Неклассические логики и искусственный интеллект Зверев Геннадий Никифорович, д.т.н., проф. каф. компьютерной математики Уфимского государственного авиационного технического университета, Web:

Классификация неопределенностей N Неопределенности 1.Проблемного объекта (дента) Информационного объескта (конта) Источника информации Субъекта и его знаний 2.Формализованные объективные индефиниции Субъективные неопределенности и представления 3.СемиотическиеМатематические 4.АприорныеФактическиеАпостериорные 5.Внутренние допустимыеВнешние недопустимые противоречия, абсурд ВариативныеАдеквативные 6.СтатическиеДинамические 7.ДетерминированныеСлучайные 8.Одноуровневые неопределенности, индефиниции Многоуровневые, метаиндефиниции 2 / 24

Классификация неопределенностей Общезначимые виды формализованных неопределенностей знаний и информации – их индефиниции: Из фундаментального научного принципа «абсолютная истина недостижима» следует: информация есть позитивная форма частично неопределенного знания – относительная истина, подлежащая уточнению, а неопределенность есть негативная форма неполного, искаженного, противоречивого знания – относительная ложь, подлежащая устранению и помечаемая знаками,,. Истинна ли относительная истина? И да, и нет – существуют ситуации, в которых она ложна или неприменима. Модель неопределенности есть априорная информация. незнание – базисный информационный ноль, биноль искажения и дезинформация – ошибки, погрешности противоречия и абсурд – критический информационный ноль, киноль 3 / 24

Информационная модель Информационная модель включает: 1) модели первичных источников информации, 2) модели связей между объектами проблемной ситуации, 3) модели преобразователей информации – это вторичные источники знаний, 4) модели потребителей информации и принятия решений, 5) модели последствий реализации решений. Модели 2,3 изучает логика, остальные модели относятся к внелогическим средствам информатики. Источник информации на входе имеет проблемный объект, на выходе – информацию о нем: Классификация источников информации: – источники фактической и априорной, теоретической информации, – основные и адеквативные источники, – дефинитные, однозначные и индефинитные, многозначные источники, – первичные и вторичные источники. Физический объект Человек Текст Источники данных и знаний Новые знания, информация 4 / 24

Формализация Математизация и информатизация логики в среде языка теоретической информатики и логико-математического языка начинается с логических шкал. Иерархия шкал источников информации классической логики: Математизация логики – построение: – арифметики, – алгебры, – геометрии, – аксиоматики логических систем. 5 / 24

Формализация Основные претензии к классической и математической логике со стороны разработчиков информационных систем и технологий: 1)неполнота формализации, предельное упрощение и огрубление описания реальности в двоичной шкале свойств и отношений, 2)идеализация логических процессов, невозможность учета искажений, противоречий и других неопределенностей, 3)невозможность приближенных решений по неполной и искаженной информации, 4)комбинаторная сложность логических задач – основная проблема дедукции. Эти недостатки пытаются преодолеть неклассические логики с информационной семантикой и информационная теория интеллекта. 6 / 24

Какие свойства информационной действительности не укладываются в классические логические формы? – ограниченная различимость объектов материальной и информационной реальности, необходим переход: теория множеств теория сомножеств (распределений численности и частости объектов), модели внутренней неопределенности источников информации и состояний пограничных объектов; – ограниченная применимость функций и отношений, внешняя неопределенность источников информации, наличие неопознанных объектов; – искаженность фактических и теоретических данных, субъективных представлений, возможность и необходимость логических приближений и их оптимизации; – переходные состояния, пограничные объекты введение в логику числовых шкал, функций, отношений, учет точности и разрешающей способности информационных процессов. 7 / 24

Информатизация логики – привлечь и развить язык теоретической информатики, – построить информационные модели: 1) проблемного объекта, 2) решающей системы, 3) процессов их взаимодействия. Проблемный объект proobj представляют двоичными признаками – логическими переменными и связями между ними. Решающая система формализуется в виде объективированного субъекта с однозначно определенными состояниями, структурой, функциями, наделенного искусственным интеллектом: 8 / 24

Информатизация логики Модель взаимодействия выражает информационные и физические связи в виде функций, уравнений, неравенств, решая которые получают функциональные модели процессоров объективированного субъекта: сенсора А: R mM s,рефора B:M sM s ´, эффектора E: M s R m. Чтобы оценить истинность, адекватность суждений субъекта в теоретической информатике вводится еще два оператора: аккуратор C и адекватор D, и в результате получается конструктивная модель суждения ABCD, которая называется схемой косвенного обращения (СКО) или граф инверсий: 9 / 24

Информатизация логики 10 / 24 Если Е воздействует на obj, тогда любое высказывание или предикат P(obj) есть композиция операторов (информационно-материальных процессоров) ABCDE. Для перехода к классам объектов служит расширенная схема косвенного обращения информационно-логических процессов:

Неклассические логики с информационной семантикой СКО позволяет объективировать расширение двоичной шкалы классической логики, ввести в арифметику и алгебру информационные нули и числовые меры истинности и неопределенности. Шкалы трилогики: {да, нет, не знаю (но знаю, что это либо да, либо нет)}, {истина, ложь, истинность неизвестна}, {1, 0, } =Log 3 = Bit. Шкала тетралогики: Log 4 ={Log 3, } ={1, 0,, }. Шкалы частотной логики: Log 2 ={1, 0} и числовой интервал [0, 1] оценок истинности, достоверности или ложности, погрешности логических форм с искаженными аргументами: / 24

Трилогика Число операций трилогики гораздо больше, чем в двоичной арифметике: 27 унарных операций – утверждений и отрицаний вместо четырех битовых, около 20 тысяч бинарных операций – вместо 16 битовых, -а в общем случае число n-арных функций и предикатов трилогики равно Для определенных значений логических переменных сохраняются смысл и формальные правила классической логики, а для неопределенных значений вводится принцип поглощения-воспроизведения бинолей – закон преобразования двоичных неопределенностей или закон сохранения существенных неопределенностей с учетом их возможной зависимости. Для независимых бинолей a и b : 12 / 24

Трилогика Прочерк в таблице означает биноль. Для зависимых бинолей (пятая строка таблицы) имеем случаи поглощения неопределенностей, отмеченные 0 и1: При конкретизации формальной семантики трилогики имеем два вида истины – И 0, И 1, два вида лжи – Л 1, Л 0 – пропуск цели и ложная тревога, пять вариантов двоичной неопределенности: Н 0 = (, 0) – ложная надежда, Н 1 = (, 1) – обоснованный оптимизм,Н = (, ) – истинная неопределенность, ПЛ 0 =(0, ) – необоснованный пессимизм, ослабленный вариант лжи – полуложь, ПЛ 1 – (1, ) – необоснованный оптимизм. В трилогике выполняются все правила и законы классической логики: противоречия, исключенного третьего и т.д., уточняются правила логического вывода modus ponens, упрощаются процедуры формализации и обращения некоторых логических форм, нет необходимости отождествлять ложь и неопределенность. 13 / 24

Тетралогика Бессмысленным высказываниям нельзя приписать значения «ложь» или «биноль» – либо истина, либо ложь. Обозначим знаком 0 произвольную противоречивую информационную ситуацию и ее результаты. полагая, что при анализе можно представить возникший абсурд и противоречия более конкретными и однозначно формализованными представителями: 0 ={, 1,…}. Предельные случаи формализации абсурда: 1)максимальный киноль описывает фатальную ошибку, искажающую все последующие результаты, 2)минимальный киноль 1 описывает несущественную, исправимую бессмыслицу. В тетралогике вводятся следующие правила преобразования максимального абсурда : если на входе n-арной операции встречается хотя бы один знак, то результату присваивается этот знак – киноль: =Fre( )=, a+ =a =…=, следовательно, логические преобразования тетралогики определяются принципами поглощения биноля и воспроизведение киноля. Правила оперирования неопределённым значением 1 выражает принцип сокращения минимального абсурда: а+ 1 =а, а· 1 =а, = 1, Fre( 1 )=0… либо преобразование минимального абсурда во внутреннюю неопределённость: 1. Число унарных четверичных операций равно 256, а бинарных операций более 4·10 9. Принципы поглощения, воспроизведения, сокращения неопределённостей вводят семантические связи между логическими операциями. Решение логических задач, нахождение неизвестных по известным двоичным признакам, связанных с искомыми переменными логическими уравнениями и неравенствами (импликациями), сводится в общем случае к обращению логических функций. 14 / 24

Тетралогика В таблице представлены обратные функции сложения, умножения, антиимпликации с неизвестной посылкой (в доказательствах от противного), импликации с неизвестным заключением. Случаи точного обращения подчеркнуты. 15 / 24

Частотная логика (или обобщенно-вероятностная логика) основана на частотных свойствах и связях классов объектов. Частотное свойство класса – его относительный объем. Частотная (вероятностно-статистическая) связь – естественное обобщение логических связей признаков. Выделим четыре вида логических связей между x и y – пределов частотных (размытых) связей: x y =0,,, x y = 0, которым соответствуют 8 импликаций, а также их сочетания. Частотная истинность логической формы а в универсуме U проблемных ситуаций оценивается величиной частости а =N a / N, где N – объем универсума, N a – число ситуаций, в которых логическая форма а истинна. В теории информации используется и противоположное понятие – редкость явления: r a = 1 – a. Частость и редкость изменяются в интервале от 0 до 1, при N a = N и N a = 0 возникают истинности классической логики, у которых нет ни одного опровержения в универсуме U. В реальных процессах a > 0, a < 1. Меры истинности исходных знаний, как и в классической логике, определяются внелогическими средствами – экспериментальными, теоретическими по СКО и т.п. В отличие от математических и субъективных вероятностей частотные модели объективированы в информационной семантике, охватывают детерминированные и случайные неопределенности. 16 / 24

Частотная логика Основные отличия частотной логики от классической: – она применима при отсутствии логических связей, – логические формы расщепляются на двоичные и числовые (они совпадают при истинностях 0 и 1), – истинность результатов логического процесса зависит от частотных связей неопределенностей, – допускает логические аппроксимации, – результаты характеризуются точностью-погрешностью и мерами ее неопределенности: среднеквадратической, энтропией, альтернантом и т.п. 17 / 24

Частотная логика ql νL xH xσ ν, равенства мер неопределённости наступают при полной определённости значений истинности суждений, =1 и 0, и при полной неопределённости, =1/2. Элементарные формулы частотной логики сведем в таблицу: 18 / 24

Частотная логика Для функций и предикатов многих переменных: Формулы частотной логики позволяют получить точные значения истинности произвольных логических функций с учетом частотных связей любой арности, при условии, что точны исходные оценки частостей. В частотной логике выполняются все правила преобразований и законы классической логики, строго формализуются многозначные логики Лукасевича, Поста, оцениваются границы применимости нечетких, размытых, модальных логик. В асимптотике, когда истинности приближаются к предельным значениям 0 или 1, частотная логика точно воспроизводит классическую подобно тому, как неевклидовы геометрии (Лобачевского, Римана, Финслера) воспроизводят в пределе простейшую геометрию Евклида. 19 / 24

Семантические связи объективных логик Классическая логика Трилогика Тетралогика Классическая логика Трилогика Частотная логика Пример: все изделия производства делятся на качественную продукцию и брак, а все возможные партии изделий разбиваются на четыре класса: 1) да – качественная продукция, 2) нет – сплошной брак, 3) и да, и нет, 4) ни да, ни нет – «пустые» партии либо пустые результаты оценки качества. Пусть источники информации при анализе качества продукции не допускают ошибок. На вопрос о качестве данной партии изделий имеем четыре точных ответа: да – точная истина, нет – точная ложь для всех четырех логик, а ответы 3 и 4 содержат неопределенности типа,,, подлежащие уточнению и строгой формализации. Ответ a источника и да, и нет запрещен в классической логике, в трилогике и тетралогике означает внутреннюю неопределенность сообщения a – биноль – приближенная истина либо приближенная ложь, а также он несет дополнительную информацию: объем партии N > 1, N a > 0, N – N a > 0 – есть брак. В частотной логике этот ответ означает неопределенную частость/редкость успеха/неуспеха в изготовлении изделий, которая уточняется подсчетом числа качественных и бракованных объектов в данной партии, вычислении итоговой частости, % брака и т.п. 20 / 24

Ответ ни да, ни нет означает отсутствие объектов в данной партии, N = 0, а также неприменимость средств контроля качества к данным изделиям и метится тетралогике знаком внешней неопределенности – киноль, который не входит в символьную шкалу трилогики {0,,1} и числовую шкалу частотной логики [0,1], поэтому в этих логиках данный ответ запрещен. Зная частости логических признаков можно упростить описание проблемной ситуации и перейти от частотных моделей к точной либо приближенной, аппроксимационной трилогике. В точной трилогике со шкалой {0,,1} единице соответствует множество точных оценок истинности высказывания, состоящее из единиц, нулю – множество нулей, а биноль описывает частичную истинность высказывания с множеством оценок, состоящим из нулей и единиц, соответствующих неопределенному ответу на вопрос об истинности «и да, и нет». В шкале аппроксимационной трилогики {,, } присутствуют приближенные оценки истины и лжи суждения а, определяемые уровнем частости доверия/риска: =(а 1 – ) – почти истина. Риск > 0 расширяет классы истинных и ложных суждений и уменьшает класс действительно неопределенных высказываний: биноль = ( < a < 1 – ). Семантические связи объективных логик 21 / 24

При формализации переходных состояний проблемных объектов величина а описывает меру близости к положительному ответу «да», скажем, поезд пересекает границу между областями А и Б, тогда высказывание а = «поезд движется по области А» имеет возрастающую погрешность а от нуля до единицы по мере удаления головы поезда от границы. Оценку погрешности вычисляют в пространственной или временной шкале относительных значений. Семантические связи объективных логик 22 / 24

23 / 24 Объективированное обобщение неклассических логик, наделение их информационной семантикой с целью более адекватного описания проблемных ситуаций: – добавление в логические шкалы других информационных нулей – индефиниций, – увеличение числа возможных однозначных ответов источников информации – более двух. Тогда объекты и ситуации решаемой проблемы разбиваются на k классов многозначными классификаторами, имеющими номинативные шкалы имен классов {И 1, И 2, …, И k }, k > 2, включая классы неопределенных (пограничных, неопознанных и т.п.) объектов и других неопределенностей. Это направление порождает широкий класс номинативных логик с детерминированной и индефинитной семантикой, например, частотная трилогика и частотная тетралогика. В них первичный внелогический источник информации, в отличие от частотной логики, характеризует объекты в шкале трилогики либо тетралогики {да, нет, не знаю, абсурд} априорными распределениями в шкале {0, 1,, }, которые описывают зависимости между двоичными признаками и их неопределенностями. Обобщение и развитие информационных логик

Последующее развитие неклассических логик, по мнению автора, связано с более углубленной формализацией информационной, математической и предметной семантики решаемых проблем и ее реализации в системах искусственно интеллекта, используя базисы метаинформатики, в них конструктивно воспроизводятся основные виды семантик, которыми при взаимодействии оперируют естественный и искусственный интеллект: Обобщение и развитие информационных логик – семиотический базис ПИКАД, в котором представляется формальные описания понятий и моделей проблемных ситуаций; – полюсный структурообразующий базис POCKIRT системологии, определяющий описание состава, структуры объектов и процессов при их анализе и синтезе; – ролевой FSR-базис системологии, выражающий функциональные, статусные и реляционные роли объектов в статике или динамике системы; – проблемологический базис информатики Prob=ABCDEFGГS формального описания целевой ориентации деятельности субъекта, его средств (процессоров) и информационных критериев; – базис SI = UYX HΛZ информационных пространств семантических схем информатики. 24 / 24