Различные виды задач на проценты Учитель-репетитор Екатерина Васильевна Карпенко www.matematix-ru.narod.ru. - презентация

1 Различные виды задач на проценты Учитель-репетитор Екатерина Васильевна Карпенко

2 Примеры решений задач 1. Определение процента (части ) от числа, 2. Определение числа по его части, выраженной в процентах. 3. Процентное сравнение чисел(величин), 4. Что произойдет с ценой, если сначала повысить на 25%, а потом понизить на 25%? 5. Задачи на «усыхание» 6. Четыре способа решения задачи по теме «Смеси, сплавы, растворы» (стр.8-15) 7.Концентрация, растворы, 8.Сплавы. 9. Задачи для самостоятельного решения. 10. Ответы.

3 Определение процента от числа Найти: 25% от 120. Решение: 1) 25% = 0,25; 2) ,25 = 30. Ответ: 30.

4 Определение числа по известной его части, выраженной в процентах Найти число, если 15% его равны 30. Решение: 1) 15% = 0,15; 2) 30 : 0,15 = 200. или: х - данное число; 0,15. х = 300; х = 200. Ответ: 200.

5 Процентное сравнение чисел 1. На сколько процентов 10 больше 6? 2. На сколько процентов 6 меньше 10? Решение: 1. ((10 - 6).100%)/6 = 66 2/3 % 2. ((10 - 6).100%)/10 = 40%

6 Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%? Решение: Пусть цена товара х руб. 1) х + 0,25 х = 1,25 х; 2) 1,25 х - 0,25.1,25 х = 0,9375 х 3) х - 0,9375 х = 0,0625 х 4) 0,0625 х/х. 100% = 6,25% Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.

7 Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих? Решение: 1) 22. 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах; 2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих. Ответ: 2,5 кг.

8 Задачи на смеси, сплавы и растворы. Традиционные задачи на проценты это задачи на смеси, сплавы и растворы. Задачи на смеси и сплавы разделяют на два вида: даны две смеси (и более) с массами с концентрацией в них вещества. Смеси сливают. Требуется определить массу этого вещества в новой смеси. изменение объёма смесей с помощью долива или отлива. Часто такие задачи вызывают затруднения. Сегодня мы с вами попытаемся одну задачу решить не­сколькими способами. Вы определите для себя, какой способ самый понятный и самый легкий.

9 понятия и формулы Решение задач на концентрацию и процентное содержание основано на использовании следующих. Пусть даны 3 различных вещества А, В, и С с массами Ма, Мb, Мс. Масса смеси, составленной из этих веществ, равна М = Ма + Мb + Мс. Массовой концентрацией вещества А в смеси называете величина са, вычисляемая по формуле: ca =. Соответственно массовые концентрации веществ B и С в этой смеси вычисляются по формулам: cb = ; cс =. Массовые концентрации са, сb, cc связаны равенством са + сb + cc= 1. Процентными содержаниям' вещества А, В, С в данное смеси называются величины ра %, рb %, р с % соответственно вычисляемые по формулам: ра % = са 100 %, рb% =сb 100 %; р с % = cc 100 %. По аналогичным формулам вычисляются концентрация веществ в смеси и для случая, когда число различных смешиваемых веществ равно двум, четырем, пяти и т. д.

10 Задача Имеется три слитка. Первый весом 10 килограмм, второй 6 килограмм, каждый из них содержит 30 % меди. Если первый сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56 % меди, а если сплавить второй с третьим, то получится слиток, содержащий 60 % меди. Найти массу третьего слитка и процентное содержание меди в нем. 1-й способ Предложенный способ позволяет легче запомнить по­следовательность действий при решении задач на смешивание и добиться автоматизма при выполнении самих действий. Этот способ экономит время, когда приходится решать много подобных задач. Способ решения задач на смешивание (сплавление) нескольких веществ всегда позволяет получить правильный ответ. Суть его заключается в следующем: Пусть сплавляется х грамм слитка с а % содержанием меди, и у грамм с в % содержанием меди. При этом получается слиток с с % содержанием меди. Пусть, для определенности, а < с < в. Так как в полученном сплаве содер­жится с % меди, т. е. (х+у) г, то получаем следующее уравнение: · х + (х+у)· Отсюда получаем: Именно это отношение мы получим, если запишем усло­вие задачи следующим образом:

11 Вернемся к нашей задаче. Друг под другом записываем процентное содержание меди в первом и третьем слитках. Слева от них и примерно посередине содержание меди в их сплаве. Рассмотрим пары 56 и 30, 56 и у. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее, и результат запишем в конце соответствующей черточки. Аналогично составим схему для второго и третьего слитков. Составляем систему уравнений согласно составленных схем: После решения данной системы получаем х = 20, у = 69%. Ответ: 20 кг, 69 %.

12 2-й способ Пусть х кг - масса третьего слитка, у % -содержание меди в нем. 1) (10 + х) кг масса 1-го и 3-го слитков; 2) (6 + х) кг масса 2-го и 3-го слитков; 3) 10 0,3 = 3(кг) масса меди в 1-м слитке; 4) 6 0,3 = 1,8(кг) масса меди во 2-м слитке; 5) 0,01 хук кг масса меди в 3-ем слитке. Согласно формулам составляем систему уравнений: Ответ: 20 кг масса третьего слитка, 69 % содержание меди в нем.

13 3-й способ (составлением схемы) Пусть х кг масса третьего слитка, у % содержание меди в нем. По условию задачи можно составить следующую схему : Составляем систему уравнений и решаем ее: Решив систему уравнений, получим х= 20, у =69 %. Ответ: 20 кг масса третьего слитка, 69 % содержание меди в нем.

14 4-й способ (с составлением таблицы)

15 Составляем систему уравнений: После решения данной системы получаем х = 20, у = 69 %. Ответ: 20 кг масса третьего слитка, 69 % содержание меди в нем.

16 Процентный раствор. Задача 1: Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%. Решение: 10. 0,15 = 1,5 (кг) соли. Ответ: 1,5 кг. Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.

17 Задача 2: Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве? Решение: Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава. 1) = 25 (кг) - сплав; 2) 10/ % = 40% - процентное содержание олова в сплаве; 3) 15/ % = 60% - процентное содержание цинка в сплаве; Ответ: 40%, 60%.

18 Концентрация. Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г ,87 = 261 (г). В этом примере концентрация вещества выражена в процентах. Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты. Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1. В этом случае концентрация - безразмерная величина. Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле: k=p/100% к - концентрация вещества; р - процентное содержание вещества (в процентах).

19 К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили? Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержится 0,8. (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15. 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05 х (л) соли. Составим уравнение. 1,5 + 0,05 х = 0,08. (15 + х); х = 10. Ответ: добавили 10 л 5%-ного раствора.

20 Сплавы 1. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра? Решение: Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4. 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2 х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32. (20+х) кг серебра. Составим уравнение: 8 + 0,2 х = 0,32. (20 +х); х = 13 1/3. Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.

21 Задачи для самостоятельного решения Найти 14% от Найти число, если 12% его составляют 9, Цена товара 64 руб. После снижения цен товар стал стоить 57 руб. На сколько процентов снижена цена? 4. При продаже товара за 1548 руб. получено 20% прибыли. Определить себестоимость товара. 5. Свежие фрукты содержали 72%, а сухие - 20%. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих? 6. Кусок сплава меди и олова весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько олова надо добавить к этому куску, чтобы в новом сплаве было 40% меди? 7. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля в 30%? 8. Сколько чистого спирта надо добавить к 735 г 16%-ного раствора йода в спирте, чтобы получить 10%-ный раствор? 9. Сбербанк начисляет по вкладам ежегодно 110%. Вкладчик внес в сбербанк 150 тыс. руб. Какой будет сумма вклада через 2 года? 10. Площадь прямоугольника равна 100 см 2. Одна сторона прямоугольника уменьшилась на 16,4%, вторая увеличилась на 25%. Найти площадь нового прямоугольника.

22 Задачи для самостоятельного решения Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Cколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра? 2. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 20%, а в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после их сплавления вместе получить 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова? 3. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после их сплавления вместе получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди? 4. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом 50% золота. Cколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 42% серебра? 5. Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу сплава и какую массу чистого золота нужно взять для получения 80 кг нового сплава, содержащего 50% золота? 6. Кусок железа с медью массой в 30 кг содержит 45% железа. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 30% железа. 7. Сплав олова и свинца содержит 40% олова. Какую массу сплава и какую массу чистого свинца нужно взять для получения 40 кг нового сплава, содержащего 10% олова?

23 Задачи по теме «сплавы, смеси, растворы» 1. Кусок, содержащий серебро и никель в отношении 1:4 сплавили с куском серебра массой 50 г.При этом получили сплав, содержащий серебро и никель в отношении 9:16. Какова была масса первого сплава в граммах? ответы:1) 180; 2) 240; 3) 190; 4) 200; 5) Имеется два сплава меди и цинка различной массы. В первом сплаве отношение этих металлов равно 5:6, а во втором – 2:3. После того как их сплавили вместе, получили новый сплав массой 240 г с отношением меди и цинка 17:23. Какова была масса второго сплава.? ответы :100; 2) 110; 3) 120; 4) 125; 5) 130. Задача 1. Сколько воды нужно добавить в 16% -й раствор кислоты массой 735 г, чтобы получился 10%-й раствор кислоты? Задача 2. Два металла содержится в каждом из двух взятых сплавов. В первом сплаве металлы находятся в отношении 3:5, а во втором – 1:3. В каком отношении нужно взять части первоначальных сплавов, чтобы получить новый сплав с отношением металлов 3:7? Задача 3. Сплав состоит из олова, меди и цинка. Если от этого сплава отделить 20 г и сплавить их с 2 г олова, то в новом сплаве масса меди равна массе олова. Если же отделить от первоначального сплава 30 г и прибавить 9 г цинка, то в новом сплаве масса олова будет равна массе цинка. Определить в процентах состав первоначального сплава.

24 Ответы. 1 часть 11,76 76,25 10,94% ,5 40; ,5. 2 часть 13 1/3. 3; 7. 9; ; ; 30.