Полярные координаты Пусть на плоскости задана координатная прямая с началом координат О и направляющим вектором. Эта прямая в данном случае будет называться.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Полярные координаты Пусть на плоскости задана координатная прямая с выделенной точкой О и единичным отрезком ОЕ. Эта прямая в данном случае будет называться.
Advertisements

Полярные координаты Пусть на плоскости задана координатная прямая с выделенной точкой О и единичным отрезком ОЕ. Эта прямая в данном случае будет называться.
Сферические координаты Пусть A – точка в пространстве с заданной системой координат. Ортогональную проекцию точки A на плоскость Oxy обозначим A', а длину.
Координатная прямая Координатной прямой, или координатной осью называется прямая, на которой выбраны точка O, называемая началом координат, и единичный.
3. Парабола Пусть – некоторая прямая на плоскости, F – некоторая точка плоскости, не лежащая на прямой. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параболой называется геометрическое.
§ 5. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и 2) невырожденные Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки,
Построение графиков функций. Способы представления функции Способ, при котором каждому значению аргумента x соответствует одно значение функции y(x) называется.
Уравнение прямой Теорема. Прямая на плоскости задается уравнением ax + by + c = 0, где a, b, c - некоторые числа, причем a, b одновременно не равны нулю.
Декартова система координат в пространстве и на плоскости. Полярная система координат на плоскости. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка.
§ 16. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и 2) невырожденные Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки,
Аналитическое задание фигур Пусть прямая задана уравнением ax + by + c = 0 и проходит через точку A 0 (x 0, y 0 ). Ее вектор нормали имеет координаты (a,
Уравнение прямой в пространстве Поскольку прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, то одним из способов аналитического.
Аналитическое задание фигур Пусть прямая задана уравнением ax + by + c = 0 и проходит через точку A 0 (x 0, y 0 ). Ее вектор нормали имеет координаты (a,
Глава III. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности.
Линии второго порядка. Линии, задаваемые на координатной плоскости уравнениями второго порядка, называются фигурами второго порядка. К ним относятся эллипс,
Глава III. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности.
Расстояние между точками Расстояние между точками A 1 (x 1, y 1 ), A 2 (x 2, y 2 ) на плоскости с заданными координатами выражается формулой.
Уравнение прямой Теорема. Прямая на плоскости задается уравнением ax + by + c = 0, где a, b, c - некоторые числа, причем a, b одновременно не равны нулю.
Координатная прямая Координатной прямой, или координатной осью называется прямая, на которой выбраны точка O, называемая началом координат, и единичный.
Кривые второго порядка Общее уравнение кривой второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола.
Транксрипт:

Полярные координаты Пусть на плоскости задана координатная прямая с началом координат О и направляющим вектором. Эта прямая в данном случае будет называться полярной осью. Полярными координатами точки А на плоскости с заданной полярной осью называется пара (r,φ), где r - расстояние от точки А до точки О, φ - угол между полярной осью и вектором, отсчитываемый в направлении против часовой стрелки. При этом первая координата r называется полярным радиусом, а вторая φ - полярным углом. Полярный угол φ можно задавать в градусах или радианах.

Полярные координаты Если на плоскости задана декартова система координат, то обычно за полярную ось принимается ось Ox. В этом случае каждой точке плос­кости с декартовыми координатами (x,y) можно сопоставить полярные координаты (r,φ). При этом декартовы координаты выражаются через полярные по формулам И, наоборот, полярные координаты выражаются через декартовы по формулам

Окружность Окружность радиуса R и центром в точке О задается уравнением r = R.

Спираль Архимеда Спираль Архимеда - кривая, задаваемая уравнением r = aφ, где a - некоторое фиксированное число. Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между соседними витками. Каждое из них равно 2πa. Действительно, если угол φ увеличивается на 2π, т.е. точка делает один оборот против часовой стрелки, то радиус увеличивается на 2πa, что и составляет расстояние между соседними витками.

Логарифмическая спираль Логарифмическая спираль задается уравнением в полярных координатах r = a φ, где a - некоторое фиксированное положительное число, φ - угол, измеряемый в радианах. Геометрическим свойством этой спирали является то, что каждый следующий ее виток подобен предыдущему. Действительно, если угол увеличивается на 2π, т.е. точка делает один оборот против часовой стрелки, то радиус увеличивается в a 2π раз. Это означает, что следующий виток подобен предыдущему, и коэффициент подобия равен a 2π.

Трилистник Трилистник – кривая, задаваемая уравнением r = sin 3φ.

Упражнение 1 Для следующих точек с заданными полярными координатами найдите их декартовы координаты: Ответ:

Упражнение 2 Для следующих точек с заданными декартовыми координатами найдите их полярные координаты: а) ; б) B(-10,0) ; в) ; г). Ответ: а) A(2, 45 о ); б) B(10, 180 о ); г) D(2, 150 о ). в) C(2, -60 о );

Упражнение 3 Могут ли разным полярным координатам соответствовать одинаковые точки на плоскости? Ответ: Да.

Упражнение 4 Найдите геометрическое место точек на плоскости, для которых: а) полярный радиус r постоянен и равен r 0 ; б) полярный угол φ постоянен и равен φ 0. Ответ: а) Окружность; б) луч.

Упражнение 5 Центром правильного шестиугольника является начало координат. Одна из его вершин имеет полярные координаты (1, 0). Найдите полярные координаты остальных вершин. Ответ: (1, 60 о ), (1, 120 о ), (1, 180 о ), (1, 240 о ), (1, 300 о ).

Упражнение 6 Нарисуйте спираль Архимеда, заданную уравнением r = -φ. Ответ:

Упражнение 7 Нарисуйте пятилепестковую розу - кривую, задаваемую уравнением r = sin 5φ. Ответ:

Упражнение 8 Нарисуйте гиперболическую спираль - кривую, задаваемую уравнением Ответ:

Упражнение 9 Нарисуйте спираль Гилилея - кривую, задаваемую уравнением Ответ:

Упражнение 10 Нарисуйте Жезл - кривую, задаваемую уравнением Ответ:

Упражнение 11 Нарисуйте «заячью капусту»- кривую, задаваемую уравнением Ответ:

Упражнение 12 Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением Ответ: