МОУ « Средняя общеобразовательная школа 81» имени Евгения Ивановича Страродуб Секция математики Проект: Модели к задачам по теме «Многогранники». Грачёва Ирина Евгеньевна М.О.У. «Средняя общеобразовательная школа 81», 9 «А» класс Научный руководитель: Чеппе Инесса Валентиновна – учитель математики высшей квалификационной категории г. Новокузнецк 2011

Оглавление. 1. Введение. 2. Основная часть: историческая справка; описание моделей. 3. Заключение. 4. Список используемой литературы. 5. Приложение.

Введение. Данная тема выбрана в связи с тем, что задачи в пространстве без моделирования решить сложно. Чтобы приобрести пространственное видение, необходимо уметь смоделировать задачу. В теме «Многогранники» в основе лежит представление задач, решение которых происходит внутри этих многогранников. Познакомившись с задачами поближе, я поняла, что удобнее решать такие задачи, когда у тебя есть возможность смоделировать условие задачи и обозначить элементы, которые необходимо найти. Объектом исследования я выбрала тему «Многогранники» и предметом исследования стали задачи. Каждой задаче я постаралась сконструировать модель, позволяющую на ней отметить данные задачи и обозначить траекторию поиска решений. Таким образом, мне удалось рассмотреть 10 задач, подготовить 10 моделей. Научной работой «Модели к урокам стереометрии для решения задач по теме «Многогранники» » я занимаюсь первый год. Моя работа представляет собой комплект моделей по решению задач. Такой комплект легко создать для обучающегося, у которого могут возникнуть проблемы при работе со стереометрическим материалом.

Историческая справка. Начиная с 7-го века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходи постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства. Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики это правильный невыпуклый или звёздчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов. Существование только пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем и сам Пифагор полагали, что материя состоит из четырёх основных элементов: огня земли воздуха и воды. Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел.

В своём проекте рассмотрела такие многогранники, как «Призмы» и «Пирамиды». Призмы. Задача 220. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см. и 24 см., а высота параллелепипеда равна 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда. Инструкция по сборке: 1. Соберите основание-ромб; 2. Прикрепите диагонали (большая диагональ - оранжевая, маленькая диагональ - зелёная); 3. Закончите сборку параллелепипеда; 4. Закрепите большую и маленькую диагонали.

Задача 221. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см., боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания. Инструкция по сборке: 1. Соберите равносторонний треугольник, у которого одна из вершин - красный шарик; 2. Достройте до призмы; 3. Прикрепите красные палочки, образующие сечение.

Задача 222. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25см. и 9 см. и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых рёбрах призмы. Инструкция по сборке: 1.Соберите основание – равнобедренная трапеция; 2. Достройте до прямой призмы; 3. Прикрепите к зелёному ребру зелёные плоскости, а к голубому ребру голубые плоскости (смотрите рисунок).

Задача 224. Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равна 4 см. Задача 225. Диагональ правильной четырёхугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания. Инструкция по сборке: 1. Соберите квадрат; 2. Завершите сборку прямоугольной призмой; 3. Закрепите диагональ; 4. Выполните построение сечения, соединив красные шарики (смотрите рисунок).

Задача 226. В правильной четырёхугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см., а её высота равна 4 см. Инструкция по сборке: 1. Соберите основание – квадрат; 2. Достройте до правильной призмы; 3. Закрепите диагональ; 4. Выполните построение сечения (смотрите рисунок).

Пирамиды. Задача 239. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см., а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые рёбра пирамиды если высота её проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см. Инструкция по сборке: 1. Начните сборку с крепления диагоналей (большая - красная, меньшая -зелёная); 2. Закончите сборку основания - ромб; 3. Установите высоту; 4. Закрепите шарик на высоте, являющейся вершиной пирамиды; 5. Соедините вершины основания с вершиной пирамиды.

Задача 241. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м. 4 м. и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Инструкция по сборке: 1. Начните сборку с крепления диагоналей (большая – красная, меньшая -зелёная); 2. Закончите сборку основания параллелограмм; 3. установите высоту; 4. Закрепите шарик на высоте, являющейся вершиной пирамиды; 5. Соедините вершины основания с вершиной пирамиды.

Задача 243. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого AB=AC=13 см., BC=10 см.; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Инструкция по сборке: 1. Соберите основание – равнобедренный треугольник (равные стороны- красные); 2. В вершину равнобедренного треугольника закрепите высоту перпендикулярную к плоскости основания; 3. Закрепите шарик на высоте, являющейся вершиной пирамиды; 4. Достройте пирамиду.

Задача 244. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC, у которого гипотенуза AB равна 29 см., а катет AC равен 21 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Инструкция по сборке: 1. Соберите основание – прямоугольный треугольник (катеты – зелёные, гипотенуза – красная); 2. В вершину прямоугольного треугольника закрепите высоту перпендикулярную к плоскости основания; 3. Закрепите шарик на высоте, являющейся вершиной пирамиды; 4. Достройте пирамиду.

Заключение. В результате работы над темой мне удалось составить комплекты для решения задач по темам «Призмы», «Пирамиды», составить инструкции по сборке моделей к каждой задаче, придумать способ хранения. В приложении можно ознакомиться с тем, как выглядят модели к задачам. Я считаю, что любой старшеклассник способен изготовить для себя ряд таких моделей для решения задач, вызывающих затруднения.

Список используемой литературы. 1. Геометрия, 10-11: учебн. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] – 15-е изд., доп. – М.: Просвещение, Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение,

Приложение. Модели к задачам по теме «Призмы». Задача 220. Задача 221. Задача 222. Задача 224, 225.

Задача 226. Модели к задачам по теме «Пирамиды». Задача 239. Задача 243.

Задача 243. Задача 244.