Поверхностные состояния в сверхрешетке с шероховатой границей. Былев А.А. Научный руководитель: Кучма А.Е.

Введение Граница твердого тела с вакуумом или другой средой может служить источником ряда особых энергетических состояний электронов – поверхностных состояний, т.е. состояний,пространственно локализованных у границы тела. Возможность существования у поверхности кристалла связанных состояний электронов впервые рассмотрел И.Е. Тамм [1]. В нашей работы мы рассматривали поверхностные состояния в полубесконечных сверхрешетках. Сверхрешетками принято называть твердотельные структуры, в которых, помимо периодического потенциала кристаллической решетки, имеется дополнительный периодический потенциал, период которого существенно превышает постоянную решетки. Параметры потенциала сверхрешеток можно варьировать в широких пределах, благодаря чему в сверхрешетках можно контролируемо изменять волновую функцию электронов, и зонную структуру спектра. Впервые такие системы были рассмотрены Л. В. Келдышем [2]. Сверхрешетки широко применяются в электронике и оптоэлектронике. В общем случае поверхность не представляет собой резкого перехода от невозмущенного периодического потенциала к внешнему пространству. Следует также учитывать, что поверхность может быть покрыта неупорядоченным адсорбированным слоем. Такая шероховатость поверхности ведет к рассеянию поверхностной волны, представляющей поверхностные состояния электрона, на неровностях поверхности, в том числе поверхностная волна может преобразовываться в объемную волну. Представляет интерес оценить затухание поверхностного состояния, обусловленное таким рассеянием.

Постановка задачи В простейшем однозонном приближении [3] для невырожденных энергетических зон кристаллической решетки уравнение Шредингера для огибающей функции имеет вид: С целью максимально упростить задачу будем считать, что потенциалы ям имеют вид -функций. В рассматриваемой модели неровность поверхности можно описать, вводя зависимость мощности потенциала поверхностного слоя от координат точек слоя [4]. - период сверхрешетки - мощность поверхностного потенциала - потенциал внешнего пространства - мощность потенциала сверхрешетки

В результате приходим к уравнению Шредингера: - эффективная масса электрона Z – ось в направлении препендикулярном плоскости сверхрешетки - мощность потенциала поверхностного слоя - мощность потенциала сверхрешетки - мощность потенциала шероховатости поверхности - потенциал внешнего пространства Шероховатости поверхности будем считать случайными, т.е. есть случайная функция координат, среднее значение которой равно нулю. Будем также считать шероховатости статистически однородными с корреляционной функцией: Решения уравнения для случая гладкой поверхности, т.е., неоднократно обсуждались в литературе (см., например, [5]). В нашей модели при уравнение для гладкой и шероховатой поверхностей совпадают, что позволяет воспользоваться этими результатами.

В области переменные и в уравнении разделяются. Уравнение по является уравнением для свободной частицы и его решения можно взять в виде плоских волн, где - волновой вектор, параллельный плоскости решетки. Решения уравнения по в этой же области могут быть в случае (убывающие со стороны решения) выбраны в виде где, а в зависимости от либо блоховские волны вдоль оси, либо убывающие вглубь решетки поверхностные состояния. Функции непрерывны в точке и. Общее решение уравнения представляется линейной комбинацией блоховских и поверхностных волн, а энергетический спектр электрона определяется из условий сшивания волновой функции по на поверхности В случае гладкой поверхности ( ) условие может выполняться, в том числе, и для чисто поверхностных волн [5]. Эти состояния существуют только при определенных значениях. В случае шероховатой поверхности потенциал шероховатости смешивает состояния с разными и, что означает рассеяние поверхностного состояния.

Затухание поверхностного состояния В соответствии с постановкой задачи представим волновую функцию электрона в виде где - поверхностная волна, а - либо поверхностные волны, либо уходящие вглубь решетки блоховские волны, при этом и Энергию считаем вещественной. Как мы увидим, волновой вектор является комплексным, что отражает убывание амплитуды поверхностной волны в результате рассеяния. Такая ситуация не является реальной в случае неограниченной поверхности, но позволяет оценить затухание на единицу длины в области шероховатости. Оценку затухания поверхностной волны проведем по теории возмущений, предложенной в [4]. Для этого условие на волновую функцию перепишем, явно выделив уравнение, содержащее, (учтено, что )

Здесь амплитуда Фурье потенциала шероховатости, а - размер решетки по осям и. Считая возмущение поверхностной волны малым, отбросим во втором уравнении системы члены второго порядка малости и учитывая, что а приходим к условию совместности системы Это уравнение определяет волновые числа электронной поверхностной волны. Правая часть этого уравнения является комплексным числом в силу комплексности для блоховских волн и наличия нулей у знаменателя. В силу этого комплексными являются и волновые числа поверхностного состояния электрона. Мнимые добавки к волновому числу отражают затухание поверхностного состояния электрона вдоль шероховатой поверхности по сравнению со случаем гладкой поверхности. Кроме того, меняется и фазовая скорость поверхностной волны по сравнению со случаем гладкого интерфейса за счет добавки к вещественной части волнового числа. Оценим затухание поверхностной электронной волны, усредненное по ансамблю реализаций поверхности со случайной шероховатостью. Поскольку нас интересует мнимая часть волнового числа, то суммирование можно вести только по области, соответствующей блоховским волнам, полюса же в этом уравнении учтем стандартным образом, обходя их по малой полуокружности в области комплексных.

Для дальнейшего анализа выберем в виде где среднеквадратичная случайная добавка к мощности поверхностного потенциала, а -обратная корреляционная длина шероховатости. Кроме того, заменой выполним в уравнении стандартный переход от суммирования по квазидискретным волновым векторам к интегрированию. Для краткости записи введем обозначение: После интегрирования по углам правая часть уравнения, которую обозначим, сводится к где - функция Бесселя от мнимого аргумента первого рода. Мнимая часть отрицательна и равна

В интеграле выполнена замена переменной и интегрирование по идет, как отмечалось, только по областям, отвечающим блоховским волнам, т.е. там где. Второе слагаемое есть вклад от полюсов ( ). Считая затухание малым, в правую часть уравнения подставим значения,, отвечающие поверхностному состоянию для гладкой поверхности с мощностью потенциала поверхности. (Такой потенциал поверхности получается эффективно в пределе для уравнения с коррелятором и, кроме того, это позволяет избежать расходимости в полюсном члене в пределе ). Тогда правая часть уравнения (11) даст просто поправку к. С учетом этого находим поправки к ( ) и поправки к волновому числу (учтено, что ).

Расчеты Для расчетов выберем случай и. С учетом условия получаем, что. В области отрицательных имеется единственная «разрешенная» зона, отвечающая блоховским волнам, и для того, чтобы она давала вклад значение должно лежать выше этой зоны. Кроме того, в области отрицательных вклад от полюсов содержит только одно слагаемое, а условие ведет к тому, что лежит ниже разрешенной зоны. На рис. показана зависимость от. Кроме того, отдельно показаны вклады в только от рассеяния вглубь решетки и только за счет рассеяния по поверхности.

Рис. а. Зависимость от при =3, =4.5 Рис. б. Зависимость от при =3, =4.5 (вклад от рассеяния вглубь решетки). (вклад от рассеяния вдоль поверхности). Рис. в. Зависимость от при =3, =4.5 (суммарный вклад)

Как видно из результатов расчетов коэффициент затухания мал как при, так и при, что физически оправдано. При большой корреляционной длине неровностей поверхности и малой длине поверхностной волны затухание мало, так как этот случай мало отличается от гладкой поверхности. В противоположном случае малой корреляционной длины неровностей и большой длины волны поверхностного состояния затухание также мало в силу сглаживания неровностей на расстояниях порядка длины волны, что опять ведет к случаю гладкой поверхности. Кроме того, при выбранных значениях параметров задачи вклад в от рассеяния вглубь решетки сильно подавлен по сравнению с вкладом от рассеяния вдоль поверхности. Для выяснения причин этого проведем аналитические оценки первого и второго слагаемых. Интегрирование идет, как указывалось, по единственной «разрешенной» зоне в области отрицательных. Границы зоны определяются условиями. Приближенное решение этого уравнения для границ зоны дает Откуда для ширины зоны находим Оценивая интеграл в (14) по теореме о среднем с учетом того, что в средней точке интервала можно считать, находим

Оценка вклада второго слагаемого в (14) имеет вид где учтено, что. Как видим и имеют подобное поведение, как функции, но существенно разное поведение в зависимости от параметров потенциала сверхрешетки и потенциала поверхностного слоя. При выбранных при численных расчетах значениях параметров и отношение вкладов от рассеяния вглубь решетки и от рассеяния вдоль поверхности при составляет

Заключение Проведен анализ влияния шероховатости границы сверхрешетки на поверхностные состояния электронов в простейшем однозонном приближении для невырожденных энергетических зон кристаллической решетки. Сверхрешетка моделировалась -образными потенциальными ямами, поверхностная потенциальная яма отличалась по глубине от остальных потенциальных ям сверхрешетки, а неровность поверхности вводилась через зависимость мощности потенциала поверхностного слоя от координат точек слоя. Показано, что волновая функция усредненного поверхностного состояния будет затухать в направлении распространения вдоль граничной поверхности сверхрешетки в результате рассеяния на неровностях поверхности и преобразования поверхностной волны в объемные блоховские волны, уходящие вглубь решетки. Получены выражения для коэффициента затухания поверхностного состояния в продольном направлении, при этом выделены вклады, обусловленные рассеянием вдоль поверхности и рассеянием с преобразованием поверхностной волны в объемные волны, и проведены расчеты этого коэффициента.

Примечания Функции имеют вид Здесь - целая часть числа, - его дробная часть и где

Список литературы 1. И.Е. Тамм. ЖЭТФ, 1933, т.3, с Л.В. Келдыш. ФТТ, 1962, т.4, с П. Ю, М. Кордона. Основы физики полупроводников. М.: Физматлит, А.Е. Кучма, Д.В. Ковалевский, Н.В. Воронин. Вестн. С.-Петерб. ун-та, Сер. 4, 2008, Вып.4, С. 3 – И.М. Лифшиц, С.И. Пекар. УФН, 1955, т.56, вып.4, с Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов. М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1978.