Математика 10 класс Баженова Татьяна Васильевна Гимназия 12

«Тригонометрические уравнения» Тема Урока: «Тригонометрические уравнения» Повторение темы : «Тригонометрические уравнения» рассчитано на 3 урока

А. Фуше «Уравнение есть равенство, которое еще не является истинным, но которое стремятся сделать истинным,не будучи уверенным, что этого можно достичь»

«Тригонометрические уравнения» Тема Урока: «Тригонометрические уравнения» Цель урока: Обобщение, систематизация, углубление знаний, умений и навыков учащихся; Формирование культуры математической речи: Развитие творческих способностей учащихся

План урока 1.Актуализация опорных знанийАктуализация опорных знаний 2.Устная работаУстная работа 3.Решение уравненийРешение уравнений 4.Подведение итогов урокаПодведение итогов урока 5.Задание на домЗадание на дом 6.Завершение урокаЗавершение урока Памятка ученику

Актуализация опорных знаний a)Определение уравнения; тригонометр. уравнениеОпределение уравнения; тригонометр. уравнение b)Что значит решить уравнениеЧто значит решить уравнение c)Что называют корнем уравненияЧто называют корнем уравнения d)Формулы решения простейших тригонометрических уравненийФормулы решения простейших тригонометрических уравнений e)Определения arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg aОпределения arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a f)Методы решения тригонометрических уравненийМетоды решения тригонометрических уравнений к плану урока

Актуализация опорных знаний Уравнение – равенство содержащее переменную Тригонометрическое уравнение – уравнение в котором переменная находится под знаком тригонометрической функции. назад

Актуализация опорных знаний Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать (убедиться), что корней нет назад

Актуализация опорных знаний Корень уравнения – такое значение (или значения), при подстановки которого в данное уравнение получаем верное равенство назад

Актуализация опорных знаний а = 0а = 1а = -1 Для частных случаев а = 0а = 1а = -1 назад Формулы решения простейших тригонометрических уравнений следующий

Частные случаи уравнения cost = a x y cost = 0 cost = -1 cost = π2π2 _ π2_ π2 0 π следующий

Уравнение cost = a 0 x y 2. Отметить точку а на оси абсцисс. 3. Построить перпендикуляр в этой точке. 4. Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью. 5. Полученные точки – решение уравнения cost = a. 6. Записать общее решение уравнения. 1. Проверить условие | a | 1 a t1t1 -t 1 1 следующий

Частные случаи уравнения sint = a x y sint = 0 sint = -1 sint = π2π2 0 π π2 π2 следующий

Уравнение sin t = a 0 x y 2. Отметить точку а на оси ординат. 3. Построить перпендикуляр в этой точке. 4. Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью. 5. Полученные точки – решение уравнения sint = a. 6. Записать общее решение уравнения. 1. Проверить условие | a | 1 a t1t1 1 следующий π-t 1

Пример уравнения cos t = a 0 x y 1 cos t = ½ следующий

Пример уравнения sin t = a 0 x y 1 y =½ sin t = ½ следующий

Актуализация опорных знаний Формулы решения простейших тригонометрических уравнений Если а Є (-1; 0) U (0; 1), то решаем уравнение по формулам: назад

Актуализация опорных знаний если |a| 1, то arccos а называют такое число t Є [ 0; π], косинус которого равен а. если |a| 1, то arcsin а называю такое число t Є [-π/2; π/2], синус которого равен а; arccos (-a) = π – arccos a arcsin (-a) = - arcsin a назадследующий

Актуализация опорных знаний cos t = a 0 t π если |a| 1 sin t = a -π / 2 t π / 2 назад

Актуализация опорных знаний Простейшие тригонометрические уравнения вида: T (kx + m) = a; где T – знак тригонометрической функции 1.Если |a| 1, то решением 2.Если |a| 1, то решением 3.Если |a| > 1, то sin=acos=a не имеют решений 4.tg x = a для любого а имеют вид: х = arctg a + π nn Є Z 5.Частные случаи назад Тригонометрические уравнения. Методы решения следующий

Актуализация опорных знаний Первой степени a sin x + b cos x = 0 (a0 b0) почленно делим на sin х cos х для получения tg x = - b / a назад Методы решения тригонометрических уравнений Введение новой переменной sin t = Z cos t = Z Разложение на множители совокупность ур. приравненых к 0 Однородные Однородные тригонометрические уравнения Второй степени a sin 2 x + b sin xcos x +c cos 2 x = 0 1.посмотреть есть ли (a sin 2 x) 2.если а 0, почленно делим на cos 2 x; введем новую переменную Z=tg x 3.если а=0, то выносим cos x за скобки

Актуализация опорных знаний назад Свойства тригонометрических функций следующий

Актуализация опорных знаний Значения обратных тригонометрических функций следующий назад

Актуализация опорных знаний назад Формулы двойного и половинного аргумента следующий

Актуализация опорных знаний Формулы сложения следующий назад

Актуализация опорных знаний Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы назад

Устная работа Ответ: Имеет ли смысл выражение? к плану урока следующий

Устная работа Данное выражение имеет смысл назад

Устная работа Данное выражение не имеет смысла ! назад

Устная работа a.3 sin x = b.sin x = c.cos x = d.cosx = e.sin x = Решите уравнение: 1 0 Ответы: Алгоритм решения проговаривайте вслух! Корней нет 0,5π+πk; k Є Z -π/2 + 2πk; k Є Z πn; n Є Z_;0 2πk; k Є Z к плану урока

Решение уравнений sin 2x + 3 cos x = 0 2 sin x cosx + 3 cos x = 0 cos x (2 sin + 3) = 0 cos x = 0 sin x = 1,5 1.cos x = 0 π/2 + 2πk; k Є Z 2.sin x = -1,5 корней нет Ответ: π/2 + 2πk; k Є Z Пример 1 Разложим левую часть уравнения на множители, предварительно применив формулу двойного аргумента sin 2x + 3 cos x = 0 к плану урока следующий

Решение уравнений Решение: sin 2 x + 5 sin x cos x + 2cos 2 x + 1 = 0 2sin 2 x + 5 sin x cos x +3cos 2 x=0 | : cos 2 x Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Решим его поделив обе части уравнения на cos 2 x (т. к. cos x и sin x не могут быть одновременно равны нулю). Получим: 2 tg 2 x + 5tgx + 3 = 0 Пусть tg x = t, тогда 2t 2 +5t+3=0; Решим уравнение по свойству коэффициентов квадратного уравнения t 1 = -1 t 2 = -1,5 Решаем уравнение у доски с объяснениями! Найти корни уравнения на интервале (- π / 2 ;0) Sin 2 x + 5 sin x cos x + 2cos 2 x = -1 t 1 = -1t 2 = -1,5 Вернемся к замене: tg x = -1x = - π / 4 + πkk Є Z tg x = - 1,5x = - arctg 1,5 + πkk Є Z Проведем отбор корней: При n = 0, x = - π / 4 ; x = - arctg 1,5 Ответ: x = - π / 4 ; x = - arctg 1,5 к плану урока Пример 3 следующий

Решение уравнений Решение: 2 cos 2 x – 5sinx + 1=0 1.Область Допустимых Значений : х Є (-;) 2.Выразим из основного тригонометрического тождества cos 2 x через sin 2 x; получим : 2sin 2 x + 5sinx – 3=0 3.Решим полученное уравнение введением новой переменной: Пусть sin x = a, |a| 1; тогда уравнение принимает вид 2а 2 + 5а – 3=0;а 1 = -3 (не удовлетворяет условию),а 2 = ½. 4.Вернемся к замене: sin x = ½x = (-1) к * π / 6 + πk k Є Z Ответ: x = (-1) к * π / 6 + πk k Є Z Пример 2 2 cos 2 x – 5sinx + 1=0 Решаем уравнение у доски с объяснениями к плану урока следующий

Решение комбинированных уравнений Учащиеся решают эти уравнения самостоятельно Ответ: сверить решение а) б) -4; -π; 0; π; 4. к плану урока

Решение комбинированных уравнений Решение примера а. 1)ОДЗ x Є [-4; 4] 2) 3) Отбор корней с учетом ОДЗ - 4 πn 4 -4/π n 4/π Учащиеся решают эти уравнения самостоятельно x = 4 x = - 4 x = π n; n Є Z n = -1; 0; 1 n = - 1, x = -π n = 0,x = 0 n =1,x =π к плану урока

Решение комбинированных уравнений Решение примера б. 1)ОДЗ x Є [ 0; 7] 2) 3) Отбор корней с учетом ОДЗ - π / 3 Є [0;7] 7π / 3 Є [0;7] Учащиеся решают эти уравнения самостоятельно x = 0 x = 7 k = 0; 1 k = 0,x = π / 3 k =1,x = 5π / 3 к плану урока

Подведение итогов урока Проведен первый урок Повторение темы: Тригонометрические уравнения. На следующем уроке мы рассмотрим решение тригонометрического уравнения вида: A sin x + B cos x = a. к плану урока

Задание на дом Решить уравнения: к плану урока

Позвольте закончить урок словами Ноберта Винера: «Высшее назначение математики состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает». Подробнее о Ноберте Винере к плану урока

Ноберт Винер ВИНЕР Норберт (Norbert Wiener) (26 ноября 1894, Колумбия, Миссури 18 марта 1964, Стокгольм), американский математик. Автор трудов по математическому анализу, теории вероятностей, электрическим сетям и вычислительной технике. Учился в Тафтс-колледже, Корнуэльском, Гарвардском, Кембриджском, Геттинтенском и Колумбийском университетах. Одаренный математик, в 1919 стал ассистентом профессора математики Массачусетского технологического института, а с 1932 по 1960 занимал должность профессора. Во время Второй мировой войны, занимаясь исследованиями для целей противовоздушной обороны, он заинтересовался автоматическими расчетами и теорией обратной связи. В 1948 опубликовал труд «Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине», где он сформулировал основные положения новой науки кибернетики, предметом изучения которой стали управление, связь и обработка информации в технике, живых организмах и человеческом обществе. Эта книга стала результатом его работ в области создания средств вычислительной техники для нужд обороны и его совместных исследований с физиологом Артуром Розенблатом. Назад к цитате