Учитель математики СОШ 115 г Перми Арапова Т.А. Построение сечений многогранников Урок геометрии в 10 классе

Учитель математики Арапова Т.А. Основные методы построения сечений Метод, основанный на использовании аксиом и теорем стереометрии Метод следов Метод внутреннего проектирования ХХХХ

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Для построения сечений необходимо помнить о следующих аксиомах и теоремах стереометрии: А 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. α В А

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Для построения сечений необходимо помнить о следующих аксиомах и теоремах стереометрии: α β а А 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. А

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Для построения сечений необходимо помнить о следующих аксиомах и теоремах стереометрии: α β γ Т 3. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, линии их пересечения параллельны.

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Пример 1. Пример 1. Построить сечение через точки К,Р,М. Построение: АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Комментарии: 2. МК 1. РК Точки Р и К лежат в плоскости CDD1C1, искомое сечение пересекает правую грань по РК М К Р Точки М и К лежат в плоскости АDD1А1, искомое сечение пересекает переднюю грань по МК 3. МР Точки М и Р лежат в плоскости А1В1С 1D 1, искомое сечение пересекает верхнюю грань по МР МРК – искомое сечение

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Пример 2.ВDD 1 В 1 Пример 2. Построить сечение, проходящее через точку Р и параллельное ВDD 1 В 1. Построение: АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Комментарии: 1. РР 1 D1В 1 Искомое сечение п пп плоскости ВDD1В1, значит линии пересечений верхней грани и данных плоскостей должны быть параллельны. Р Р1Р1 2. РР 2 D1D Искомое сечение п пп плоскости ВDD1В1, значит линии пересечений левой грани и данных плоскостей должны быть параллельны. Р2Р2 3. Р 1Р 3 D1D Р3Р3 Искомое сечение п пп плоскости ВDD1В1, значит линии пересечений передней грани и данных плоскостей должны быть параллельны. 4. Р 2Р 3 DВ РР1Р3Р2 – искомое сечение Искомое сечение п пп плоскости ВDD1В1, значит линии пересечений нижней грани и данных плоскостей должны быть параллельны.

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Пример 3. Пример 3. Построить сечение, проходящее через точки МРК. Построение: АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Комментарии: 1. МР Р К М Точки М и Р лежат в плоскости А1D1DА искомое сечение пересекает переднюю грань по МР 2. РК Точки К и Р лежат в плоскости А1В1ВА искомое сечение пересекает левую грань по КР 3. МРАD=О1 О1О1 4. О1КСВ=О2 5. РКВВ1=О3 Точки К и О1 лежат в плоскости АВCD искомое сечение пересекает нижнюю грань по КО 2 О2О2 О3О3 Прямые РК и ВВ1 лежат на левой грани 6. О2О3СС1=О4 О4О4Точки О2 и О4 лежат в плоскости С1В1ВС, искомое сечение пересекает заднюю грань по О 2 О 4 7. МО4 РКО2О4М – искомое сечение

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Построение: АВ D1D1 D С А1А1 C1C1 В1В1 Комментарии: 1.Р Р КККК М К Р РЕШИМ ВМЕСТЕ. РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М. РРРР ММММ КККК ММММ

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Построение: АВ D1D1 D С А1А1 C1C1 В1В1 Комментарии: М К Р РЕШИМ ВМЕСТЕ. РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М. 1. РМ Точки М и Р лежат на правой грани, искомое сечение пересекает грань по МР 2. Р Р Р Р Р ММММ ВВВВ СССС ==== ОООО Р Р Р Р Р ММММ DDDD СССС ==== ОООО 2222

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Построение: АВ D1D1 D С А1А1 C1C1 В1В1 Комментарии: М К Р РЕШИМ ВМЕСТЕ. РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М. 1. РМ Обе прямые лежат на правой грани 2. РМВС=О1 О1О1 3. К К К К К ОООО 1111 АААА АААА 1111 ==== ОООО К К К К К ОООО 1111 DDDD CCCC ==== ОООО К К К К К ОООО 1111 CCCC CCCC 1111 ==== ОООО 4444

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Построение: АВ D1D1 D С А1А1 C1C1 В1В1 Комментарии: М К Р РЕШИМ ВМЕСТЕ. РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М. 1. РМ Обе прямые лежат на нижней грани. Искомое сечение пересекает грань по КО3 2. РМВС=О 1 О1О1 3. КО1DC=О3 О3О34. М М М М М ОООО Р Р Р Р Р ОООО М М М М М КККК

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Построение: АВ D1D1 D С А1А1 C1C1 В1В1 Комментарии: М К Р РЕШИМ ВМЕСТЕ. РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М. 1. РМ 2. РМВС=О 1 О1О1 3. КО 1DC=О 3 О3О34. МО3 Точки М и О3 лежат на задней грани искомое сечение пересекает грань по МО 3 5. М М М М М ОООО 3333 DDDD АААА ==== ОООО М М М М М ОООО 3333 DDDD DDDD 1111 ==== ОООО 4444

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Построение: АВ D1D1 D С А1А1 C1C1 В1В1 Комментарии: М К Р РЕШИМ ВМЕСТЕ. РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М. 1. РМ 2. РМВС=О 1 О1О1 3. КО 1DC=О 3 О3О3 4. МО 3 5. МО3DD1=О4 О4О4 М О3 и DD1 лежат на задней грани 6. K K K K K ОООО 4444 AAAA BBBB ==== ОООО K K K K K ОООО 4444 AAAA AAAA 1111 ==== ОООО 5555

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Построение: АВ D1D1 D С А1А1 C1C1 В1В1 Комментарии: М К Р РЕШИМ ВМЕСТЕ. РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М. 1. РМ 2. РМВС=О 1 О1О1 3. КО 1DC=О 3 О3О3 4. МО 3 5. МО 3DD 1 =О 4 О4О4 K О4 и AA1 лежат на левой грани. Искомое сечение пересекает грань по КО5 6. KО4AA1=О5 О5О5 7. Р Р Р Р Р ОООО О О О О О 3333 ОООО М М М М М ОООО 5555

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Построение: АВ D1D1 D С А1А1 C1C1 В1В1 Комментарии: М К Р РЕШИМ ВМЕСТЕ. РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М. 1. РМ 2. РМВС=О 1 О1О1 3. КО 1DC=О 3 О3О3 4. МО 3 5. МО 3DD 1 =О 4 О4О4 6. KО 4AA 1 =О 5 О5О5 7. РО5 РМО3КО5М– искомое сечение

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии РЕШИТЕ САМИ РЕШИТЕ САМИ Построить сечение через точки К,Р,М. АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 М К Р

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии РЕШИТЕ САМИ РЕШИТЕ САМИ Построить сечение через точки К,Р,М. АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 М К Р СВЕРИМСЯ!

Учитель математики Арапова Т.А. Метод следов АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 След секущей плоскости – это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника. пересекает плоскость основания АВСD Плоскость сечения α α по прямой а а – след секущей плоскости α а

Учитель математики Арапова Т.А. следов Метод следов АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Пример 4. Пример 4. Построить сечение, проходящее через точки ОРК. О К Р Комментарии: 1. РР1, ОВ, КК1 Спроецируем Р,К,О на плоскость АВСD. К1К1 Р1Р1 2. Р1К1КР=Х Х принадлежит следу секущей плоскости. Х 3. ВК1КО=У У принадлежит следу секущей плоскости. У

Учитель математики Арапова Т.А. следов Метод следов АВ D1D1 DС А1А1 C1C1 B1B1 Пример 4. Пример 4. Построить сечение, проходящее через точки ОРК. О К Р Комментарии: 1. РР 1, ОВ, КК 1 К1К1 Р1Р1 2. Р 1 К 1 КР=Х Х 3. ВК 1 КО=У У 4. ХУ ХУ - след секущей плоскости 5. АDХУ=Т Т 6. ТОАА1=О1 О1О1 Искомая секущая плоскость пересекает левую грань по ОО1 7. КО1ВВ1=О2 Искомая секущая плоскость пересекает переднюю грань по КО1 О2О2

Учитель математики Арапова Т.А. следов Метод следов АВ D1D1 DС А1А1 C1C1 B1B1 Пример 4. Пример 4. Построить сечение, проходящее через точки ОРК. О К Р Комментарии: 1. РР 1, ОВ, КК 1 К1К1 Р1Р1 2. Р 1 К 1 КР=Х Х 3. ВК 1 КО=У У 4. ХУ 5. АDХУ=Т Т 6. ТОАА 1 =О 1 О1О1 О2О2 7. КО 1 ВВ 1 =О 2 8. РО2СС1=О3 Искомая секущая плоскость пересекает правую грань по О3О2 О3О3 9. О2О ОО3О2О1– искомое сечение

Учитель математики Арапова Т.А. Метод внутреннего проектирования АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 О Р К Метод удобен при построении сечений в тех случаях, когда почему-либо неудобно находить след секущей плоскости. Пример 5. Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О. Комментарии: Плоскость АА 1 РР 1, определяется параллельными прямыми АА 1 и РР 1 1.А А1РР1 2.D D1ОО1 Р1Р1 Плоскость DD 1 ОО 1, определяется параллельными прямыми DD 1 и OO 1 О1О1

Учитель математики Арапова Т.А. Метод внутреннего проектирования АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 О Р К Пример 5. Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О. Комментарии: 1.АА 1 РР 1 2.DD 1 ОО 1 Р1Р1 О1О1 3. А А А АА1РР1 DD1ОО1 =ММ1 М М1М1

Учитель математики Арапова Т.А. Метод внутреннего проектирования АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 О Р К Пример 5. Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О. Комментарии: 1.АА 1 РР 1 2.DD 1 ОО 1 Р1Р1 О1О1 3. АА 1 РР 1 DD 1 ОО 1 =ММ 1 М М1М1 4. К К К КР ММ1=М2 М2М2

Учитель математики Арапова Т.А. Метод внутреннего проектирования АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 О Р К Пример 5. Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О. Комментарии: 1.АА 1 РР 1 2.DD 1 ОО 1 Р1Р1 О1О1 3. АА 1 РР 1 DD 1 ОО 1 =ММ 1 М М1М1 4. КР ММ 1 =М 2 М2М2 5. О О О ОМ2 DD1=S S Точка S принадлежит искомому сечению

Учитель математики Арапова Т.А. Метод внутреннего проектирования АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 О Р К Пример 5. Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О. Комментарии: 1.АА 1 РР 1 2.DD 1 ОО 1 Р1Р1 О1О1 3. АА 1 РР 1 DD 1 ОО 1 =ММ 1 М М1М1 4. КР ММ 1 =М 2 М2М2 5. ОМ 2 DD 1 =S S 6. S S S SP CC1=H H Т очки S и Р лежат на правой грани, искомое сечение пересекает грань по SР

Учитель математики Арапова Т.А. Метод внутреннего проектирования АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 О Р К Пример 5. Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О. Комментарии: 1.АА 1 РР 1 2.DD 1 ОО 1 Р1Р1 О1О1 3. АА 1 РР 1 DD 1 ОО 1 =ММ 1 М М1М1 4. КР ММ 1 =М 2 М2М2 5. ОМ 2 DD 1 =S S 6. SP CC 1 =H H Т очки O и H лежат на задней грани, искомое сечение пересекает грань по OH 7. O O O OH BB1=L L

Учитель математики Арапова Т.А. Метод внутреннего проектирования АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 О Р К Пример 5. Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О. Комментарии: 1.АА 1 РР 1 2.DD 1 ОО 1 Р1Р1 О1О1 3. АА 1 РР 1 DD 1 ОО 1 =ММ 1 М М1М1 4. КР ММ 1 =М 2 М2М2 5. ОМ 2 DD 1 =S S 6. SP CC 1 =H H Т очки К и S лежат на передней грани, искомое сечение пересекает грань по SK 7. OH BB1=L 8. S S S SK L

Учитель математики Арапова Т.А. Метод внутреннего проектирования АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 О Р К Пример 5. Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О. Комментарии: 1.АА 1 РР 1 2.DD 1 ОО 1 Р1Р1 О1О1 3. АА 1 РР 1 DD 1 ОО 1 =ММ 1 М М1М1 4. КР ММ 1 =М 2 М2М2 5. ОМ 2 DD 1 =S S 6. SP CC 1 =H H Т очки K и L лежат на левой грани, искомое сечение пересекает грань по VK 7. OH BB1=L 8. SK L 9. K K K KL AB1=V V

Учитель математики Арапова Т.А. Метод внутреннего проектирования АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 О Р К Пример 5. Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О. Комментарии: 1.АА 1 РР 1 2.DD 1 ОО 1 Р1Р1 О1О1 3. АА 1 РР 1 DD 1 ОО 1 =ММ 1 М М1М1 4. КР ММ 1 =М 2 М2М2 5. ОМ 2 DD 1 =S S 6. SP CC 1 =H H Т очки O и V лежат на верхней грани, искомое сечение пересекает грань по VO 7. OH BB1=L 8. SK L 9. KL AB 1 =V V 10. OVKVOHS-искомое сечение

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Построение: АВ D1D1 D С А1А1 C1C1 В1В1 Комментарии: 1.РК Эти точки лежат в разных Эти точки лежат в разных гранях! М К Р РЕШИМ ВМЕСТЕ. РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М. РМ

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Построение: АВ D1D1 D С А1А1 C1C1 В1В1 Комментарии: М К Р РЕШИМ ВМЕСТЕ. РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М. 1. РМ РМ и DС – скрещивающиеся прямые! Пересекаться они не могут! 2. РМВС=О 1 2. РМDС=О 2

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Построение: АВ D1D1 D С А1А1 C1C1 В1В1 Комментарии: М К Р РЕШИМ ВМЕСТЕ. РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М. 1. РМ 2. РМВС=О 1 О1О1 3. КО 1 АА 1 =О 2 3. КО 1DC=О 3 3. КО 1CC 1 =О 4 Это – скрещивающиеся прямые! Пересекаться они не могут!

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Построение: АВ D1D1 D С А1А1 C1C1 В1В1 Комментарии: М К Р РЕШИМ ВМЕСТЕ. РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М. 1. РМ 2. РМВС=О 1 О1О1 3. КО 1DC=О 3 О3О3 4. МО 3 4. РО 3 4. МК Эти точки лежат в разных гранях!

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Построение: АВ D1D1 D С А1А1 C1C1 В1В1 Комментарии: М К Р РЕШИМ ВМЕСТЕ. РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М. 1. РМ 2. РМВС=О 1 О1О1 3. КО 1DC=О 3 О3О3 4. МО 3 5. МО 3DА=О 2 5. МО 3DD 1 =О 4 Это – скрещивающиеся прямые! Пересекаться они не могут!

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Построение: АВ D1D1 D С А1А1 C1C1 В1В1 Комментарии: М К Р РЕШИМ ВМЕСТЕ. РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М. 1. РМ 2. РМВС=О 1 О1О1 3. КО 1DC=О 3 О3О3 4. МО 3 5. МО3DD1=О4 О4О4 6. KО4AB=О6 6. KО4AA1=О5 Это – скрещивающиеся прямые! Пересекаться они не могут!

Учитель математики Арапова Т.А. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии Построение: АВ D1D1 D С А1А1 C1C1 В1В1 Комментарии: М К Р РЕШИМ ВМЕСТЕ. РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М. 1. РМ 2. РМВС=О 1 О1О1 3. КО 1DC=О 3 О3О3 4. МО 3 5. МО 3DD 1 =О 4 О4О4 6. KО 4AA 1 =О 5 О5О5 О5О5 7. РО 5 7. О 3 О 5 7. МО 5 Эти точки лежат в разных гранях!