Автор: Елена Юрьевна Семёнова МОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г.Радужный

Разложение вектора по трём некомпланарным векторам Любой вектор а можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде а = хi + уj + zk, причем коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом. Коэффициенты x, y, z в разложении вектора а по координатным векторам называются координатами вектора а в данной системе координат.

Координаты векторa р i x y A (x; y; z ) 1 1 р {х; у; z} 0 {0; 0; 0} 1 k р = хi + уj + zk j z 0 = 0i + 0j + 0k

Действия над векторами 1.Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. а {х 1 ; у 1 ; z 1 } b {х 2 ; у 2 ; z 2 } а + b { х 1 + x 2 ; у 1 + y 2 ; z 1 + z 2 } 2.Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. а – b { х 1 – x 2 ; у 1 – y 2 ; z 1 – z 2 }

Действия над векторами 3.Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. а {х 1 ; у 1 ; z 1 } k а { kх 1 ; kу 1 ; kz 1 }

Примеры а {3; -7; 2} b {-5; 4; 1} Дано: Найти:р = 3 а – 2 b Решение: 3 а {9; -21; 6} -2 b {10; -8; -2} р {19; -29; 4} + q = -5 а + 6 b -5 а {-15; 35; -10} 6 b {-30; 24; 6} q {-45; 59; -4} +

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца АВ O A (x 1 ; y 1 ; z 1 ) В( x 2 ; y 2 ; z 2 ) АВ {х 2 – x 1 ; у 2 – y 1 ; z 2 – z 1 } OВ {х 2 ; у 2 ; z 2 } OA {х 1 ; у 1 ; z 1 } – АВ = AO + OB = – OA + OB = ОВ – ОА

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Примеры А(5; 3; –4), В(–2; 4; 1) АВ {–2 – 5; 4 – 3; 1–(–4)} АВ {–7; 1; 5} M(–3; 8; 2), N(0; –6; 5) MN {0 – (–3); –6 – 8; 5 – 2} MN {3; –14; 3}

Координаты середины отрезка М A( x 1 ; y 1 ; z 1 ) В (x 2 ; y 2 ; z 2 ) С х 1 + х 2 2 x = y 1 + y 2 2 y = z 1 + z 2 2 z = O

Длина вектора O x y A( x; y; z ) а = x 2 + y 2 + z 2 а z

Расстояние между двумя точками A( x 1 ; y 1 ; z 1 ) В( x 2 ; y 2 ; z 2 ) АВ = (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 + (z 2 – z 1 ) 2

Угол между векторами a b О А В α ( a; b ) = ( ОА ; ОВ ) = α

Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. a b = a b cos (a; b) Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. a b = 0 a b

Скалярное произведение векторов Скалярный квадрат вектора ( т. е. скалярное произведение вектора на себя ) равен квадрату его длины. a a = a 2 = |a| 2 a b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Скалярное произведение векторов a{x 1 ; y 1 ; z 1 } и b{x 2 ; y 2 ; z 2 } выражается формулой

Скалярное произведение векторов x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 cos α = x y z 1 2 x y z 2 2 α = arccos x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x y z 1 2 x y z 2 2 Косинус угла α между ненулевыми векторами a {x 1 ; y 1 ; z 1 } и b {x 2 ; y 2 ; z 2 } вычисляется по формуле

Свойства скалярного произведения векторов 1.a 2 0, причем a 2 > 0 при а 0. Для любых векторов a, b, c и любого числа k справедливы равенства : 2.a b = b a (переместительный закон). 3.( a + b ) c = a c + b c (распределительный закон). 4.k ( a b ) = ( ka ) b (сочетательный закон).

Угол между прямыми x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 cos φ = x y z 1 2 x y z 2 2 Пусть p {x 1 ; y 1 ; z 1 } и q {x 2 ; y 2 ; z 2 } – направляющие векторы прямых a и b. Косинус угла φ вычисляется по формуле: φ = arccos x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x y z 1 2 x y z 2 2