{ определение экстремума – необходимое и достаточные условия существования экстремума – глобальный экстремум – примеры } - презентация

1 { определение экстремума – необходимое и достаточные условия существования экстремума – глобальный экстремум – примеры }

2 x y 0 f ( x0 )f ( x0 ) x0x0 Точка x 0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если на некоторой окрестности U( x 0 ) функция f(x) определена и Теорема (Ферма). Необходимые условия экстремума. Пусть x 0 точка экстремума функции f(x). Тогда производная функции f | (x 0 ) либо не существует, либо f | (x 0 ) = 0. x y 0 f ( x0 )f ( x0 ) x0x0 x 0 – критическая точка

3 x y 0 f ( x0)f ( x0) x0x0 Теорема. Достаточные условия экстремума. Пусть функция f(x) непрерывна в точке локального экстремума x 0 и дифференцируема в окрестности этой точки. Пусть производная функции f | (x 0 ) меняет знак при переходе через x 0. Тогда x 0 - точка экстремума. Доказательство Пусть для определенности f | (x 0 ) > 0 в окрестности U (x ) и f | (x 0 ) < 0 в окрестности U (x ). Тогда из формулы конечных приращений Лагранжа следует, что приращение функции меняет знак с + на - при переходе через x 0. Следовательно x 0 - точка экстремума (максимума). Максимум f : Минимум f :

4 x y 0 f ( x0)f ( x0) x0x0 Достаточные условия экстремума. Пусть функция f(x) непрерывна в точке локального экстремума x 0. Если функция дважды дифференцируема в этой точке f || (x 0 ), то x 0 - точка экстремума. Если знак у f || (x 0 ) минус, то в точке x 0 - функция имеет локальный максимум, если знак у f || (x 0 ) плюс, то в точке x 0 - локальный минимум. x y 0 f ( x0)f ( x0) x0x0 f || ( x 0 ) < 0f || ( x 0 ) > 0 - +

5 @ x y 0 Найти локальный экстремум для функции Решение

6 @ Удастся ли пронести лестницу длиной L через прямой поворот в коридоре с переходом размеров с p на q ? Какой длины должна быть быть лестница ? p q L L R ( p, q ) A (, 0 )O ( 0, 0 ) Решение Предельное положение лестницы y x

7 @ p q L B R A (, 0 )O ( 0, 0 )

8 @ p q L B R A (, 0 )O ( 0, 0 )

9 Найти глобальный экстремум – алгоритм x y 0 x3x3 Функция f(x), непрерывная на отрезке [ a, b ], принимает на нем наибольшее и наименьше значения. x1x1 x2x2 f ( x) a b f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x 3 ) f ( a )f ( a ) f ( b )f ( b ) f ( a )f ( a ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x 3 ) f ( b )f ( b ) min max 1 max 2 Max Min 1)Находится локальный экстремум (или несколько) в точках внутри отрезка. 2)Вычисляется значение функции на концах отрезка. 3)Выбирается наибольшее и наименьшее значения функции.