Презентация «Логиков»

1.Обосновала существование лишь три базовых логических элементов 2.Смоделировала все логические операции с использованием логических элементов и обосновала правильность модели с помощью табличного процессора. В ходе исследования наша группа решила следующие проблемные вопросы:

Алгебра логики это математический аппарат, с помо- щью которого записывают, вычисляют, упрощают и пре- образовывают логические высказывания. Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английс- кий математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний.

Логическое высказывание это любoе повествователь- ное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo. Так, например, предложение 8 четное число следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение Два умножить на два равно пяти тоже высказыва- ние, так как оно ложное. Разумеется, не всякое предложение является логическим высказы- ванием. Высказываниями не являются, например, предложения ученик десятого класса и информатика интересный пред- мет. Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие интересный предмет. Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла. Высказывания бывают общими, частными и единичными. Общее высказывание начинается со слов: все, каждый, ни один. Частное высказывание начинается со слов: некоторые, большинство. Во всех других случаях высказывание является единичным. ДалееНазад

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказыва- ния. Так, например, высказывание площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв. км в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой истинным. Ложным так как указанное зна- чение неточное и вообще не является постоянным. Истинным если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на прак- тике. Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не, и, или, если..., то, тогда и только тогда и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками. Высказывания, которые нельзя разбить на более мелкие выска- зывания, называются элементарными. Высказывания, образованные из других высказываний с помо- щью логических связок, называются составными.

Так, например, из элементарных высказываний Петров врач, Петров шахматист при помощи связки и можно получить сос- тавное высказывание Петров врач и шахматист, понимаемое как Петров врач, хорошо играющий в шахматы. При помощи связки или из этих же высказываний можно получить составное высказывание Петров врач или шахматист, понимае- мое в алгебре логики как Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно. Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний. Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают име- Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают име-на. А Тимур поедет летом на море В Тимур летом отправится в горы. Тогда составное высказывание Тимур летом побывает и на море, и в горах можно кратко записать как А и В. Здесь и логическая связка, А, В логические переменные, которые могут принимать только два значения истина или ложь, обозна- чаемые, соответственно, 1 и 0. Каждая логическая связка рассматривается как операция над логи- ческими высказываниями и имеет свое название и обозначение.

Операция, выражаемая словом не, называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ). Высказывание Ā истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример: Луна спутник Земли (А); Луна не спутник Земли (Ā). Операция, выражаемая связкой и, называется конъюнкцией или логическим умножением и обозначается точкой (может также обозначаться знаками или &). Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда оба высказы- вания А и В истинны. 10 делится на 2 и 5 больше 3 - истинно 10 делится на 2 и 5 не больше 3 - ложно 10 не делится на 2 и 5 больше 3 - ложно Операция, выражаемая связкой или (в неразделительном, неис- ключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией или логи- ческим сложением и обозначается знаком (или плюсом). Высказывание А В ложно тогда и только тогда, когда оба высказы- вания А и В ложны. 10 не делится на 2 или 5 не больше 3 - ложно 10 делится на 2 или 5 больше 3 - истинно 10 делится на 2 или 5 не больше 3 - истинно 10 не делится на 2 или 5 больше 3 - истинно Таблица истинности

Таблицы истинности AĀ AB AB AB AB

Операция, выражаемая связками если..., то, из... следует,... влечет..., называется импликацией и обозначается знаком. Высказывание А В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. Каким же образом импликация связывает два элементарных выска- зывания? Покажем это на примере высказываний: А - данный четырёхугольник квадрат В - около данного четырёхугольника можно описать окружность А В - если данный четырёхугольник квадрат, то около него А В - если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность. Есть три варианта, когда высказывание А В истинно: 1. А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квад- рат, и около него можно описать окружность; 2. А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не явля- ется квадратом, но около него можно описать окружность (разуме- ется, это справедливо не для всякого четырёхугольника); Таблица истинности

3. A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не являет- ся квадратом, и около него нельзя описать окружность. Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность. В обычной речи связка если..., то описывает причинно-следствен- ную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл вы- сказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться бессмысленностью имп- ликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: если президент США демократ, то в Африке водятся жирафы, если арбуз – ягода, то в бензоколонке есть бензин,если арбуз – ягода, то в бензоколонке есть бензин, если Волга впадает в Каспийское море, то катет короче гипотенузы,если Волга впадает в Каспийское море, то катет короче гипотенузы, если Москва – столица России, то гепард – самое быстрое животное.если Москва – столица России, то гепард – самое быстрое животное. ДалееНазад

Операция, выражаемая связками тогда и только тогда, "необходимо и достаточно,... равносильно..., называет- ся эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. 24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 - истинно 23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3 – истинно 24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5 – ложно 21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3 – ложно Высказывания А и В, образующие составное высказывание А В, могут быть совершенно не связаны по содержанию. Пример: А - три больше двух В - пингвины живут в Антарктиде Ā - три не больше двух В - пингвины не живут в Антарктиде Тогда: и истинны, а и ложны. ДалееНазад Таблица истинности

Итак, нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция. Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание: Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточ- но, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания. Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобка- ми. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания (не), затем конъюнкция (и), после конъюнкции дизъюнкция (или) и в последнюю очередь импликация. ДалееНазад

Таблица истинности основных операций алгебры логики Для каждого составного высказывания (логического выражения) мож- но построить таблицу истинности, которая определяет его истин- ность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значе- ний элементарных высказываний (логических переменных). Рассмотрим для основных операций алгебры логики таблицы истинности: Для того, чтобы составить таблицу истинности для импликации и эквиваленции, можно воспользоваться формулами: и ABĀ

Логический элемент компьютера Логический элемент компьютера это часть электронной ло- гической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию. Логические элементы компьютеров: электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и другие (называемые схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ также вентилями), триггертриггер. триггер С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функ- цию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода. Чтобы представить два логических состояния 1 и 0 в венти- лях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения. Например, +5 В и 0 В. Высокий уровень обычно соответствует значению истина (1), а низкий значению ложь (0). Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, ко- торое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем. Работу логических элементов описывают с помощью таблиц ис- таблиц ис-таблиц ис- тинности. Далее Назад

Схема И Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя вхо- дами представлено на рисунке. Таблица истинности в таблице. Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль. Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается со- отношением: Операция конъюнкции на функциональных схемах обозначается зна- ком & (читается как "амперсэнд"). XY Далее Назад

Схема ИЛИ Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значе- ний. Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на её выхо- де также будет единица. Условное обозначение схемы ИЛИ представлено на рисунке. Знак 1 на схеме от устаревшего обозначения дизъюнкции как ">=1" (т.е. значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1). Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается со- отношением:. Таблица истинности в таблице. ХY ДалееНазад

Схема НЕ Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания. Связь между входом x этой схемы и выходом z можно записать со- отношением, где - инверсия х. Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0. Условное обозначение инвертора на рисунке, а таблица истинности в таблице. в таблице.ХХ01 10 Назад