Аксиомы геометрии : Через любые две точки проходит прямая, притом только одна. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один. и так далее

Аксиома параллельных прямых: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Николай Иванович Лобачевский родился 20 ноября 1792, Нижний Новгород. Русский математик, создатель геометрии Лобачевского, деятель университетского образования и народного просвещения. Известный английский математик Уильям Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии».

Н. И. Лобачевский родился в Нижегородской губернии. Его родителями были Иван Максимович Лобачевский (чиновник в геодезическом департаменте) и Прасковья Александровна Лобачевская. В 1800 году после смерти отца мать вместе с семьёй переехала в Казань. Там Лобачевский окончил гимназию, а затем и только что основанный Казанский Императорский университет, которому отдал 40 лет жизни. Большое влияние во время обучения в университете на Лобачевского оказал Мартин Фёдорович Бартельс друг и учитель великого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Он взял шефство над бедным, но одарённым студентом. На старшем курсе в характеристику Лобачевского включили «мечтательное о себе самомнение, упорство, неповиновение», а также «возмутительные поступки» и даже «признаки безбожия». Над ним нависла угроза отчисления, но заступничество Бартельса и других преподавателей помогло отвести опасность. По окончании университета Лобачевский получил степень магистра по физике и математике с отличием и был оставлен при университете. В 1814 году стал адъюнктом, спустя 2 года- экстраординарным, и в 1822 году ординарным профессором. Студенты высоко ценили лекции Лобачевского.

В 1819 году в Казань приехал ревизор (М. Л. Магницкий), который дал крайне отрицательное заключение о состоянии дел в университете. Магницкого назначили попечителем; он уволил 9 профессоров, ввел строгую цензуру лекций и казарменный режим. Бартельс уехал в Тарту, а Лобачевского назначили деканом физико-математического факультета. В эти годы он пишет учебники по геометрии и алгебре; первый из них был осуждён за использование метрической системы мер, а второй вообще не был напечатан. В 1826 г. Магницкий был смещён с должности попечителя за злоупотребления. Назначается новый попечитель- М. Н. Мусин-Пушкин. Лобачевский избирается ректором университета. Он с головой погружается в хозяйственные дела (реорганизация штата, строительство механических мастерских, лабораторий и обсерватории, поддержание библиотеки и минералогической коллекции), участвует в издании «Казанского Вестника» и т. п. Многое он делает собственными руками. Читает научно-популярные лекции по физике для населения. И одновременно он неустанно развивает и шлифует дело своей жизни неевклидову геометрию.

Лобачевский был ректором Казанского университета с 1827 по 1846 годы, пережив эпидемию холеры и сильнейший пожар, уничтоживший половину Казани. Благодаря энергии и умелым действиям ректора жертвы и потери в обоих случаях были минимальны. Усилиями Лобачевского Казанский университет становится первоклассным, авторитетным и хорошо оснащённым учебным заведением, одним из лучших в России. 20 ноября 1845 года Лобачевский был в шестой раз утвержден в должности ректора на новое четырёхлетие. Несмотря на это, в 1846 году Министерство грубо отстраняет Лобачевского от должности ректора и профессорской кафедры (официально по причине ухудшения здоровья). Формально он получил даже повышение был назначен помощником попечителя, однако жалованья ему за эту работу не назначили.

Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общие обеим геометриям и образуют так называемую абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.

В геометрии Лобачевского принимается следующая аксиома : Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по- крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Геометрия Лобачевского- одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.

Через точку Р проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих «прямой» а.