Высокоточные Разложения Важнейших Функций Небесной Механики в Аналитические Ряды и их Приложения С. М. Кудрявцев Государственный Астрономический Институт им. П. К. Штернберга ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ АСТРОМЕТРИИ Всероссийская конференция-школа для молодых ученых октября 2007 г.

Актуальность темы 2. Точных аналитических теориях движения спутников планет; Компактные аналитические ряды, представляющие координаты небесных тел и другие функции небесной механики, используются в 1. Теориях прецессии и нутации Земли, теориях земных приливов; 3. Современной практике космических полетов. Например: в 2003г. аналитические разложения координат Луны и планет заменили численные эфемериды этих тел в наземном матобеспечении Космического телескопа им. Хаббла; координаты спутников GPS представляются аналитическими полиномами как на борту КА, так и в наземных приемниках. ! Весьма актуально повышение точности имеющихся аналитических разложений и теорий движения до уровня точности современных численных эфемерид Луны и планет.

Этапы работы 1. Разработка универсального метода разложения произвольной функции от координат Луны, Солнца и планет (вычисленной на основе современных численных эфемерид этих тел) в высокоточные аналитические ряды; приливообразующего потенциала на поверхности Земли (является основой теорий нутации и земных приливов), а также соответствующих приливных вариаций геопотенциала; разложение современной численной эфемериды Луны на длительном интервале времени (до нескольких тысяч лет); разложения главных пертурбационных функций движения ИСЗ. 2. Получение с помощью данного метода новых разложений ряда важнейших функций небесной механики, например:

1) Вычисляются численные проекции функции на базис: I. Метод разложения функции в ряд Пуассона Пустьтабулирована с малым шагом на интервале [-T, T]. Ищется представлениев виде. 2) Выполняется процедура ортогонализации базиса ( ! N ~ ; аргументы – нелинейные функции времени) есть набор заранее определенных аргументов вида где,, Базисные функции есть весовая функция (фильтр Ханнинга).

Тестирование метода Источник данных: аналитическая теория движения Луны ELP , где функция расстояния представлена рядом Пуассона (320 членов) в котором: Таблица: геоцентрическое расстояние до Луны, вычисленное с шагом 1 сутки на интервале 6000 лет: 1000 до н.э н.э. p=2 (амплитуды – полиномы 2-го порядка от времени) q=4 (аргументы – полиномы 4-го порядка от времени) Результаты использования нового метода: найдены все коэффициенты всех 320 членов оригинального разложения; максимальное отклонение между значениями дальности, вычисляемое в ELP и в восстановленном разложении, не превышает 1,5 сантиметра на интервале времени 6000 лет.

II. Новое аналитическое разложение приливообразующего потенциала Земли Аналитические разложения приливообразующего потенциала Земли служат основой для построения: 1. Теорий морских приливов и приливных деформаций упругой Земли; 2. Теорий нутации Земли. ИСТОРИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ Doodson (1921); Cartwright & Tayler (1971), Cartwright & Edden (1973); Büllesfeld (1985); Xi (1987, 1989); Tamura (1987, 1995); Hartmann & Wenzel (1994, 1995): HW95; Roosbeek (1996): RATGP95 Kudryavtsev (2004): KSM03

Приливообразующий потенциал Земли Классическое представление приливообразующего потенциала, порождаемого Луной, Солнцем и планетами в точке P на поверхности Земли в момент времени t P V r где V - значение потенциала в P в момент t; r - геоцентрическое расстояние P; - гравитационный параметр j-го тела; r j - геоцентрическое расстояние j-го тела; - угол между P и j-м телом; P n - полином Лежандра степени n. Плюс ряд добавочных членов, отражающих эффект сжатия Земли.

Форма представления потенциала в KSM03 где - местное среднее звездное время в - прямое восхождение и склонение j-го тела; : Коэффициенты разложения потенциала - средний экваториальный радиус Земли;, - нормализованные присоединенные функции Лежандра.

Характеристики решения KSM03 Учитывается действие: Луна, Солнце, Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн Источник эфемерид: DE/LE-406; интервал времени гг. Форма рядов Пуассона для коэффициентов C nm (t), S nm (t) : p=2 (амплитуды есть полиномы 2-го порядка от времени) q=4 (аргументы есть полиномы 4-го порядка от времени) Минимальная амплитуда членов ряда: м 2 /с 2 (макс. = 1,2 м 2 /с 2 ) Количество членов разложения потенциала в оригинальном формате разложения KSM03: представленном в стандартном формате HW95:28806 (12935 – в HW95; 6499 – в RATGP95)

(5 nGal over ) (1.23 nGal over ) Количество членов разложения Lg (отклонение от опорных значений, nGal) среднеквадратическая ошибка максимальная ошибка RATGP95 HW95 (5 nGal в гг.) (1.23 nGal в гг.) KSM03 (0.39 nGal в гг.) Вычисление гравитационных приливов (на примере среднеширотной станции BFO)

III. Разложение главных пертурбационных функций спутниковой задачи для аналитических теорий движения ИСЗ Перспективное применение аналитических теорий ИСЗ СПУТНИКОВАЯ НАВИГАЦИЯ (системы типа GPS, ГЛОНАСС, Galileo) в GPS: для представления координат ИСЗ на борту КА и на Земле уже используются краткосрочные аналитические полиномы; в ГЛОНАСС: используется упрощенный метод численного прогнозирования орбиты (действителен только на протяжении ± 15 минут от времени начальных условий). Использовать аналитические теории для представления координат КА ГЛОНАСС. Необходимо повышение точности имеющихся аналитических теорий.

Дифференциальные уравнения Лагранжа движения спутника где: R - возмущающая функция, a, e, i, Ω, π, λ – Кеплеровы элементы орбиты ИСЗ, n – среднее движение,

Аналитическое интегрирование уравнений Лагранжа методом малого параметра где, t – произвольная эпоха Решение ищется в виде рядов по степеням малого параметра Уравнения Лагранжа в схематическом виде есть вектор средних элементов орбиты спутника в начальную эпоху t 0,..., где

Возмущения 5-го порядка

Получение аналитического решения 5-го порядка на компьютере Пертурбационные функции и правые части уравнений Лагранжа представляются тригонометрическими рядами Возмущения первого порядка:, где есть численные коэффициенты Возмущения 2-го и более высоких порядков получаются путем перемножения двух и более тригонометрических рядов (один из которых есть ряд частных производных, а остальные – ряды полученных ранее возмущений низших порядков) и, как следствие, есть также тригонометрические ряды.

Разложения пертурбационных функций в тригонометрические ряды 3. Пертурбационные функции, обусловленные вращением Земли прецессия и нутация геоэкватора; движение полюсов; нерегулярное вращение Земли вокруг оси (UT1-UTC); 2. Пертурбационная функция, обусловленная приливными деформациями упругой Земли 1. Пертурбационная функция, обусловленная притяжением Луны, Солнца и планет Были получены формулы трансформации всех коэффициентов разложения геопотенциала при вращении из Земной системы координат в Небесную систему координат фиксированной эпохи. Использовалось разложение приливообразующего потенциала KSM членов, использовался новый метод спектрального анализа

Аналитическое вычисление геодинамических эффектов в движении ИСЗ ИСЗ: STARLETTE (a = 7300 км); ЭТАЛОН-1 (a =25500 км) Модель движения: геопотенциал (36*36); эффекты прецессии и нутации, движение полюсов, нерегулярное вращение Земли вокруг оси, эффекты морских и других приливов - вычисляемые в соответствии с рекомендациями МСВЗ (IERS Conventions). Сравнение аналитического и численного (*) методов ___________________________________________________ ИСЗ Интервал сравнения С.К.Отклонение / кол-во витков в координатах. STARLETTE 1 месяц / 415 витков 65 см ЭТАЛОН-1 1 год / 775 витков 1,6 см ___________________________________________________ (*) использовался метод Эверхарта 15-го порядка

IV. Высокоточное аналитическое разложение эфемериды Луны Теория движения Луны – классическая задача небесной механики. Современные аналитические теории движения Луны Hill (1905); Brown (1897, 1899, 1905, 1908, 1919); Eckert, Jones & Clark (1954); Фурсенко (1965); Schmidt (1980); Gutzwiller & Schmidt (1986); Deprit, Henrard & Rom (1971); Henrard (1978, 1980); Chapront-Touzé & Chapront (1983, 1988, 1997): серия ELP; Bidart (2001): ELP/MPP01; Chapront & Francou (2003): ELP/MPP02 Современные долгосрочные численные теории движения Луны LE-200, LE-403/404, LE-405/406 (Standish et al. 1981, 1995, 1998) серия EPM (Krasinsky 2002; Pitjeva 2001, 2003)

Форма аналитического разложения эфемериды Луны Геоцентрическая дальность Эклиптическая долгота (вдоль подвижной эклиптики от даты) Эклиптическая широта (от подвижной эклиптики) где. - средняя долгота Луны)(где

Аналитическое разложение эфемериды Луны. Полное решение LEA-406a [ гг.] ___________________________________________________________ Коор- Кол-во Мин. Максимальная ошибка (1) на интервале дината чл.ряда ампл гг гг гг. (2) r см 1,7 м 3,2 м 0,20 км V , ,0038 0,0056 0,42 U , ,0013 0,0018 0,33 ___________________________________________________________ Решение ELP/MPP02 (Chapront & Francou 2003)_______________ Коор- Кол-во Мин. Максимальная ошибка (1) на интервале дината чл.ряда ампл гг гг гг. r см 2,4 м 29 м 1,4 км V , ,006 0,40 2,4 U , ,0018 0,034 0,5 __________________________________________________________ (1) Относительно координат, предоставляемых численной эфемеридой LE-405/406 (2) Использовалось упрощенное решение LEA-406b (минимальная амплитуда: 1 м)

СПАСИБО ЗА ВАШЕ ВНИМАНИЕ !

Главные вариации геопотенциала, вызванные приливными деформациями упругой Земли IERS Conventions (2003): где - главные вариации гравитационных коэффициентов, обусловленные приливными деформациями Земли; - комплексные значения числа Лява степени n и порядка m; расстояние, экв. широта и долгота Луны и Солнца ; - гравитационный параметр, геоцентрическое, - экв. радиус и гравитационный параметр Земли; - нормализованные присоединенные функции Лежандра.

Разложение вариаций в ряды Пуассона где,,,, - действительная часть- мнимая часть,,- коэффициенты разложения KSM03 прилив. потенциала. n / m: / -164 / / / -20 / 2024 / 2420 / / -13 / 1612 / 10 Количество членов в аналитических разложениях / / Мин. ампл.: Интервал времени: гг.,

___________________________________________________ ИСЗ Интервал сравнения С.К.Отклонение / кол-во витков в координатах. STARLETTE 1 месяц / 415 витков 26 см ЭТАЛОН-1 1 год / 775 витков 1,1 см Фобос 2 года / 2300 витков 2,5 см ___________________________________________________ Применение решения 5-го порядка к учету гео(-арео)потенциала в движении спутника ИСЗ: STARLETTE (a = 7300 км); ЭТАЛОН-1 (a = км) Спутник Марса: Фобос (a = 9380 км) Модель движения: геопотенциал (36*36); ареопотенциал (12*12) Сравнение аналитического и численного (*) методов (*) использовался метод Эверхарта 15-го порядка

Различие результатов аналитического и численного прогноза движения ИСЗ ЭТАЛОН-1 ( модель движения: геопотенциал 36*36) a (км) e i (рад.) (рад) (рад.) (рад) Ухудшение результатов численного прогноза после 5 лет

Учет всех вращений Земли в движении ИСЗ Прецессия и нутация геоэкватора; Движение полюсов; Нерегулярное вращение Земли Интегрирование уравнений движения спутника ведется в Небесной системе отсчета (подобно численным методам.) Для этого все коэффициенты разложения геопотенциала (постоянные в Земной системе отсчета) представляются в Небесной системе отсчета в виде фунrций времени и всех углов вращения. Все эти эффекты описывают изменения величины и направления вектора мгновенного вращения Земли относительно Небесной системы отсчета ICRF, а также Земной системы отсчета («движение полюсов»), в которой определены коэффициенты разложения гравитационного потенциала Земли.

Трансформации коэффициентов разложения геопотенциала при вращениях (пример) Ось вращенияУгол вращения

Трансформации коэффициентов разложения геопотенциала при вращениях на малые углы где

Представление коэффициентов разложения геопотенциала в ICRF (пример) Регулярная часть вращения Земли Координаты полюса Нутация в долготе Прецессионные величины Подобные формулы были получены для всех гармоник разложения геопотенциала (36*36) в инерциальной Небесной системе отсчета и использованы в аналитическом прогнозе движения спутника Земли. Постоянные значения коэффициентов (в Земной системе отсчета)

Аналитическое вычисление эффектов вращения Земной системы координат в движении ИСЗ ИСЗ: STARLETTE (a = 7300 км); ЭТАЛОН-1 (a = км) Модель движения: геопотенциал (36*36); полные эффекты прецессии и нутации; движение полюсов и значения UT1-UTC (нерегулярности вращения Земли), определяемые ежедневными публикацими IERS. Сравнение аналитического и численного (*) методов ___________________________________________________ ИСЗ Интервал сравнения С.К.Отклонение / кол-во витков в координатах. STARLETTE 1 месяц / 415 витков 43 см ЭТАЛОН-1 1 год / 775 витков 1,4 см ___________________________________________________ (*) использовался метод Эверхарта 15-го порядка

Приливные эффекты Все приливные эффекты (а именно, морские приливы, приливные деформации упругой Земли, «полюсной» прилив) могут быть представлены периодическими вариациями коэффициентов разложения геопотенциала (достигающими 10% от значений самих коэффициентов) Эффект приливных вариаций коэффициентов разложения геопотенциала учитывается по аналитическому алгоритму, подобному тому, что использовался для вычисления возмущений, обусловленных вращениями Земной системы координат (в обоих случаях коэффициенты разложения геопотенциала есть переменные функции времени). Главные вариации геопотенциала, вызванные приливными деформациями упругой Земли, рассчитывались на основе разложения приливообразующего потенциала KSM03.

Разложение возмущающей функции от притяжения Луны, Солнца и планет где - оскулирующие Кеплеровы элементы орбиты ИСЗ, - функция наклона; - коэффициенты Ганзена, - масштабный множитель (здесь принят равным км с тем чтобы для всех ИСЗ вплоть до геостационарных);

Разложение возмущающей функции от притяжения Луны, Солнца и планет (окон.) геоцентрическое расстояние, прямое восхождение и склонение тела j (Луны, Солнца или планеты) в эпоху t; и есть, соответственно, гравитационный параметр, - присоединенные функции Лежандра. Коэффициенты содержат в себе всю информацию о мгновенных положениях возмущающих тел.

Разложение возмущающей функции от притяжения Луны, Солнца и планет Источник координат: численные эфемериды DE/LE-406 Притягивающие тела: Луна, Солнце, Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн Форма рядов Пуассона: p=2 (амплитуды есть полиномы 2-го порядка) q=4 (аргументы есть полиномы 4-го порядка) Минимальная амплитуда для: м 2 /с 2 (соответствующее относительное значение: ); max l = 8 Общее число членов разложения: Значения интервале 1000 – 3000 гг. и разлагаются в ряды Пуассона табулируются с шагом 1 сутки на