Функционально-графический метод решения уравнений (метод оценки) Бессонова Т.Д. учитель математики ВСОШ 7 г.Мурманск 2008

Цели урока: 1) научить узнавать уравнения, которые можно решать методом оценки; 2) научить заменять сложные конструкции более простыми моделями; 3) научить решать уравнения методом оценки.

Решите уравнения 5х - 8(х-7) = -1 2х² - 3х + 1=0 5-х=2х Cos x = x² + 1

Решение. Рассмотрим функции Решить уравнение Ответ: 0

то Метод мажорант – метод нахождения ограниченности функции. Мажорирование – нахождение точек ограничения функции. М – мажоранта. Если имеем f(x) = g(x) и известно ОДЗ, и если,,

метод оценки уравнение f(x) = g(x); Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций y = f(x), y = g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x) = g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений f(x)=А g(x)=А

Рассмотрим функцию у = cos2 x, она ограничена на отрезке [-1;1]; Рассмотрим функцию у = x²-2x+2. Её графиком служит парабола, ветви которой направлены вверх. Значит в вершине параболы функция достигает своего наименьшего значения. Абсциссу вершины найдем из уравнения у = 0 у = (x²-2x+2) = 2х-2 2х - 2 = 0; х = 1; у(1) = 1² - 2·1 + 2 = 1 у = cos2 x обладает свойством: у наиб = 1 у = x²-2x+2 обладает свойством: у наим = 1 Из второго уравнения системы получаем х = 1 Поскольку это значение удовлетворяет и первому уравнению системы, то оно является единственным решением системы. А следовательно, единственным корнем заданного уравнения ОТВЕТ: 1 Решить уравнение cos2 х= x 2_ 2x+2 Cos2 x = 1 x 2_ 2x+2 = 1

Особенности уравнений В уравнении присутствуют функции разной природы Функции ограничены Наибольшее значение одной функции равно наименьшему значению другой функции

Алгоритм решения уравнения Свести уравнение к виду f(x) = g(x) Найти множества значений данных функций на ОДЗ уравнения Составить систему уравнений Решить наиболее простое из уравнений и подставить полученные корни в другое уравнение значения переменной х, которые являются корнями обоих уравнений одновременно и будут решениями исходного уравнения

Примеры уравнений решаемых методом оценки

Решите уравнение : log 2 (2х - х ) = х 2 - 2х + 5. Дадим оценку левой части уравнения. 2х - х = - (х 2 - 2х - 15 ) = - ( ( х 2 - 2х + 1 ) ) = - ( х - 1 ) Тогда log 2 (2х - х ) 4. Оценим правую часть уравнения. x 2 - 2х + 5 = (х 2 - 2х + 1 ) = (х - 1) Исходное уравнение может иметь решение только при равенстве обеих частей четырем. Значит х=1 Ответ: 1

1.log 4 (6х - х ) = х 2 - 6х + 11 Отв.: х = 3. 2.log 5 ( 8x - x ) = х 2 - 8x + 18 Отв.: х = 6. 3.log 4 (2x - x ) = х 2 - 2x + 2 Отв.: х = 1. 4.log 2 ( 6x - x2 - 5 ) = х 2 - 6x + 11 Отв.: х = 3. Для самостоятельной работы.

Решите уравнение cos3x cos2x = -1. Первый способ. 0,5 ( cos x + cos 5x ) = -1, cos x + cos5x = -2. Поскольку cos x - 1, cos 5x - 1, то cos x + cos 5x > -2, отсюда следует система уравнений cos x = -1, cos 5x = - 1. Решив уравнение cos x = -1, получим х = + 2 к,где k Z. Эти значения х являются также решениями уравнения cos 5x = -1, т.к. cos 5x = cos 5 ( + 2 k) = cos ( k) = -1. Таким образом, х = + 2 к, где k Z, - это все решения системы, а значит и исходного уравнения. Ответ: х = ( 2k + 1 ), k Z.

Второй способ. Можно показать, что из исходного уравнения следует совокупность систем cos 2x = - 1, cos 3x = 1. cos 2x = 1, cos 3x = - 1 Решив каждую систему уравнений, найдем объединение корней. Ответ: x = ( 2 к + 1 ), k Z.

Для самостоятельной работы. Р ешите уравнения: 1. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7. Ответ: нет решений cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Ответ: нет решений cos 3x + cos x = 4. Ответ: х = 2 к, k Z. 4. sin x sin 3 x = -1. Ответ: х = /2 + к, k Z. 5. cos8 x + sin7 x = 1. Ответ: х = m, m Z; х = /2 + 2 n, n Z. 6. cos 3x + cos 5x/2 = 2. Ответ: 4 m, m Z. 7. cos 6x + sin 5x / 2 = 2. Ответ: + 4 к, k Z

Задания ЕГЭ 2008года

Литература Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа класс.: В двух частях. Ч. 1:Учеб. для общеобразоват. учреждений.-6-е изд. – М: Мнемозина,2005. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для кл. общеобразоват. учреждений/ А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова. - М.: Просвещение, Кочагин В.В. ЕГЭ Математика. Репетитор/ Кочагин В.В., Кочагина М.Н.- М.: Эксмо, с.