Онтологический аргумент Гёделя Горбатов В.В.

Курт Гёдель ( ) Австрийский логик, математик и философ Австрийский логик, математик и философ Участвовал в работе Венского кружка Участвовал в работе Венского кружка В 1940 эмигрировал в США и получил работу в Институте перспективных исследований (Принстон) В 1940 эмигрировал в США и получил работу в Институте перспективных исследований (Принстон) Умер от истощения в 1978 Умер от истощения в 1978

Курт Гёдель ( ) Теоремы о неполноте (1931) Теоремы о неполноте (1931) Математическая возможность путешествий во времени (1949) Математическая возможность путешествий во времени (1949) Онтологическое доказательство ( ; 1970) Онтологическое доказательство ( ; 1970)

Онтологический аргумент (1970) Представлен на семинаре Д.Скотта в феврале 1970 Представлен на семинаре Д.Скотта в феврале 1970 Позже он говорил Моргенштерну, что хотя и удовлетворен доказательством, все же сомневается, стоит ли его публиковать Позже он говорил Моргенштерну, что хотя и удовлетворен доказательством, все же сомневается, стоит ли его публиковать Доказательство стало известным в изложении Д.Скотта (1987); здесь будет рассмотрен исходный вариант Доказательство стало известным в изложении Д.Скотта (1987); здесь будет рассмотрен исходный вариант

Обозначения: P(F) - свойство F является позитивным P(F) - свойство F является позитивным &, V,, ~ - пропозициональные связки &, V,, ~ - пропозициональные связки - возможно - возможно - необходимо - необходимо - квантор общности - квантор общности - квантор существования - квантор существования

Определения D1. G(x) F(P(F) F(x)) D1. G(x) F(P(F) F(x)) –Быть Богом (G) значит обладать всеми позитивными свойствами* * «Позитивное» Гёдель трактует неоднозначно – говоря о нем и как о чем-то «морально- эстетически» ценном, и как о чем-то, что, будучи полностью проанализированным, не влечет никакого отрицания

Определения D2. F ess x H[H(x) x(H(x) F(x))]* D2. F ess x H[H(x) x(H(x) F(x))]* –Для свойства F быть сущностью предмета х означает, что любое свойство, присущее данному предмету, с необходимостью включается в свойство F * Дана Скотт добавил к этому определению конъюнкт F(x); в противном случае, из наличия свойства, с необходимостью отсутствующего у всех объектов, можно было бы вывести, что оно-то и является сущностью х, а вкупе с определением D3 это означало бы, что ни один объект не обладает свойством Е (Адамс, с. 932)

Определения D3. E(x) F(F ess x xF(x)) D3. E(x) F(F ess x xF(x)) –Необходимое существование (Е) присуще предмету х, когда из сущности х вытекает, что необходимо найдется предмет, обладающий этой сущностью * * Легко подобрать примеры из математики, когда существование объектов можно с необходимостью дедуцировать из самого их определения (в рамках имеющейся теории) –Введение предиката Е не подпадает под кантовскую критику «существование не есть реальный предикат», т.к. это предикат фактически, второпорядковый (он определяется через второпорядковый предикат ess) фактически, второпорядковый (он определяется через второпорядковый предикат ess) логический, а не реальный логический, а не реальный

Аксиомы А1. P(F) & P(Н) Р(F&Н) А1. P(F) & P(Н) Р(F&Н) –конъюнкция позитивных свойств является позитивным свойством А2. ~P(F) P(~F) А2. ~P(F) P(~F) –свойство не является позитивным только если позитивно его отрицание* * Э. Андерсон ставит под сомнение принцип «позитивного исключенного третьего», подразумеваемый в А2; вместе с определением D1 данная аксиома фактически утверждает, что Богу присущие все позитивные свойства И ТОЛЬКО они

Аксиомы А3. P(F) P(F) А3. P(F) P(F) –позитивное свойство позитивно с необходимостью * А4. Р(E) А4. Р(E) –существование является позитивным свойством ** * То есть граница между позитивными и негативными свойствами не только однозначна (А2), но и неизменна сквозь возможные миры! ** Это интуитивно вполне согласуется с определением Е и А3

Аксиомы А5. [P(F) & x(F(x) Н(x)] P(Н) А5. [P(F) & x(F(x) Н(x)] P(Н) –все, что с необходимостью следует из позитивного свойства, является позитивным свойством (в частности, х=х - позитивное свойство, а хх – негативное) Собственно, здесь ключ к пониманию «позитивности» у Гёделя: позитивно лишь то, что (при полном анализе) не влечет никаких негативных следствий Собственно, здесь ключ к пониманию «позитивности» у Гёделя: позитивно лишь то, что (при полном анализе) не влечет никаких негативных следствий Поскольку в А4 позитивность Е уже постулирована, все позитивное должно быть согласуемо с Е Поскольку в А4 позитивность Е уже постулирована, все позитивное должно быть согласуемо с Е

Доказательство Лемма 1. G(x) G ess x Лемма 1. G(x) G ess x –быть Богом – существенное свойство 1.G(x) доп. 2.F(P(F) F(x))D1 3.F(F(x) P(F))(2) A2 4.F(F(x) P(F))(3) A3 5.F(F(x) F(x))(2,4) 6.G(x) F(F(x) F(x))(5) 7.x(G(x) F(F(x) F(x))) (6) 8.F(F(x) x(G(x) F(x))(7) 9.F(F(x) x(F(x) G(x))(8) 10.G ess x(9) D2 11.G(x) G ess x(10)

Доказательство Лемма 2. G(x) yG(y) Лемма 2. G(x) yG(y) –если х является Богом, то с необходимостью найдется объект, который является Богом 1.Р(E)A4 2.G(x) E(x)(1) D1 3.G(x) G ess xЛемма 1 4.E(x) (G ess x xG(x)) D3 5.G(x) yG(y)(2-4)

Доказательство Лемма 3. xG(x)yG(y) Лемма 3. xG(x)yG(y) –Если существование Бога возможно, то возможно, что оно необходимо (из леммы 2 по аксиоме (А В) (А В) Лемма 4. xG(x) Лемма 4. xG(x) –Возможно, что существует Бог (из A1 и А5 доказывается, что понятие G логически непротиворечиво)

Доказательство Теорема: yG(y) Теорема: yG(y) –Бог необходимо существует 1.xG(x) Лемма 4 2.xG(x) yG(y) Лемма 3 3.yG(y) yG(y) S5 4.yG(y)