Решение задач на проценты Подготовила : Шишеня Екатерина ученица 11 класса А МБОУ СОШ 40 г.Смоленска Научный руководитель: Мурасёва Ж.В.

Цель: научиться решать сложные и простые задачи на проценты, так как они входят в ЕГЭ. Задачи: вспомнить основные соотношения и выражения для решения простейших задач; научиться решать задачи на растворы и смеси, переливания, на сложные проценты(цена, банк, рост населения и т.д.), задачи о вкладах и займах; подготовиться к ЕГЭ.

Процент Процент - это одно из математических понятий. Слово процент происходит от латинского pro centum, что означает «от сотни» или «на 100» Например. Из каждых 100 участников лотереи 7 участников получили призы. 7% - Это 7 из 100, 7 человек из 100 человек.

В простейших задачах на проценты некоторые величина а принимается за 100%, а ее часть b выражается p%. 100% - a p% - b 100% - a P% - b

Основные соотношения и выражения при решении задач на проценты. 1.Предложение «Число a увеличили на p %» представляется выражением a(1+0,01p). 2. Предложение «Число a увеличили сначала на p%, а потом еще на q%» представляется выражением a(1+0,01p)(1+0,01q). 3. Предложение «Число a уменьшили на p%» представляется выражением a(1- 0,01p). 4.Предложение «Число a увеличили на p%, а потом уменьшили на q% » представляется выражением a(1+0,01p)(1-0,01q).

Чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь. Например. 20% от 45кг сахара равны 45·0,2=9 кг.

Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на дробь. Например. Если 8% от длины бруска составляют 2,4см, то длина всего бруска равна 2,4:0,08=30см

Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100%. Например. 9г соли в растворе массой 180г составляют 9:180·100%= 5%.

Впервые учащиеся средней школы встречаются с понятием процента в 5 классе. Там рассматриваются простейшие задачи на нахождение процента от числа и нахождение числа по его проценту. В 6 классе отрабатывается умение находить процент от числа на простейших задачах типа « Сколько квадратных метров составляют 1% гектара, 35% ара и т.д.

В теме «Нахождение числа по его дроби» рассматриваются задачи «35% от 128,1 составляют 49% неизвестного числа. Найдите это число» (660) и «Овощная база в первый день отпустила 40% всего имевшегося картофеля, а во второй день – 60% остатка, а в третий день – остальные 72 т. Сколько тонн картофеля было на базе?» (662) или «В школе учатся 360 девочек. Сколько учащихся в школе, если мальчики составляют 52% всех учащихся?» (1527).

В 7 классе (учебник «Алгебра 7» под редакцией С.А.Теляковского) нам предложены такие задачи на проценты как: 18. За несколько книг уплатили 320 р. Стоимость одной из книг составила 30%, другой 45% израсходованных денег. На сколько рублей первая книга дешевле второй? 19. Площадь участка поля 80 га. Первый тракторист вспахал 40% этого участка, а второй 60% оставшейся части. Кто из них вспахал больше и на сколько гектаров?

20. На поле собрали с каждого гектара 44 ц пшеницы. Применение интенсивной технологии позволило увеличить производство пшеницы на той же площади на 25 %. Сколько центнеров пшеницы с гектара стали собирать на поле? 45. После того как из бидона отлили 30% молока, в нем осталось 14л. Сколько литров молока было в бидоне первоначально? Решение: пусть первоначально в бидоне было 100%-х л После того как из него отлили 30 % молока: 70%- 14л Отсюда, 0,7х=14, х=20, 20 литров молока было первоначально в бидоне. Ответ:20 л.

В 8 классе всего пять задач на проценты! Одна из них на смеси (630), три - на сплавы и одна задача на работу: 630. В водный раствор соли добавили 100г воды. В результате концентрация соли в растворе понизилась на 1%. Определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нем содержалось 30 г соли Сплав золота и серебра содержал 40г золота. После того как к нему добавили 50г золота, получили новый сплав, в котором содержание золота возросло на 20%. Сколько серебра было в сплаве?

718. Сплав меди с цинком, содержащий 6 кг цинка, сплавили с 13 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось на 26%. Какова была первоначальная масса сплава? 722. Два слесаря получали заказ. Сначала 1 ч. Работал первый слесарь, затем 4 ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму? Хотя эту задачу нужно всё таки на совместную работу, проценты здесь упоминаются вскользь.

Рассмотрим задачи, которые используются в 9 классе. 340 (учебник «Алгебра 9» под редакцией С.А.Теляковского) Два сосуда были наполнены растворами соли, причем в первом сосуде содержалось на 1 л меньше раствора, чем во втором. Концентрация раствора в первом сосуде составляла 10%, а во втором - 29%. После того как растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация которого составила 16%. Сколько раствора было в каждом сосуде первоначально? 477. К раствору. Содержащему 50г соли, добавили 150 г воды. После этого его концентрация уменьшилась на 7,5%. Сколько воды содержал раствор и какова была его концентрация?

И в конце ученика еще три задачи на проценты: 968. На опытном поле под рожь отвели участок 20 га, а под пшеницу – 30 га. В прошлом году с обоих участков собрали 2300 ц зерна. В этом году урожайность ржи повысилась на 20%, а пшеницы – на 30% и поэтому собрали зерна на 610 ц больше, чем в прошлом году. Какова урожайность каждой культуры в этом году? Решение: Пусть х ц/га урожайность ржи, а пшеницы – у ц/га в прошлом году, тогда в прошлом году собрали 20х ц ржи и 30 у ц пшеницы. Так как всего в прошлом году собрали 2300 ц, то составим уравнение : 20х + 30У = В этом году урожайность ржи составила 1,2х ц/га и пшеницы – 1,3у ц/га, причем всего ржи собрали 1.2х*20 =24х ц, а пшениц – 1.3у *30 =39у ц.Так как в этом году собрали на 610 ц больше, то составим уравнение: 24х + 39у = Составив и решив систему двух уравнений получим у=50, х =40, тогда 1.2х=48, и 1.3у = 65. Ответ:48ц, 65 ц.

970. Имеются два сплава серебра с медью. Первый содержит 67% меди, а второй – 87% меди. В каком соотношении нужно взять эти два сплава, чтобы получить сплав, содержащий 79% меди? Решение: пусть масса первого сплава – х, а второго – у, а содержание меди в них соответственно 0,67х и 0,87у, тогда масса полученного сплава х + у, а меди в нем – 0,79(х + у). Так как масса меди не изменилась, то 0,67х + 0,87у = 0,79(х + у). Преобразовав уравнение получим 0,08у = 0,12х, отсюда получим, что х:у =0,08 : 0,12 т.е. х : у = 2 :3. Ответ: 2: Смешали два раствора соли. Концентрация первого составляла 40%, а концентрация второго – 48%. В результате получился раствор соли концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы? Рассуждая аналогично задачи 970 получим, что растворы нужно взять в отношении 3 : 1.

РЕШЕНИЕ СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА РАСТВОРЫ И СМЕСИ Для решения задач этого типа удобно использовать таблицу

Раствор (смесь) Масса раствора (смеси) 1-й компонент2-компонент % концен трации масса% концент рации масса

10. Сплав весит 2 кг и состоит из серебра и меди, причем все серебра составляет 14 % веса меди. Сколько серебра в данном сплаве? Решение: Пусть х кг меди в сплаве, тогда серебра в нем х*14 /100=х/7(кг). Т.к. масса сплава 2 кг, то составим уравнение и решим его: х+х/7=2 7х+х=14 8х=14 Х=1,75кг х/7=1,75/7=0,25кг Ответ:0,25кг.

При решении задач можно пользоваться соотношениями: 1.Приняв от клиента сумму под а % годовых, банк должен выплатить клиенту через 1 год сумму S 0 (1+а*0,01) 2.Получив в банке кредит на сумму под а % годовых, клиент должен выплатить банку через 1 год сумму S 0 (1+а*0,01)

3.Вкладчик положил в банк руб. из расчета 21% годовых. Через полгода он снял деньги. Сколько денег было выдано вкладчику? Решение: S n =100000*(1+0,21) 0,5 =100000*1,1= (руб.) Ответ:110000рублей.

4.Цех в целом увеличил за год выпуск продукции на 34%, причем 20% рабочих цеха увеличили выпуск продукции на 50%. На сколько процентов увеличили выпуск продукции остальные рабочие цеха? Решение: Пусть S-объем продукции, которую выполняют все рабочие по плану и 1,34S объем продукции, которую они выполняли в действительности. Тогда 0,2S- объем продукции, которую должны были выпустить 20% рабочих и 0,8S-остальные.0,2S(1+50*0.01) - объем продукции, которую выпустили 20% рабочих в действительности. Пусть на х % увеличили выпуск продукции 80% рабочих, тогда 0,8S(1+х*0,01)-объем продукции, который они выпустили. Т.к. всего выпустили 1,34S, то: 0,2S(1+0,5)+0,8S(1+х*0,01)=1,34S 0,3S+0,8S(1+х*0,01)=1,34S S(0,3+0,8+0,008х) =1,34S 1,1+0,008х=1,34 0,008х=0,24 х=30На 30% увеличили выпуск продукции остальные рабочие цеха. Ответ:30%.

5.Первый банк дает 60% годовых, а второй- 40%. Вкладчик часть своих денег положил в первый банк, а остальные - во второй. Через 2 года суммарное число вложенных денег удвоилось. Какую долю своих денег положил вкладчик в первый банк? Решение: Пусть х рублей вкладчик положил в первый банк и у рублей - во второй., тогда через 2 года у него будет: х(1+0,6) 2 +у(1+0,4) 2 =2(х+у) 1,6 2 х+1,4 2 у=2х+2у 2,56х+1,96у=2х+2у 0,56х=0,04у х/у=0,04/0,56 х/у=1/14, т.е. х составляет одну часть, а у-14 частей. Всего денег 15 частей, значит, х составляет 1/15часть. Ответ:1/15.

1.Даны 3 числа. Сумма 2 чисел и утроенного третьего равна 95. Третье число на 25% меньше первого, а второе на 50% больше первого. Найдите третье число. Решение: Пусть х- третье число, тогда первое число 100х/75=4/3х, а второе 4/3х*1,5=2х 4/3х+2х+3х=95 19/3х=95 х=15 15-третье число. Ответ:15.

2.Сумма двух чисел равна 96, а 25% их разности равны меньшему числу. Найдите число, которое на 35% больше большего из этих чисел. Решение: Пусть х - первое число(меньшее), а (96-х) второе. Тогда: 0,25(96-х-х)=х 96-2х=4х 6х=96 х= =80 1,35*80= искомое число. Ответ:108.

3.Цена товара после 2-х последовательных снижений со 125 до 80 рублей. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз? Решение: S n =S 0 (1 а*0,01) n 80=125(1-а*0,01) 2 (1-а*0,01) 2 =0,64 1-а*0,01=0,8 а*0,01=0,2 а=20 На 20% цена товара снижалась каждый раз. Ответ:20%.

4.Первоначальная цена на некоторый товар была повышена на 44%, затем 2 раза понижалась на одинаковое число процентов. В результате окончательная цена товара оказалась на 19 % меньше первоначальной. На сколько процентов производилось 2-кратное снижение цены? Решение: Пусть S 0 - начальная цена, тогда конечная цена товара S 0 (100%-19%)/100= 0,81 S 0 и на а % дважды понижалась цена, тогда по формуле повышения/понижения процентов имеем: S 0 (1+44*0,01)(1-а*0,01) 2 =0,81 S 0 1,44 S 0 (1-а*0,01) 2 =0,81 S 0 (1-а*0,01) 2 =81/144 (1-а*0,01)=9/12 а*0,01=3/12 а*0,01=0,25 а=25% На 25 % производилось 2-кратное понижение цены. Ответ: 25%.

5.После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов цена одной упаковки лекарства снизилась с 300 р. до 192р. На сколько процентов снижалась цена одной упаковки лекарства каждый раз? Решение: 192=300(1-а*0,01) 2 (1-а*0,01) 2 =192/300 (1-а*0,01) 2 =0,64 (1-а*0,01)=0,8 а*0,01=0,2 а=20% На 20% снижалась цена одной упаковки лекарства каждый раз. Ответ:20%

6.Население города за два года увеличилось со до человек. Найдите средний ежегодный процент роста населения города. Решение: 20000(1+а*0,01) 2 =22050 (1+а*0,01) 2 =441/400 (1+а*0,01)=21/20 а*0,01=0,05 а=5%-средний ежегодный процент роста населения города. Ответ:5%.

1.Найдите трехзначное число, все цифры которого различны (или сумму таких трехзначных чисел, если их несколько), которое при перестановке третьей цифры в начало числа увеличивается на 187,5 процента. (Из сборника заданий для подготовки к ЕГЭ). Решение: Пусть первая цифра числа х, вторая цифра у, а третья цифра z. Т.к. мы используем десятичную позиционную систему счисления, то заданное число равно 100х+10у+z. Если переставить третью цифру в начало числа, то новое число запишется в виде 100z+10х+у. Увеличение положительного числа на р % равносильно умножению его на коэффициент k 1 =1+р/100, а уменьшение - k 2 =1-р/100 В нашем случае k 1 =1+187,5/100=23/8 (100х+10у+z)*23/8=100z+10х+у 2220х+222у-777z=0 222у=777z-2220х у=3,5z-10х Если z=4,х=1, у=4 Если z=6, х=2, у=1 z=8, х=2, у=8 144,216, искомое число. Ответ:216.

2.Найдите все двузначные числа, равные удвоенной сумме своих цифр. Решение: Пусть х- число десятков, а у- число единиц, тогда искомое число 10х+у, по условию 10х+у=2(х+у) 10х+у=2х+2у 8х=у Число единиц в 8 раз больше числа десятков, следовательно, это число 18. Других вариантов нет, т.к. 2*10+16 не подходит. Ответ:18.

Выбранная мною тема является актуальной для выпускников школ. В процессе выполнения работы я научилась решать задачи на проценты различных видов, что помогает мне готовиться к ЕГЭ.

Список литературы. 1.ЕГЭ-2007.Математика. Тренировочные задания / Т.А. Корешкова, Н.В.Шевелева, В.В.Мирошин- Москва.: Просвещение ; Эксмо, с. 2.Единственные реальные варианты заданий для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ Математика./А.Г.Клово.-М.: Федеральный центр тестирования, с. 3.Научно-методический журнал «Математика в школе».Главный редактор А.И.Верченко. Июль/август 1998, 4 4.Демонстрационные варианты единого государственного экзамена 2007,2008 и 2009 года. 5.Задачник для учебных общеобразовательных учреждений/Л.И.Зваавич, А.Р.Рязановский,2009.