Разрывы в шкале вероятностей. Интервальный анализ Об интервальной арифметике для вписанных интервалов и средних значений

2 Нобелевский лауреат Kahneman констатировал (2006) ), что в экономической теории, в теории полезности до сих пор не удалось удовлетворительно решить целый ряд проблем в т.ч. парадоксы Алле и Эллсберга.

Интервальный анализ Дана величина {v(X k )} : k=1, …K, на интервалах X k. Распределение ρ(X k ) этой величины равно ρ(X k ) нормировано на 1

О возможных дополнениях к интервальной арифметике. Вписанные интервалы и средние значения Даны интервалы X 1 и X 2 :

Формула Новоселова. Вывод

Формула Новоселова

7 Нобелевский лауреат Kahneman и Thaler констатировали (2006) ), что в экономической теории до сих пор не удалось удовлетворительно решить целый ряд проблем в т.ч. парадоксы Алле и Эллсберга. Эти проблемы часто наблюдаются у границ шкалы вероятностей. Теорема о существовании разрывов у границ шкалы вероятностей (2010 г.) дает новый путь для их решения

Теорема о существовании разрывов На отрезке [A, B] величина { v( x k )} известна с точностью до ненулевого интервала X, такого, что

Аналогия. Вибрации вблизи твердой стены Электродрель, автомат, стиральная машина с твердыми боковыми стенками. Можно ли приблизить дрель к твердой стене : А) на расстояние 0,1 мм ? Б) вплотную? Выключенную (Off): Конечно да. Включенную (On) (Амплитуда вибраций равна 1 мм ): Из-за вибраций (из-за разброса значений координат) А) Среднее расстояние >0,1 мм. Б) В шкале возможных средних расстояний появится разрыв. 9

Простейший пример Дан интервал [A, B]. На этом интервале даны три точки: Левая x Left Правая x Right =x Left +2σ Средняя M=(x Left +x Right )/2 Разброс x Right - x Left = 2σ > 0

Очевидно, что A x Left (То есть: Левая точка не может быть левее левой границы интервала) и x Right B (То есть: Правая точка не может быть правее правой границы интервала)

Очевидно, что A+σ M B-σ То есть: Средняя точка M не может приближаться к любой границе интервала ближе, чем на половину величины разброса (то есть на σ ). Или Середина полосы разброса не может быть на границе интервала. Или Для средней точки M возле каждой из границ интервала существует запрещенная зона, разрыв величиной σ.

16 Пример разрывов у границ шкалы вероятностей Простейший пример подобных разрывов – стрельба в мишень в одномерном приближении: Пусть размер мишени равен 2L>0, а разброс попаданий, при точном прицеливании, подчиняется нормальному закону с дисперсией σ 2. Тогда максимальная вероятность попадания в мишень P in_Max равна:

17 Результаты При σ=0, или при L>3σ P in_Max =1, то есть разрывов нет, или практически нет, то есть r expect =1-P in_Max =0, или P in_Max0 При L=3σ 0P inP in_Max =0,9970. При L=2σ 0P inP in_Max =0,950. При L=σ 0P inP in_Max =0,680.