Циклоидальные кривые Работа ученика 8 «А» класса Евкова Александра

Д ДДД L L L Приложим к нижнему краю классной доски линейку (L) и будем катить по ней обруч или круг (картонный или деревянный), прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую, называемую циклоидой (что по-гречески значит кругообразная). Одному обороту обруча соответствует одна арка циклоиды MM'M''N', если обруч будет катиться дальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды.(Отрезок MN равен длине обруча.)

рис. а рис. б Если же точку М взять внутри круга, то получим кривую называемую укороченная циклоида.(рис.а) А если точку М взять вне –(снаружи) круга, то имеем кривую, называемую удлиненная циклоида.(рис.б)

Круг можно катить не только по прямой. Возьмем в качестве линии L окружность некоторого радиуса R и будем рассматривать круг, катящийся без скольжения по окружности L с внутренней ее стороны. Отметим на окружности катящегося круга некоторую точку А и проследим ее траекторию, т.е. линию, которую эта точка вычерчивает при качении круга.

Если по кругу радиуса R вне его без скольжения катится круг с отмеченной точкой М радиусом r, то точка М описывает кривую, называемую эпициклоидой. Если по кругу радиуса R внутри него без скольжения катится круг с отмеченной точкой М радиусом r, то точка М описывает кривую, называемую гипоциклоидой.

1а,б –гипоциклоиды 2а,б – эпициклоиды 3а – удлиненная гипоциклоида 3б - укороченная гипоциклоида 4а – удлиненная эпициклоида 4б – укороченная эпициклоида

Разнообразие циклоидов r = R/2 нефроида r = R/3 кривая Штейнера r = R/4 астроида R = r кардиоида

Циклоида обладает целым рядом замечательных свойств. Свойство 1. Ледяная гора. Свойство 2. Часы с маятником.