МОУ лицей 97 Информатика и ИКТ Тема: Позиционные системы счисления.
Первые счетные машины МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г. Блез Паскаль, 1642 г. Суммирующая машина Первые счетные машины были разработаны на основе десятичной системы счисления
Первые счетные машины МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г. Готфрид Лейбниц, 1673 г. счетная машина (Арифмометр) Первые счетные машины были разработаны на основе десятичной системы счисления Арифмометр 1932 года выпуска
Первые счетные машины МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г. Чарльз Бэббидж, 1848, аналитическая (разностная) машина Первые счетные машины были разработаны на основе десятичной системы счисления Одна из 6-ти демонстрационных моделей машины Бэббиджа, собранная сыном Генри из деталей, найденных в лаборатории
Машина Z-1 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г. Конрад Цузе – разработчик машины Z г. – выпущена первая машина, работающая на основе двоичной системы счисления Модель вычислительной машины Z-1 в немецком техническом музее г. Берлин
Недостатки двоичной системы счисления МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г. Главными недостатками являются: 2) Проблема «Нулевой избыточности», т.е. ее отсутствие: невозможность определения, произошло ли искажение информации при ее передачи Современные компьютеры также хранят информацию в виде последовательности 0 и 1. Однако двоичная система счисления обладает рядом принципиальных недостатков, которые в современный век становятся критичными. 1) Проблема представления отрицательных чисел
Задача МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г. Рассмотреть принципы построения позиционных систем счисления, познакомиться с неклассическими системами счисления и системами счисления используемыми в компьютерах
Цель : Систематизация знаний о системах счисления, полученных ранее в курсах математики и информатики, изучение свойств позиционных систем счисления Лекция 1: Системы счисления. Базис системы счисления. Принцип позиционности
Основные определения Система счисления (нумерация) – Система счисления (нумерация) – это способ записи (обозначения) чисел цифрами, алфавитом системы счисления. Символы, при помощи которых записываются целые неотрицательные числа, называются цифрами, а их совокупность – алфавитом системы счисления. Количество цифр алфавита называется его размерностью позиционной, Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от положения в записи числа МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Основные определения БАЗИСОМ Последовательность чисел, каждое из которых задает «вес» соответствующего разряда, называется БАЗИСОМ позиционной системы счисления Основное достоинство практически любой позиционной системы счисления – возможность записи произвольного числа при помощи ограниченного количества символов МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Основные определения Позиционную систему счисления называют традиционной, если ее базис образуют члены геометрической прогрессии, знаменатель которой P – натуральное число большее единицы, а значения цифр есть целые неотрицательные числа В общем виде базис традиционной системы счисления можно записать так … Р -3, Р -2, Р -1, 1, Р, Р 2, Р 3,… В общем виде базис традиционной системы счисления можно записать так … Р -3, Р -2, Р -1, 1, Р, Р 2, Р 3,… МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Основные определения Знаменатель Р геометрической прогрессии, члены которой образуют базис традиционной систем счисления, называется основанием этой системы счисления. Традиционные системы счисления с основанием Р иначе называют Р-ичными Алфавитом произвольной системы счисления с основанием Р служат числа 0, 1, …, Р-1 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Нетрадиционные системы счисления Факториальная и фибоначиевые системы счисления, а также уравновешенные системы счисления являются нетрадиционными. Алфавит фибоначиевой СС – 0, 1 Базис фибоначиевой СС – 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Алфавит фибоначиевой СС – 0, 1 Базис фибоначиевой СС – 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Алфавит факториальной СС – количество цифр в каждом разряде увеличивается с ростом номера разряда Базис факториальной СС – 1!, 2!, 3!, 4!, … Алфавит факториальной СС – количество цифр в каждом разряде увеличивается с ростом номера разряда Базис факториальной СС – 1!, 2!, 3!, 4!, … МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Нетрадиционные системы счисления В общем случае, если система счисления устроена таким образом, что основание как таковое в ней отсутствует, а базис представляет собой возрастающую последовательность натуральных чисел..., Р 0, Р 1..., Р n,..., то количество N k цифр, используемых в k-м разряде, определяется так: (1.1) МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Пример 1. Заполним сводную таблицу, характеризующую некоторые позиционные системы счисления. СистемаОснованиеРазмерно сть алфавита Цифры Двоичная Троичная Восьмеричная Шестандцатеричная Факториальная Фибоначиевая МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Пример 1. Заполним сводную таблицу, характеризующую некоторые позиционные системы счисления. СистемаОснованиеРазмерно сть алфавита Цифры Двоичная220,1 Троичная Восьмеричная Шестандцатеричная Факториальная Фибоначиевая МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Пример 1. Заполним сводную таблицу, характеризующую некоторые позиционные системы счисления. СистемаОснованиеРазмерно сть алфавита Цифры Двоичная220,1 Троичная330,1,2 Восьмеричная Шестандцатеричная Факториальная Фибоначиевая МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Пример 1. Заполним сводную таблицу, характеризующую некоторые позиционные системы счисления. СистемаОснованиеРазмерно сть алфавита Цифры Двоичная220,1 Троичная330,1,2 Восьмеричная880,1,2,3,4,5,6,7 Шестандцатеричная Факториальная Фибоначиевая МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Пример 1. Заполним сводную таблицу, характеризующую некоторые позиционные системы счисления. СистемаОснованиеРазмерно сть алфавита Цифры Двоичная220,1 Троичная330,1,2 Восьмеричная880,1,2,3,4,5,6,7 Шестандцатеричная16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B,C,D,E,F Факториальная Фибоначиевая МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Пример 1. Заполним сводную таблицу, характеризующую некоторые позиционные системы счисления. СистемаОснованиеРазмерно сть алфавита Цифры Двоичная220,1 Троичная330,1,2 Восьмеричная880,1,2,3,4,5,6,7 Шестандцатеричная16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B,C,D,E,F ФакториальнаяНет 1 разряд: 0,1 2 разряд: 0,1,2 и т.д. Фибоначиевая МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Пример 1. Заполним сводную таблицу, характеризующую некоторые позиционные системы счисления. СистемаОснованиеРазмерно сть алфавита Цифры Двоичная220,1 Троичная330,1,2 Восьмеричная880,1,2,3,4,5,6,7 Шестандцатеричная16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B,C,D,E,F ФакториальнаяНет 1 разряд: 0,1 2 разряд: 0,1,2 и т.д. ФибоначиеваяНет20,1 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Вопрос Какое множество понятий однозначно определяет позиционную систему счисления: 1) {базис, алфавит, основание}; 2) {базис, алфавит}; 3) {базис}? Какое множество понятий однозначно определяет позиционную систему счисления: 1) {базис, алфавит, основание}; 2) {базис, алфавит}; 3) {базис}? Ответ. Оказывается, что если мы договорились о принципах выбора символов для алфавита, то для однозначного определения позиционной системы счисления, у которой в качестве цифр используются натуральные числа и 0, необходимо и достаточно указать только ее базис. Все остальные компоненты системы являются производными от базиса. МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Вопрос Какая последовательность чисел может быть использована в качестве базиса позиционной системы счисления? Ответ. Последовательность чисел может являться базисом позиционной системы счисления только тогда, когда в соответствующей этому базису системе может быть представлено любое число (если система предназначена только для нумерации целых чисел, то любое целое число). Для представления целых чисел достаточно взять любую бесконечную монотонно возрастающую числовую последовательность (Р 0, Р 1..., Р i,...,) начинающуюся с единицы (Р 0 = 1). МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Вопрос Какие символы могут быть использованы в качестве цифр системы счисления? Ответ. В качестве цифр систем счисления могут быть использованы любые символы, это наглядно демонстрируют нам ученые, занимающиеся историей математики: вавилоняне использовали клиновидные цифры (у них не было бумаги, и «писали» они на мягких глиняных дощечках); китайцы использовали иероглифы; мы используем арабские цифры. Однако в математике придерживаются следующих договоренностей в отношении вида используемых цифр. Если основание системы счисления Р меньше 10, то для символьного представления цифр в ней, как правило, используются первые Р десятичных цифр (от 0 до Р - 1). Например, в пятеричной системе счисления будут использоваться пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4. Для 10
Единственность представления чисел в Р- чных системах счисления Любое десятичное число можно представить в любой позиционной системе счисления, а для целых чисел в большинстве систем это можно сделать единственным способом. Доказательством этого утверждения служит теорема: Любое десятичное число можно представить в любой позиционной системе счисления, а для целых чисел в большинстве систем это можно сделать единственным способом. Доказательством этого утверждения служит теорема: Теорема 1. Пусть Р произвольное натуральное число, большее единицы. Существует и единственно представление любого натурального числа X в виде степенного ряда X = а n Р n + а n-1 Р n а 1 Р + а 0,(1.2) Теорема 1. Пусть Р произвольное натуральное число, большее единицы. Существует и единственно представление любого натурального числа X в виде степенного ряда X = а n Р n + а n-1 Р n а 1 Р + а 0,(1.2) На основании этой теоремы можно утверждать, что любое натуральное число можно записать в какой угодно Р-чной системе счисления причем единственным образом МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Пример Постройте представление десятичного числа Х=3056 в виде степенных рядов при различных значениях Р Р=10. Очевидно, что 10 3
Пример Постройте представление десятичного числа Х=3056 в виде степенных рядов при различных значениях Р Р= < 3056 < 16 3, следовательно, в представлении (1..2) п = 2. Разделив интервал [16 2 ; 16 3 ) на 15 равных частей, получим, что 11·16 2 < 3056 < 12·16 2, следовательно, а2 = 11. Y = ·16 2 = 240. Но 15·16 < 240 < 16 2, следовательно, а 1 = 15. И, так как ·16 = 0, то построение окончено, а а 0 = 0. В результате получаем: 3056= 11· ·16. МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Пример Запишите десятичное число 14 … В двоичной системе счисления: (14=1·2 3 +1·2 2 +1·2 1 +0·2 0 ); В троичной системе счисления:112 3 (14=1·3 2 +1·3 1 +2·3 0 ); В четверичной системе счисления:32 4 (14=3·4 1 +2·4 0 ); В 14-ричной системе счисления:10 14 (14=1· ·14 0 ); В системах счисления с основанием больше 14 В системах счисления с основанием больше 14 данное число будет представлено одной цифрой (это буква латинского алфавита Е или некий другой символ) МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Единственность представления чисел в Р- чных системах счисления В разделе математики «Теория чисел» доказывается, что и любую правильную дробь можно представить в виде конечной или бесконечной суммы отрицательных степеней любого натурального числа Р > 1. Так как произвольное неотрицательное действительное число можно представить в виде суммы его целой и дробной частей (любая из этих частей может и отсутствовать), то полученные результаты можно обобщить. В Р-ичной системе счисления любое неотрицательное вещественное число можно записать в виде: а = а п Р п + а n-1 Р n а 1 Р + a 0 + а -1 Р -1 +а -2 Р п > 0, (1.5) где Р > 1 основание позиционной системы счисления, а i цифры числа а в Р-ичной системе счисления. В Р-ичной системе счисления любое неотрицательное вещественное число можно записать в виде: а = а п Р п + а n-1 Р n а 1 Р + a 0 + а -1 Р -1 +а -2 Р п > 0, (1.5) где Р > 1 основание позиционной системы счисления, а i цифры числа а в Р-ичной системе счисления. МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Цель : изучить связь свернутой и развернутых форм записи чисел, изучить алгоритм прибавления единицы и представление дробных чисел в Р - ичных системах счисления. Лекция 2: Представление произвольных чисел в позиционных системах счисления.
Представление произвольных чисел в позиционных системах счисления Теорема 1. Пусть Р произвольное натуральное число, большее единицы. Существует и единственно представление любого натурального числа X в виде степенного ряда X = а n Р n + а n-1 Р n а 1 Р + а 0,(1.2) Теорема 1. Пусть Р произвольное натуральное число, большее единицы. Существует и единственно представление любого натурального числа X в виде степенного ряда X = а n Р n + а n-1 Р n а 1 Р + а 0,(1.2) На основании данной теоремы, мы можем утверждать, что любое число может быть записано в виде суммы степеней числа Р (Р1) Если мы в качестве базиса позиционной системы счисления возьмем возрастающую последовательность степеней числа Р и тем самым однозначно определим Р-ичную систему счисления, то это разложение по степеням числа Р будет являться представлением данного числа в Р-ичной системе счисления. МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Развернутая и свернутая формы записи Договоримся представление числа в Р-ичной системе счисления в виде а = а n Р n + а n-1 Р n а 1 Р + a 0 + а -1 Р -1 +а -2 Р называть развернутой формой записи числа Договоримся представление числа в Р-ичной системе счисления в виде а = а n Р n + а n-1 Р n а 1 Р + a 0 + а -1 Р -1 +а -2 Р называть развернутой формой записи числа Последовательное перечисление значащих цифр числа а, начиная со старшей, отделяя при этом целую часть от дробной запятой, будем называть свернутой формой записи числа a = a n...a 1 a 0,a -1...a -k... Последовательное перечисление значащих цифр числа а, начиная со старшей, отделяя при этом целую часть от дробной запятой, будем называть свернутой формой записи числа a = a n...a 1 a 0,a -1...a -k... МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Перечисление натуральных чисел Вопрос: Предположим, что мы работаем в 50-ричной системе счисления. Можно ли только по свернутой форме числа А, не производя никаких вычислений, определить, больше 50 или нет десятичный эвивалент числа А? Ответ: В любой Р-ичной системе счисления натуральные числа, меньшие ее основания Р, представляются с помощью одной цифры данной системы. Для чисел же, больших или равных Р, требуются уже, по крайней мере, две цифры. Само число Р в системе счисления с основанием Р записывается в виде 10 р, что следует из развернутой формы записи числа Р в Р- ичной системе: Р = 1·P + 0. Следовательно, если число А записано при помощи только одной цифры, то оно меньше 50, если число имеет вид 10 р, то оно равно 50, в стальных случаях число больше 50. МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Алгоритм перечисления натуральных чисел в Р-ичных системах счисления 1. Если последняя ( крайняя справа ) цифра числа а р меньше Р -1, то в следующем по порядку натуральном числе все цифры, кроме последней, будут совпадать с цифрами числа а Р, а последняя цифра числа а Р + 1 будет на единицу больше последней цифры числа а Р. 2. Если последняя цифра числа а Р равна Р -1, то последняя цифра числа а Р + 1 будет равна 0, а остальные цифры будут представлять число, состоящее из первых цифр числа а Р ( начиная с крайней левой цифры и заканчивая предпоследней справа ), увеличенное на единицу по правилам 1-2 данного алгоритма ; если же первые цифры в записи а Р отсутствуют, то число а Р + 1 будет равно 10 р. МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Алгоритм перечисления натуральных чисел в Р-ичных системах счисления Пример. Перечислите первые 16 чисел в двоичной системе счисления. 1 = 1 2 ; 2 = 10 2 (правило 2); 3 = 11 2 (правило 1); 4 = (дважды примененное правило 2); 5 = (правило 1); 6 = (правила 2 и 1); 7 = (правило 1); 8 = (трижды примененное правило 2); 9 = (правило 1); 10 = (правила 2 и 1); 11 = (правило 1); 12 = (дважды примененное правило 2, правило 1); 13 = (правило 1); 14 = (правила 2 и 1); 15 = (правило 1); 16 = (четырежды примененное правило 2). МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Представление обыкновенных десятичных дробей в Р-ичных системах счисления Для некоторых видов десятичных дробей мы можем указать их Р- ичное представление, даже не зная алгоритмов перевода. Речь идет об обыкновенных дробях. Обыкновенные дроби записываются с помощью отношения числителя и знаменателя, наибольший общий делитель которых равен 1. В десятичной системе счисления обыкновенная дробь будет точно представима конечной дробью, если существует такое натуральное число т, при умножении на которое знаменателя дроби можно получить некоторую натуральную степень числа 10. Если же такого числа не существует, то эту дробь можно представить только в виде бесконечной периодической дроби. МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Вопрос Ответ: Да, это возможно. Более того, для любой обыкновенной десятичной дроби, не являющейся конечной, можно найти систему счисления, в которой она будет представима конечной дробью. И наоборот, для любой обыкновенной десятичной дроби, являющейся конечной дробью, можно указать систему счисления, в которой она не будет представима конечной дробью. Можно ли по виду десятичной обыкновенной дроби определить, представима ли она конечной дробью в Р - ичной системе счисления ? МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Пример Известно, что правильную десятичную дробь 1/3 нельзя записать в виде конечной десятичной дроби. Однако в троичной и 9-ричной системах счисления эта дробь будет записана в виде конечной Р-ичной дроби. В 3-ичной системе счисления: 1/3 =0,1 3 ; В 9-ричной системе счисления: 1/3 = 0,3 9. МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
ПРАВИЛО! Десятичная обыкновенная дробь будет точно представима конечной Р-ичной дробью, если существует такое натуральное число т, при умножении на которое знаменателя дроби можно получить некоторую натуральную степень числа Р. Если же такого числа не существует, то в Р-ичной системе счисления дробь окажется бесконечной периодической. Данный факт следует непосредственно из развернутой формы представления числа. Кроме того, из развернутого представления дробной части числа следует, что в любой системе счисления с основанием Р верны равенства 1/ Р = 0,1 р ; 1/ Р 2 = 0,01 p …. Данный факт следует непосредственно из развернутой формы представления числа. Кроме того, из развернутого представления дробной части числа следует, что в любой системе счисления с основанием Р верны равенства 1/ Р = 0,1 р ; 1/ Р 2 = 0,01 p …. МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Алгоритм записи обыкновенной десятичной дроби в виде конечной Р-ичной дроби 1. Умножим числитель дроби на т. Пусть для нашей дроби существует такое натуральное число т, что при умножении знаменателя на т получаем k-ю степень числа Р. 2. Представим результат умножения в Р - ичной системе счисления. 3. Дополним числитель, если потребуется, до k цифр нулями слева. 4. Полученное Р - ичное число запишем после запятой. Оно является конечной Р - ичной дробью для исходной обыкновенной. МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Алгоритм записи обыкновенной десятичной дроби в виде конечной Р-ичной дроби Пример. Запишем 5/16 в двоичной системе. 1. В знаменателе уже стоит четвертая степень двойки. 2. Переведем числитель в двоичную систему (5 = ). 3. Дополним получившееся число до четырех цифр: В результате получим: 5/16 = 0, МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Алгоритм записи обыкновенной десятичной дроби в виде конечной Р-ичной дроби Пример. Запишем 1/18 в шестиричной системе. 1. Если знаменатель умножим на 2 то получим 6 2. Тогда и числитель умножим на Так как в знаменателе стоит вторая степень основания системы счисления, то после запятой мы должны будем записать В результате получим: 1/18 = 0,02 6 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Вопрос: Можно ли описанный способ представления обык новенных десятичных дробей в Р - ичных системах счис ления использовать для решения обратной задачи ? Ответ: Так как все Р-ичные системы равноправны, то описанный способ представления десятичных дробей в Р-ичной системе счисления можно использовать и для решения обратной задачи: обыкновенную Р-ичную дробь записать в десятичной системе счисления, не производя операции деления числителя на знаменатель. МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Алгоритм записи обыкновенной десятичной дроби в виде конечной Р-ичной дроби Пример. Запишем 0,011 2 =11 2 / в десятичной системе. 1. Для того чтобы знаменатель, равный сейчас 2 3, оказался степенью десяти, его нужно домножить на Таким образом, производя необходимые действия в десятичной системе счисления, получим: 11 2 / = 3/8 = (3·5 3 )/(8·5 3 )=0,375 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Цель : Сформулировать правила выполнения арифметических операций в Р - ичных системах счисления Лекция 3: Арифметические операции в позиционных системах счисления
Арифметические операции в Р-ичных системах счисления Во всех позиционных системах счисления арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам согласно соответствующим таблицам сложения и умножения. Для всех систем счисления справедливы одни и те же законы арифметики : коммуникативный, ассоциативный, дистрибутивный, а также правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком. МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Сложение В Р-ичной системе счисления таблица сложения представляет собой результаты сложения каждой цифры алфавита Р-ичной системы с любой другой цифрой этой же системы. Таблица сложения в двоичной системе счисления Таблица сложения в троичной системе счисления МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Таблица сложения в 16- ричной системе счисления ABCDEF ABCDEF ABCDEF ABCDEF ABCDEF ABCDEF ABCDEF ABCDEF ABCDEF ABCDEF A BCDEF B CDEF A C DEF A1B D EF A1B1C E F A1B1C1D F A1B1C1D1E МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Сложение После составления нетрудно заметить, что если результат сложения двух цифр в Р-ичной системе счисления больше Р-1 (т.е. полученное число двузначное), то старшая цифра результата всегда равна 1. Следовательно при сложении столбиком в любой системе счисления в следующий разряд может переходить только единица. Результат сложения двух положительных Р- ичных чисел либо имеет столько же значащих цифр, что и максимальное из двух слагаемых, либо на одну цифру больше, но этой цифрой может быть только единица. МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Сложение столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления 101, , МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Сложение столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления 101, , МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Сложение столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления 101, ,11 2,00 2 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Сложение столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления 101, ,11 2 1,00 2 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Сложение столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления 101, , ,00 2 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Сложение столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления 101, , , ,00 2 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Сложение столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления 101, , , ,00 2,1 3 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Профильный курс – Информатика и ИКТ. 10 класс. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г. Сложение столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления 101, , , ,00 2 0,1 3 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Профильный курс – Информатика и ИКТ. 10 класс. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г. Сложение столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления 101, , , , ,1 3 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Сложение столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления 101, F2A 16 +1, ,1 3 +E , ,1 3 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Сложение столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления 101, F2A 16 +1, ,1 3 +E , , МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Сложение столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления 101, F2A 16 +1, ,1 3 +E , , МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Сложение столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления 101, F2A 16 +1, ,1 3 +E , , МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Сложение столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления 101, F2A 16 +1, ,1 3 +E , , МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Вычитание Вычитание из большего числа меньшего в Р-ичной м системе счисления можно производить столбико аналогично вычитанию в десятичной системе счисления. Для выполнения этой операции также используется таблица сложения. Если нам необходимо вычесть из цифры a цифру b и ab, то в столбце b таблицы сложения ищем число а. Самая левая цифра в строке, в которой расположена число a, и будет результат вычитания. Если же a
Примеры Вычитание столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления ,1 2 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Вычитание столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления ,1 2,1 2 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Вычитание столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления ,1 2 0,1 2 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Вычитание столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления , ,1 2 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Вычитание столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления , , МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Вычитание столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления , , МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Вычитание столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления A , , МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Вычитание столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления A , , E 16 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Вычитание столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления A , , E 16 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Вычитание столбиком в 2, 3 и 16- ричных системах счисления A , , E 16 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Умножение Для выполнения умножения многозначных чисел в Р-ичной системе счисления надо иметь таблицы умножения и сложения в этой системе счисления. Таблица умножения в двоичной системе счисления х Таблица умножения в троичной системе счисления х МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Таблица умножения в 16- ричной системе счисления ABCDEF ABCDEF ACE A1C1E 3 369CF B1E A2D 4 48C C C C 5 5AF14191E23282D32373C41464B 6 6C12181E242A30363C42484E545A 7 7E151C232A31383F464D545B B242D363F48515A636C757E87 A A141E28323C46505A646E78828C96 B B16212C37424D58636E79848F9AA5 C C C C CA8B4 D D1A E5B F9CA9B6C3 E E1C2A E8C9AA8B6C4D2 F F1E2D3C4B5A A5B4C3D2E1 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Умножение в различных системах счисления х МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Умножение в различных системах счисления х МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Профильный курс – Информатика и ИКТ. 10 класс. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г. Умножение в различных системах счисления х МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Умножение в различных системах счисления х Умножение на 0 не производится. Все оставшиеся нули, не участвующие в умножении приписываются справа к результату умножения МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Умножение в различных системах счисления х МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Умножение в различных системах счисления х МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Умножение в различных системах счисления х МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Умножение в различных системах счисления х МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Умножение в различных системах счисления х МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Умножение в различных системах счисления х При сложении столбиком трех и более слагаемых действия сложения целесообразно производить последовательно, так как сложные вычисления в непривычной системе счисления могут породить ошибки МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Умножение в различных системах счисления х FFA,3 16 D,E 16 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Умножение в различных системах счисления х FFA,3 16 D,E 16 + DFAEA 4 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Умножение в различных системах счисления х FFA,3 16 D,E 16 + DFAEA 4 CFD47 4 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Примеры Умножение в различных системах счисления х FFA,3 16 При умножении Р - ичных дробей количество цифр в дробной части результата равно сумме количеств цифр в дробных частях множителей ( если одна и более крайних цифр результата окажутся равными нулю, то их можно опустить как незначащие ) D,E 16 + DFAEA 4 CFD47 4 DDAF,5A 16 МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Деление При делении столбиком в Р-ичной системе счисления приходится в качестве промежуточных вычислений выполнять действия умножения и вычитания, следовательно используются таблицы умножения и сложения. Пример : Наиболее просто деление организовать в двоичной системе, так как в ней необходимо лишь сравнивать два числа между собой и вычитать из большего числа меньшее МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.
Деление Пример : 16- ричная система счисления - F E24,E Пример : 3- ичная система счисления ,(1) МОУ лицей 97. Информатика и ИКТ. Составитель : Деникина Н. В. ( с ), г.