Построение сечения многогранника плоскостью

Сечения многогранника плоскостью используются при решении многих стереометрических задач. Мною разобраны некоторые способы построения сечений, а также задачи связанные с их построением. Рассмотрены сечения плоскостями, проходящими через данную точку и прямую, через три данные точки, а также сечения, когда секущая плоскость задана одним из условий.

На рисунке показано построение сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N, P на ребрах тетраэдра. Точки M и N заданы так, что прямые MN и AC не параллельны. Отрезки MN и AP являются сторонами сечения. Точка P – общая для плоскостей MNP и ABC. Вторую общую точку находим в пересечении прямых MN и AC, S=MNAC. Прямая SP – линия пересечения плоскостей MNP и ABC. Пересечение этой прямой с ребром AB дает вершину Q сечения, Q=SPAB. Сечение – четырехугольник MNPQ. Плоскость проходит через три данные точки

Решение: Обозначим секущую плоскость. отрезки AD 1 и AM принадлежат и плоскости и граням куба, поэтому являются сторонами сечения. Построим сторону сечения в грани BB 1 C 1 C. Плоскости BB 1 C 1 C и AA 1 D 1 D параллельны, поэтому линия пересечения плоскостей и BB 1 C 1 C параллельна прямой AD 1. Поскольку прямые BC 1 и AD 1 параллельны, эта линия пересечения параллельна и прямой BC 1. Проводим через точку M в плоскости BB 1 C 1 C прямую, параллельную прямой BC 1, ее пересечение с ребром B 1 C 1 дает вершину сечения. Сечение – трапеция AMND 1, MNAD 1. Найдем длины сторон этой трапеции. Имеем AD 1 =, отрезок MN – средняя линия в треугольнике BB 1 C 1, поэтому MN = BC 1 =. В прямоугольных треугольниках ABM и D 1 C 1 N (AB = C 1 D 1 = a, BM = NC 1 = ) находим AM = D 1 N =. Значит, трапеция AMND 1 равнобедренная. Найдем ее высоту. Опускаем перпендикуляры MP и NQ на основание AD 1, получаем PQ = MN =, D 1 Q = PA = (D 1 A-QP) =. В прямоугольном треугольнике D 1 QN (D 1 N =, D 1 Q = ) находим NQ =. Определяем площадь сечения S = (MN +D 1 A)*NQ = a 2. Ответ: a 2 Дано: Длина ребра куба равна a. Найти площадь сечения проведенного через диагональ AD 1 грани AA 1 D 1 D и середину M ребра BB 1. Плоскость проходит через данную точку и прямую

Решение: Построение основано на следующей теореме: Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Обозначим плоскость сечения. Плоскость ACD имеет с плоскостью общую точку M и содержит прямую AC, параллельную плоскости. Следовательно, линия пересечения этих плоскостей проходит через точку M параллельно прямой AC. В соответствии с этим построена сторона MS 1 сечения, MS 1AC. Проведя прямую S 1 N, найдем вторую сторону сечения – S 1 S 2. На рисунке точка N дана так, что точка S 2 принадлежит ребру AB. Плоскость ABC также содержит прямую AC, параллельную плоскости сечения. Поэтому сторона сечения S 2 S 3 проведена параллельно ребру AC. Отрезок S 3 M – четвертая сторона сечения. Сечение MS 1 S 2 S 3 – трапеция (MS 1ACS 2 S 3 ). Дано: На рисунке показано построение сечения тетраэдра плоскостью, параллельной ребру AC и проходящей через точку M ребра CD и точку N в грани ABD. Плоскость проходит через две точки параллельно ребру (прямой).

Построение сечений многогранника плоскостью, заданной точкой и условием параллельности или перпендикулярности к указанным прямым и плоскостям.

Решение: На ребре AB пирамиды SABCD откладываем отрезок BM = AB. Через точку M в грани ASB проводим MKAB (точка К лежит на ребре, MKSF, где SF – апофема пирамиды), а в основании ABCD проводим MPAB, где точка P лежит на ребре DC (MPFO). Плоскости SFO и KMP параллельны между собой и перпендикулярны к AB, следовательно, перпендикуляры к основанию ABCD пирамиды. Так как BCMP, то прямая BC параллельна секущей плоскости KMP. Поэтому грань BSC, имея с секущей плоскостью общую точку K, пересекается с нею по прямой KLBC – по теореме, обратной теореме о параллельности прямой и плоскости. Искомое сечение трапеция MKLP. Пусть N– точка пересечения диагонали BD основания пирамиды и отрезка MP. Но KNSO как линии пересечения параллельных плоскостей SFO и KMP третьей плоскостью DSB. Поскольку SO перпендикулярна к плоскости основания пирамиды, то и отрезок KN перпендикулярен к этой плоскости. Следовательно, KNMP, отрезок KM – высота трапеции MKLP. Дано: На ребре AB правильной четырехугольной пирамиды SABCD дана точка M, BM = AB. Через точку M проведена секущая плоскость перпендикулярно к прямой AB. Построить сечение и вычислить его площадь, если сторона основания пирамиды равна a, а высота пирамиды H. 1. Плоскость проходит через данную точку перпендикулярно к данной прямой.

Решение: Ссылаясь на упомянутую выше теорему, последовательно строим линии пересечения секущей плоскости с плоскостями основания ABC, DSB и ASC. Эти построения дают нам все искомые вершины сечения. Из хода построения следует, что N – середина AB, точка Q – середина SO, следовательно, точки K и P – середины боковых ребер SA и SC пирамиды соответственно. Отсюда: KNSBPM. Кроме того QFKNPM. Но QFNM, в чем легко убедиться применив теорему о трех перпендикулярах. Следовательно, сечение составлено из прямоугольника KNMP и равнобедренного треугольника KLP, имеющих общее основание KP. Дано: Построить сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через середину M стороны BC основания параллельно диагонали AC основания и боковому ребру SB. Вычислить площадь сечения, если длина стороны основания пирамиды a, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом. 2. Плоскость проходит через данную точку и параллельна двум пересекающимся или скрещивающимся прямым. Пример 1.

Решение: Секущую плоскость обозначим. Линия пересечения этой плоскости с плоскостью ABD параллельна прямой AD (AD ). Проводим MNAD. Линии пересечения плоскостей BCA и BCD с плоскостью параллельны прямой BC (BC ). Строим MQBC и NPBC. Четвертая сторона сечения PQ параллельна ребру AD. Сечение – параллелограмм MNPQ (MNADPQ, NPBCMQ). Выразим длины сторон параллелограмма MNPQ через длины ребер AD и BC. Из подобия треугольников AMQ и ABC имеем MQ:BC = AN:AB =, откуда MQ = *BC. Теперь находим BM = AB – AM = (1– )*AB и из подобия треугольников BMN и BAD получаем MN:AD = BM:BA = 1–, т.е. MN = (1– )*AD.подставляя в равенство MN = MQ получаем выражения, будем иметь (1– )*AD = *BC, откуда = = Ответ: сечение будет ромбом при =. Дано: На ребре AB тетраэдра расположена точка M так, что AM:AB =, 0<

Решение: Пусть в ромбе ABCD BD

Решение: Пусть секущая плоскость параллельна грани ASB пирамиды SABC. После проведения через центр O основания пирамиды прямой MNAB следы секущей плоскости в боковых гранях можно строить по-разному: либо провести OKSD (SD – апофема пирамиды) и соединить точку K с точками M и N, либо провести NKBS и MKAS (прямые MK и NK пересекаются в точке K на ребре SC). Можно, проведя NKBS и получив точку K, соединить ее с точкой M. Дано: Построить сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через центр основания параллельно боковой грани пирамиды. 4. Плоскость проходит через данную точку и параллельна данной плоскости.

Решение: Медиана боковой грани правильной пирамиды не перпендикулярна к плоскости основания, поэтому условия задачи определяют единственную секущую плоскость. Если в условии задачи речь идет о перпендикулярности плоскости к плоскости,нужно постараться из удобной для нас точки плоскости провести перпендикуляр к плоскости. В данном случае удобнее всего из конца K медианы AK боковой грани ASB опустить перпендикуляр на плоскость основания. Поскольку точка K лежит в плоскости DSB, перпендикулярной к плоскости основания, основание P этого перпендикуляра будет лежать на прямой BD пересечения перпендикулярных плоскостей DSB и ABC. Остается в плоскости основания пирамиды провести прямую AP и найти точку M ее пересечения прямой BC. В полученном треугольнике AKM построенный отрезок KP является высотой. Таким образом, в этом случае в ходе построения не только выяснена форма, но и построена высота треугольника AKM, необходимая для определения его площади. Дано: Построить сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через медиану AK боковой грани ASB и перпендикулярно к плоскости основания. 5. Плоскость проходит через данную прямую и перпендикулярна к данной плоскости (не перпендикулярной к данной прямой).

Решение: Пусть секущая плоскость проходит через середину M бокового ребра SA данной пирамиды SABCDEF параллельно стороне основания AB. Как и в предыдущей задаче, прежде всего опустим из точки M перпендикуляр MP на плоскость Основания пирамиды. Основание P этого перпендикуляра окажется на OA. Затем через точку P (середину OA) проведем KLAB. Точки K и L – середины сторон AF и BC основания пирамиды. Через M проводим MNAB (это следует из условия параллельности секущей плоскости прямой AB). В сечении получена равнобедренная трапеция KMNL, отрезок MP – ее высота. Дано: Построить сечение правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через середину бокового ребра параллельно стороне основания и перпендикулярно к плоскости основания пирамиды. 6. Плоскость проходит через данную точку, перпендикулярна к данной плоскости и параллельна данной прямой.

Решение: Решение таких задач начинаем с построения двугранного угла. Это облегчает дальнейшие построения и установление формы сечения. Пусть в данной правильной шестиугольной призме O – центр, FC – большая диагональ основания. Проводим OKDE ( K– середина DE), KK 1DD 1. Плоскость O 1 OK перпендикулярна к плоскости снования призмы и к диагонали FC основания (так как FCOK и FCOO 1 ). Остается в это плоскости провести луч OL под данным углом к OK, чтобы получить линейный угол LOK двугранного угла между секущей плоскостью и плоскостью основания призмы. Точка L принадлежит секущей плоскости и плоскости грани DD 1 E 1 E. Эти плоскости пересекаются по прямой MN, проходящей через L параллельно прямой DE. Трапеция CNMF – искомое сечение. Из хода построения следует, что эта трапеция – равнобокая, отрезок LO служит ее высотой. Дано: Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через большую диагональ основания под углом к плоскости основания. 7. Плоскость проходит через данную прямую под данным углом к данной плоскости.

Рис.214

Рис.215

Рис.218

Рис.221

Рис.80

Рис.83

Рис.84

Рис.85

Рис.86

Рис.87

Рис.88