Свойства делимости Свойство 1 а:c, b:c => (а+b):c. Свойство 2 a:b, а0 => |а| > |b| Свойство 3 а:b, b:а => |а|=|b| Автор Новиков Денис 10 класс уч.год уч.год

Найдите все такие натуральные значения a, что выражение a²+1 делится на a нацело. Заметим, что а² всегда делится на а. Следовательно, разность делится на а То есть а – делитель числа 1 Но у 1 есть только один натуральный делитель-единица. ОТВЕТ. а=1-единственное решение.

Найдите все такие натуральные значения a, что выражение (2a+1)/(a-2) является целым. Решение 1 Заметим, что (а-2)/(а-2) => (2а-4)/(а-2) 2а+1и 2а-4 делятся на а-2=> =>(2а+1)-(2а-4)=5 => 5/(а-2) У числа 5 есть четыре целых делителя : -5; -1 ; 1 и 5 ОТВЕТ : 1; 3; 7 Если a-2=-5, то а=-3 Если a-2=-1, то а=1 Если a-2=1, то а=3 Если a-2=5, то а=7

Выделим в данном выражении целую часть. Чтобы это число было целым, необходимо и достаточно, чтобы второе слагаемое было целым, то есть 5 должно делиться на (а-2). Дальше аналогично 1 решению У числа 5 есть четыре целых делителя : -5; -1 ; 1 и 5 Найдите все такие натуральные значения a, что выражение (2a+1)/(a-2) является целым. Решение 2 Если a-2=-5, то а=-3 Если a-2=-1, то а=1 Если a-2=1, то а=3 Если a-2=5, то а=7

Найдите все такие натуральные значения a, что выражение a+1 делится на a² нацело. Так как целое, то Но для а>2 имеем => при а>2 задача не имеет решения. Отсюда получается, что а=1 (проверка (1+1):1² =2)

Основные приемы, используемые в решении: 1. Использовать утверждение о том, что «Если два выражения делятся на третье, то их разность (сумма, произведение) так же делятся на данное выражение» ( см 1) 2. При делении алгебраических выражений полезно выделять целую часть и добиваться «целостности» дробной части ( см 2) 3.Сравнивание числителя и знаменателя ( см 3: числитель >= знаменателя и числитель

Литература Вольфсон Г.И. Математика ЕГЭ Не так страшна задача на делимость, как её малюют! (C6)