Познакомившись с действительными числами, узнав об их свойствах, мы научились проводить различные арифметические операции над ними, такие как алгебраические преобразования выражений или решение уравнений. Настало время неравенств.

Свойства числовых неравенств Решение линейных неравенств

Сначала

Недавно мы ввели понятие числового неравенства: a

Для чего нужно уметь решать уравнения, вы знаете: до сих пор математическая модель практически любой реальной ситуации, которую мы рассматривали, представляла собой либо уравнение, либо систему уравнений. На самом деле встречаются и другие математические модели неравенства, просто мы пока таких ситуаций избегали.

Знание свойств числовых неравенств будет полезно и для исследования функций. Например, с неравенствами связаны такие известные вам свойства функций, как наибольшее и наименьшее значения функции на некотором промежутке, ограниченность функции снизу или сверху. С неравенствами связано и свойство возрастания или убывания функции, о котором пойдет речь в одном из следующих параграфов. Так что, как видите, без знания свойств числовых неравенств нам не обойтись. Да мы сами уже могли убедиться в необходимости умения работать с неравенствами.

Если a>b и b>c, то a>c. Доказательство: По условию, a>b, т.е. а -b положительное число. Аналогично, так как b>с, делаем вывод, что b-с положительное число. Сложив положительные числа а-Ь и Ь-с, получим положительное число. Имеем (а-Ь) +(Ь-с)=а-с. Значит, а-с положительное число, т.е. а>с, что и требовалось доказать.

Свойство 1 можно обосновать, используя геометрическую модель множества действительных чисел, т.е. числовую прямую. Неравенство а>Ь означает, что на числовой прямой точка а расположена правее точки b, а неравенство Ь>с что точка b расположена правее точки с. Но тогда точка а расположена на прямой правее точки с, т. е. а > с. a b cX

Если a>b, то a+c>b+c. То есть, если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же действительное число, то знак уравнения не меняется.

Если a>b и m>0, то am>bm ; Если a>b и m

То же относится к делению обеих частей неравенства на одно и то же положительное или отрицательное число m, то поскольку деление на m всегда можно заменить умножением на 1/m. Если a>b и m>0, то am>bm ; Если a>b и m

Из свойства 3, в частности, следует, что, умножив обе части неравенства a>b на -1, получим -а b, то -а

Если a>b и c>d, то a+c>b+d. Доказательство: Так как a>b, то, согласно свойству 2, a+c>b+c. Аналогично, так как c>d, то b+c>b+d. Итак, a+c>b+c, b+c>b+d.Тогда, в силу свойства 1, получаем, что a+c>b+d.

Если a, b, c, d – положительные числа, и a>c, c>d,то ac>bd. Доказательство: Так как а>Ь и с>0, то ас> Ьс. Аналогично, так как c>b и Ь>0, то cb>ab. Итак, ac>bc, bc>bd. Тогда, согласно свойству 1, получаем, что ac>bd.

Если а и Ь неотрицательные числа и а>b, то а в степени n > b в степени n, где n любое натуральное число. Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе части неравенства неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.

Обычно неравенства вида а>b, с>d (или а Ь и с>d – неравенствами противоположного смысла. Свойство 5 означает, что при умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части положительные числа, получится неравенство того же смысла. Оглавление

Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения, т.е. находить те значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Точно так же свойства числовых неравенств помогут нам решать неравенства с переменной, т. е. находить те значения переменной, при которых неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Каждое такое значение переменной называют обычно решением неравенства с переменной.

Рассмотрим, например, неравенство: 2х+5

Но вы же понимаете, что это тупиковый путь: ни один математик не станет так решать неравенство, ведь все числа невозможно перебрать! Вот тут-то и нужно использовать свойства числовых неравенств, рассуждая следующим образом.

Нас интересуют такие числа х, при которых 2х+5

Что это значит? Это значит, что решением неравенства является любое число х, которое меньше 1. Эти числа заполняют открытый луч ( -,1 ). Обычно говорят, что этот луч решение неравенства 2х+5

Свойства числовых неравенств позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами:

Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.

Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.

Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный. Оглавление