Что такое уравнение Что значит решить уравнение Основные правила решения уравнений. Основные правила решения уравнений. Классификация уравнений.

Уравнением называют равенство, в котором неизвестное обозначено буквой. Значение буквы при которой из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.

Решить уравнение – значит найти все его корни( или убедиться, что уравнение не имеет ни одного корня).

Основные правила : Правило 1. Правило 2. Правило 3. Правило 4. Правило 5. Правило 6. Практика Правило 7 Правило 8

Алгебраические Целые Дробные Иррациональные Показательные Логарифмические Тригонометрические Смешанные Уравнения Трансцендентные системы

квадратное логарифмическое неполное квадратное приведенное квадратное с параметром тригонометрическое дробно-рациональное иррациональное показательное n-ой степени с модулем

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое ( если а + х = b, то х = b – а) 7 + х = 23 х = 23 – 7 х = 16

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность. ( если х – а = d, то х = а + d) х-8 =5 х = 8+5 х=13

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность ( если а - х =b, то х = а-b) 9-х =1,3 х = 9- 1,3 х = 7,7

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель ( если ах = b, то х =b: а ) 0,2х = 6 х = 6: 0,2 х=30

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель ( если х : а = b, то х = аb) х : 0,3 = 4 х = 4 * 0.3 х = 1.2

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное (если а : х =b, то х = а:b) 0.8 :х=-5 х=0.8(-5) х=-0.16

Корни уравнения не изменяются, если какое – нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак. 3х – 8 = х – 14 3х –х = х = -6 х = -3

Корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Решите самостоятельно: 1) 15+у=78 2) 45-х=29 3) 5х=525 4) 35:3х=360 5) 180:y=15 6) 2x=38

линейное квадратные радикалы симметрические

Квадратное Неполное квадратное Приведенное квадратное Теорема Виета

Решением уравнения служит х = Уравнение ( где а 0, а равносильно уравнению f (x)=g (x) Уравнение вида с помощью подстановки сводится к квадратному уравнению

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Решение логарифмического уравнения вида основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x) при дополнительных условиях f(x) Согласно определению логарифма,

Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида Это уравнение всегда имеет единственное решение:

Квадратным уравнение с одним неизвестным называется уравнение вида Дискриминантом квадратного уравнения называется число Если D > 0, то уравнение решений не имеет Если D=0, то уравнение имеет единственное решение: Если D > 0, то уравнение имеет два решения:

Решите самостоятельно:

Неполное квадратное уравнение - это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов равен нулю. При С=0 уравнение принимает вид

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида, т.е квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. Определить знаки корней уравнения

ТЕОРЕМА ВИЕТА Если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому со знаком минус, т.е. –р, а их произведение- свободному члену q.

ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ Т.ВИЕТА Если сумма двух чисел равна числу –р, а их произведение равно числу q, то они являются корнями приведенного квадратного уравнения

Уравнение вида называется биквадратным. Такое уравнение решается методом замены переменной. Обозначим, тогда. Исходное уравнение примет вид т.е является обыкновенным квадратным уравнением.

Симметрическим уравнением третьей степени называется уравнение вида Заметим, что т.е. решение этого уравнения равносильно совокупности Симметрическим уравнением четвертой степени называется любое из следующих двух уравнений:

Для решения первого уравнения введем новую переменную а для решения второго - переменную Имеем: т.е. получены обыкновенные квадратные уравнения.

Модулем числа х называется само это число, если оно неотрицательно, либо число –х, если число х отрицательно. Обозначение: Формальная запись этого определения такова: Решить уравнение:

Формула для корней уравнения sin x=a ( ) имеет вид cos x=a tg x=a ctg x=a Решением тригонометрических уравнений может служить метод замены переменной

Тригонометрическое уравнение вида все члены которого имеют одну и ту же степень относительно синуса и косинуса, называется однородным. Однородное уравнение легко сводиться к уравнению относительно, если все его члены разделить на. При этом если, то такое деление не приведет к потере решений, поскольку значение не удовлетворяет уравнению. Если же, то выносится за скобки.

Уравнение вида равносильно уравнению,где Наиболее часто применяется метод, состоящий в том, что все члены уравнения, состоящие в правой части, переносятся в левую часть; после чего левая часть уравнения разлагается на множители, при этом применяются формулы разложения тригонометрических функций в произведение, формулы понижения степени, формулы преобразования произведения тригонометрических функций в систему.

Дробно-рациональные уравнения Рациональным алгебраическим уравнением называется уравнение вида,где и –многочлены. Выражение имеет смысл только в том случае, если выполняется условие Значит, рациональное уравнение имеет решение при условии

Иррациональные уравнения Уравнения, содержащие один знак радикала второй степени -В-Возведение обеих частей уравнения в степень. При возведении обеих частей уравнения в четную степень, получается уравнение, неравносильное исходному. Избавиться от посторонних корней помогает непосредственная проверка полученных корней в исходном уравнении, т.е. корни поочередно подставляют в начальное уравнение и проверяют, верно ли получается числовое равенство.

Равенство нулю произведения( частного) двух выражений. Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы одно из выражений равно нулю, а другое при этом имеет смысл. Формально это записывается так: Формальная запись частного от деления двух выражений равных нулю:

Метод введения новой переменной

Уравнения, содержащие два(три) знака радикала второй степени Возведение в квадрат обеих частей уравнения. Сначала уравнение нужно преобразовать так, чтобы в одной части стояли радикалы, а в другой- остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если в уравнении два радикала. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения, а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат и проводятся необходимые преобразования. Далее все члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону уравнения, а оставшийся радикал(теперь он один!)-в другую. Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение, не содержащее радикалов.

Введение новой переменной:

Решите самостоятельно:

Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степей. При решении уравнений, содержащих радикалы третьей степени, бывает полезно пользоваться следующими тождествами: Решить уравнение: Решение: Возведем обе части этого уравнения в третью степень и воспользуемся выше приведённым тождеством: Заметим, что выражение, стоящее в скобках, равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим: Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни х=5 и х=-25/2. Если считать ( по определению), что корень нечетной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения. Ответ:5,-25/2

Уравнение с параметром При каких значениях а уравнение имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше? Решение: Рассмотрим функцию: и построим эскиз её графика. При а=0 функция становится линейной и двух пересечений с осью Ох( корней уравнения у=0) иметь не может. При а>0 графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Необходимым и достаточным условием существования корней таких, что а в этом случае является единственное условие: Если же а

Графический способ решения систем уравнений Система уравнений состоит из двух или более алгебраических уравнений. Решение системы называется такой набор значений переменных, который при подстановке обращает каждое уравнение системы в числовое или буквенное тождество. Решить систему - значит найти все её решения или доказать что их нет.

Графическое решение систем Графический способ решения систем уравнений состоит в следующем: Строятся графики каждого уравнения системы; Определяются точки пересечения графиков; Записывается ответ: координаты точек пересечения построенных графиков. Графический способ решения систем уравнений в большинстве случаев не дает точного решения системы, однако он может быть полезен для наглядной иллюстрации рассуждений.

Решение: Графики первого и третьего уравнения – прямые; график второго уравнения – кубическая парабола(рис). Из трех точек пересечения только одна является общей для всех графиков уравнений системы. Ответ:( 0;0)

Равносильность уравнений Равносильными ( эквивалентными) уравнения называются в том случае, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, а все корни второго уравнения – корнями первого. Равносильные преобразования уравнения – это преобразования, приводящие к равносильному уравнению: 1)Прибавление одновременно к обеим частям уравнения любого числа ( в частности, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака) 2) Умножение ( и деление ) обеих частей уравнения одновременно на любое число, отличное от нуля. Кроме того, для уравнений в области действительных чисел: 3) Возведением обеих частей уравнения в любую нечетную степень 4) Возведение обеих частей уравнения при условии, что они неотрицательны, в любую четную натуральную степень

Решите самостоятельно:

Показательные уравнения. Показательным называют уравнение, в котором неизвестное входит только в показатели степеней при постоянных основаниях. Показательное уравнение вида равносильно уравнению Имеются два основных метода решения показательных уравнений: 1)приведение уравнения к виду,а затем к виду ; 2) введение новой переменной. Пример: Решим уравнение:

Решите самостоятельно:

Решите самостоятельно:

Список используемой литературы: Д.И.Аверьянов – «Большой справочник для поступающих в ВУЗы» 1998г. В.К.Егерев- «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы под редакцией М.И.Сканави». 1997г. Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс.» 2003г. Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 9 класс.» 2003г.

Презентацию подготовили: Шманова Виктория Деева Александра 11 класс МОУ «СОШ 1» г. Шумиха 2007г. подробная информация по тел

Особая благодарность учителям СОШ 1: Терегуловой Ирине Викторовне Шманову Анатолию Ивановичу