать площадь планеты без знания элементарных формул. Так же тяжело гидрогеологу посчитать запасы воды без этих фигур. Строители, технологи, врачи и многие другие, тоже увидели многофункциональность и полезность этих фигур.