Оглавление Эпиграф Портреты Пифагора Родина ученого Жизненный путь Пифагора Предписания пифагорейского ордена Ученики Пифагора Числовые значения Одним из любимых его изречений было Шаржи из учебника XVI века к теореме Пифагора Теорема Пифагора Доказательства теоремы Пифагора Задачи с применением теоремы Пифагора Пифагоровы деревья Пифагор(кратер луны)

Эпиграф Уделом истины не может быть забвенье, Как только мир ее увидит взор, И теорема та, что дал нам Пифагор, Верна теперь, как в день ее рожденья. За светлый луч с небес вознес благодаренье Мудрец богам не так, как было до тех пор. Ведь целых сто быков послал он под топор, Чтоб их сожгли как жертвоприношенье. Быки с тех пор, как только весть услышат, Что новой истины уже следы видны, Отчаянно мычат и ужаса полны: Им Пифагор навек внушил тревогу. Не в силах преградить той истине дорогу, Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат. (А.фон Шамиссо, перевод Хованского)

Портреты Пифагора

Родина ученого о. Самос (Греция)

Жизненный путь Пифагора Греция (о. Самос) Египет Вавилон Греция (о. Самос) Южная Италия (г. Кротон)

Предписания пифагорейского ордена: Воздерживайся от употребления в пищу бобов. Не поднимай то, что упало. Не прикасайся к белому петуху. Не ломай хлеба. Не шагай через перекладину. Не размешивай огонь железом. Не откусывай от целой булки. Не ощипывай венок. Сердца не ешь. Не ходи по большой дороге. Не дозволяй ласточкам жить под крышей. Вынимая горшок из огня, не оставляй следа его на золе, но помешай золу. Не смотрись в зеркало около огня. Когда встаешь с постели, сверни постельное белье и разгладь оставшиеся на нем следы твоего тела.

Ученики Пифагора последователи и продолжатели дела (их называли пифагорейцами, эзотериками, познавателями) подражатели (пифагористы, экзотерики или акусматики)

Пословицы, отражающие основные ключевые позиции философии Пифагора. Что самое праведное? Жертвовать.Что самое праведное? Жертвовать. Что самое мудрое? Наука врачевания. Что самое прекрасное? Гармония. Что самое сильное? Мысль. Что самое лучшее? Счастье. Какое высказывание можно считать самым правдивым? Что люди злы.

( )+ ( ) = 36. (1³+2³+3³) = 36. Самая страшная клятва - число 36.

Тело выражалось числом 211 огонь - числом 11, воздух- 13, вода - 9. Качество и цвет - это цифра 5; созидательная способность жизни цифра 6; 7 символизировала жизненный принцип, здоровье, циклы и биоритмы; 8 (октава) - любовь и дружбу. а число 10 представляло собой совершенство - тетрактис ( ) Числовые значения

Шаржи из учебника XVI века к теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два. Теорема доказана. Простейшее доказательство А B C

с с с с Доказательство Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, Ь и гипотенузой с (рис). Докажем, что с ² = а ² + Ь ². Достроим треугольник до квадрата со стороной а + Ь так, как показано на рисунке. Площадь S этого квадрата равна (а + Ь) ². С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 1/2аЬ, и квадрата со стороной с, поэтому S =4 1/2аЬ + с ² = == =2аЬ + с ². Таким образом, (а + Ь) ² = 2аЬ + с ², откуда с ² = а ² + Ь ². Теорема доказана. а b b b b а а а Теорема Пифагора

Треугольник ABC с прямым углом C; отрезок BF перпендикулярен CB и равен ему, отрезок BE перпендикулярен AB и равен ему, отрезок AD перпендикулярен AC и равен ему; точки F, C, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, так как ABF=ECB; треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим Теорема доказана. МЕТОД ДОПОЛНЕНИЯ 4) Доказательство, предложенное Гофманом.

Доказательство Эйнштейна МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ Доказательство Эйнштейна

Доказательство теоремы Пифагора с использованием понятие о средней пропорциональности отрезков Условие: Доказать, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Дано: АВС С- прямой СD высота Д оказать: АС² + ВС ² = АВ ² Доказательство: Пусть СD высота треугольника АВС (см. рис.). На основе утверждения о том, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла, имеем АС = АD АВ, или АС ² = АD АВ. Аналогично ВС ² = ВD АВ. Складывая эти равенства почленно и учитывая, что АD + ВD= АВ, получаем: АС ² + ВС ²= АD АВ + ВD АВ = (АD + ВD) АВ=АВ ² Теорема доказана. А В С D

Древнекитайское доказательство.

Чертеж из трактата «Чжоу-би...».

Применение теоремы Пифагора к решению задач. Задача 1. Условие: Выяснить, является треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами:6,8 и 10 А В С Дано: АВС ВС-гипотенуза АВ=6 АС=8 ВС=10 Доказать: АВС-прямоугольный Решение: 1) Если АВ ² + АС² = ВС²,то АВС - прямоугольный 6² +8 ² = 10 ² 36+64=100 => АВС - прямоугольный

Задача6. С аэродрома вылетели одновременно два самолёта: один - на запад, другой - на юг. Через два часа расстояние между ними было 2000 км. Найдите скорости самолётов, если скорость одного составляла 75% скорости другого. РЕШЕНИЕ: ПО ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА: 4X2+(0,75X*2)2= ,25X2= ,5X=2000 X=800 0,75X=0,75*800=600. ОТВЕТ: 800 КМ/Ч.; 600 КМ/Ч

ЗАДАЧА 3 УСЛОВИЕ: в равнобедренном АВС с основанием АС проведена высота АD, ВD=8 СМ, DС=2 СМ. Найдите основание и высоту. ДАНО : АВС-РАВНОБЕДРЕННЫЙ АС-ОСНОВАНИЕ АD-ВЫСОТА ВD=8 СМ DС=2 СМ НАЙТИ: АС;АD. РЕШЕНИЕ: А В С D 8 2 1) АВС-РАВНОБЕДРЕННЫЙ => АВ=ВС, ТАК КАК АС-ОСНОВАНИЕ ВС= ВD+DС ВС=8+2=10(СМ) АВ=ВС=10(СМ) 2)РАССМОТРИМ АВD-ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ, ТАК КАК АD-ВЫСОТА D- ПРЯМОЙ ПО ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА: АD²+ВD² =АВ² АD² =АВ² - ВD² АD²= АD=36=6(СМ) 3) РАССМОТРИМ АDС -ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ, ТАК КАК АD-ВЫСОТА ПО ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА: АС²= АD²+ DС², АС²= 36+4=40 АС=210(СМ) ОТВЕТ: 210(СМ); 6(СМ)

УСЛОВИЕ: сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Задача 2 Дано: АВСD данный параллелограмм АС и ВD-диагонали. Доказать: АВ² + ВС² + СD² +DА² = АС² + ВD ² Доказательство: Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке. Если. А D = ВС=а, а точка В имеет координаты (Ь; с), то точка D имеет координаты (а; 0) а точка С координаты (а + Ь; с). Используя форму­лу расстояния между двумя точками, находим: АВ ² = Ь ² + с ², АD ² = а ², АС ² = (а + Ь) ² + с ², ВD ² = (а - Ь) ² + с ². Отсюда получаем: АВ² + ВС² + СD² +DА² - 2(АВ + АD ² ) - 2(а ² + Ь ² + с ² )\ АС ² + ВD ² = = (а + Ь) ² + с ² + (а - Ь) ² + с ² = 2(а ² + Ь ² + с ²) Таким образом, АВ² + ВС² + СD² +DА² = АС² + ВD ², что и требовалось доказать

. Доказательство: ABC подобен ACM по первому признаку подобия треугольников (А-общий угол, угол АСВ=90 равен углу АМС=90 Из того, что ABC подобен ACM следует b2 = cb1; (1) из того, что ABC подобен BCM следует a2 = ca1. (2) Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a2 + b2 = cb1 + ca1 = c(b1 + a1) = c2. Теорема доказана. Доказательство с помощью подобия. Доказательство на подобие, принадлежащие Пифагору. На рисунке ABC – прямоугольный, C – прямой угол, CMAB, b1 – проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе

ЗАДАЧА 4. УСЛОВИЕ: в ромбе АВСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. АС равна 6 см, а ВD=8 см. Найти периметр и площадь ромба. Дано: АВСD-ромб АС и ВD-диагонали АС ВD =()О АС=6 см ВD=8 см Найти: РАВСD; SАВСD. Решение: 1)РАВСD = 4 АВ, так как АВСD-ромб; АВ= ВС =СD=АD. 2)Рассмотрим АВО-прямоугольный так, как АС и ВD-диагонали По теореме Пифагора: АВ²=АО²+ВО² ВО=½ ВD так как ВD-диагональ ВО=½8=4 (см) АО=½ АС так как АС-диагональ АО=½6=3 (см) АВ²=3²+4² АВ²=25 АВ=25=5(см) РАВСD = 4 5=20 см 3) SАВСD=½ АС ВD SАВСD=½ 68=24 (см² ) Ответ: 20см; 24 см² В А О С D

УСЛОВИЕ: в прямоугольнике АВСD диагональ АС в 2 раза больше одной из сторон, ВС=9 см. Найти другую сторону. Задача 5. 9cм9cм А D ВС Решение: Рассмотрим АВС-прямоугольный, так как АВСD -прямоугольник = > В- прямой По теореме Пифагора: АС²= АВ² + ВС² 1случай. АС в 2 раза больше стороны ВС=9 (см). АС=29=18(см) АВ² = АВ=243=93(см) 2 случай. АС в 2 раза больше стороны АВ. Составим математическую модель: I этап. Пусть АВ=х (см) Тогда АС=2х(см) ВС=9(см) Зная, что теорема Пифагора справедлива для этого прямоугольного треугольника, т.е. АС²= АВ² + ВС²,составим математическую модель: (2х)²= х²+9² II этап. Решение:4х²- х²=81 3х²=81; х²=27 х 2= -33- посторонний х 1=3 3 АВ=3 3(см) III этап. Ответ: 3 3см; 93см.

Задача 7. Найдите равнодействующую трёх сил по 200 Н каждая, если угол между первой и второй силами и между второй и третьей силами равен 60°. Решение: Модуль суммы первой пары сил равен: F1+22=F12+F22+2*F1*F2cosα где α-угол между векторами F1 и F2, т.е. F1+2=200 3 Н. Как ясно из соображений симметрии вектор F1+2 направлен по биссектрисе угла α, поэтому угол между ним и третьей силой равен: β=60°+60°/2=90°. Теперь найдём равнодействующую трёх сил: R2=(F3+F1+2 ) R=400 Н. ОТВЕТ: R=400 Н.

Применение теоремы Пифагора в задачах в стереометрии. Дано: призма ABCA1B2C3 а-каждое ребро Найти: объём призмы(V) Решение: 1) V =Sосн·hh= аSосн=SABC 2)BD- высота ABC Рассмотрим ВСD-прямоугольный По теореме Пифагора BD²=a²-(½ a)² BD²=¾ a² BD=а3:2 3) Sосн=½ h·AC Sосн= a²3:4 4) V =Sосн·h V= (a²3:4)·а= a³3:4 Ответ: a³3:4

Задача 2. Дано: цилиндрАВСD-осевое сечение АBСD-квадрат;BD-диагональ h-высота;BD=10см Найти: площадь полной поверхности(Sполн.) Решение: 1)Sполн =Sбок+2Sосн; Sполн = πrh+2πr²=2πr (h+r) 2)Рассмотрим треугольник ВAD: по теореме Пифагора: АD ²+BA ²=BD ² АD=BA 2АD²= BD² АD= BD²:2 АD=10: 2=52(см) h=ВА= АD=52(см) 3) Sполн=2πr (h+r)=dπ (h+½d) Sполн=52π(52+52:2)=50π+25π=75π(см²) Ответ: 75π(см²)

1.Найдите гипотенузу треугольника по данным катетам a и b. А) а=6, b=8 В) а=5, b=6 С) а=8, b=83 Ответ: А)10 В) 61 С) 16 2.Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10см и 24см. Ответ:13см, 120 см². 3.Найдите меньшую высоту треугольника, если его стороны равны: 24см,25см,7см; Ответ:6,72см 4.Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами: А)6,8,10 В)5,6,7 С)9,12,15 D) 10, 24, 26 Ответ: А) да; В) нет; С) да; D) да. Задачи для практического применения на уроках.

Пифагоровы деревья

ПИФАГОР (КРАТЕР ЛУНЫ)

Одним из любимых его изречений было: Мы должны всеми силами стремиться к истреблению во всех вещах излишеств и огнем и мечом изгонять из тела болезни, из души - невежество, из живота - обжорство, из городов - призывы к бунту, из семьи - раздоры.Мы должны всеми силами стремиться к истреблению во всех вещах излишеств и огнем и мечом изгонять из тела болезни, из души - невежество, из живота - обжорство, из городов - призывы к бунту, из семьи - раздоры.