Выполнила : учащаяся XI информационно-математического класса МОУ Богучарский лицей Шведова Мария Александровна Руководитель: Кобелева Татьяна Васильевна учитель математики ВКК МОУ Богучарский лицей ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ XXVI НАУЧНО – ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ СЕКЦИЯ «МАТЕМАТИКА» Воронеж 2011 г.

Использование монотонности и четности функции Использование ограниченности функции. Графический метод Нахождение области определения и области значения.

Порядок решения уравнения функциональным методом: Определение свойств функции Нахождение ОДЗ или промежутков монотонности функции (в зависимости от свойства функции). Нахождение корня подбором, решение системы уравнений

Когда применяется: В обеих частях уравнения стоят функции разного вида; В одной части уравнения стоит функция, ограниченная сверху или снизу, а в другой – конкретное число В одной части уравнения функция, ограниченная сверху, а в другой – ограниченная снизу;

Если в уравнении f(x)=g(x) f(x) – убывающая, а g(x) – возрастающая, то уравнение имеет не более 1 корня Пример 1. 2 X = 3 – x x= 1 является корнем уравнения, т.к. 2 1 =3 – 1 2 = 2 – верное равенство А т.к. у = 2 X – возрастающая, а у = 3 – х – убывающая, то уравнение корней более не имеет. Ответ: х=1 Пример 2. log 1/ 3 x= x – 4 x = 3 – является корнем уравнения, т.к. log 1/ 3 3 = 3 – 4 -1 = - 1 – верное равенство А т.к. у = log 1/ 3 x – убывающая, а у = х – 4 – возрастающая, то уравнение корней более не имеет. Ответ: х = 3

Пример3. Решить уравнение х²+1 = 2 -Х² х²+1 = 2 -Х² х=0 является корнем уравнения, т.к. 0+1=2 0 1=1 – верное равенство А т.к. у= х²+1- возрастающая, а у=2 -Х² - убывающая, то уравнение больше не имеет корней. Ответ: х=0.

Если в уравнении f(x) = c f(x) – монотонна, а с = const, то уравнение имеет не более одного корня. Пример 1.

Пример 2. 2 x + 3 x + 4 x = 9 x 2 x + 3 x = 9 x - 4 x 2 x + 3 x = (2 x + 3 x )(2 x - 3 x ) (2 x + 3 x ) - (2 x + 3 x )(2 x - 3 x ) = 0 (2 x + 3 x )(1 – (2 x + 3 x )) = 0 2 x + 3 x = 0 или 1 – (2 x + 3 x )=0 Т.к. a x > 0, то уравнение x - 3 x =0 корней не имеет. 2 x + 1 = 3 x | : 3 x0 (2/3) x + (1/3) x = 1 x = 1 является корнем уравнения. А т.к. y = (2/3) x – убывающая, у = (1/3) x – убывающая, следовательно у = (2/3) x + (1/3) x –убывающая и 1 = const, то уравнение не имеет больше корней. Ответ: х = 1

Пример3.

Если на множестве φ наибольшее значение одной из функций y=f(x), y=g(x) равно φ и наименьшее значение другой функции тоже равно φ, то уравнение f(x)=g(x) равносильно на множестве φ системе уравнений: g(x)= φ f(x) = φ Пример 1. x 2 +3 = cosx + 2 x 2 +1 = cosx y=x : E(f) х 2 0 x 2 + 1=1 х cosx=1 x=0 y = cosx : E(f) -1cosx1 Ответ: x=0

Пример 2. Решить уравнение log 3 (x 2 + 4x +13) = cosπx – sin Решение. Найдем области значений данных функций log 3 (x 2 + 4x +13) 2, т.к. x 2 + 4x +139, т.к. log 3 9=2 cosπx – sin2, т.к. cosπx1 и – sin1 Т.к. первая функция больше или равна двух, а вторая меньше или равна двух, то данное уравнение равносильно системе уравнений log 3 (x 2 + 4x +13) =2 cosπx – sin2 Первое уравнение имеет только один корень х=-2, подставляя это значение во второе уравнение, получаем верное числовое равенство. Следовательно, корнем уравнения является -2. Ответ: х=-2

Пример3. Решить уравнение sin5π=x 2 – 4x

Пример1.

При решении уравнений иногда очень полезно применять свойства функции, учитывая сформулированные теоремы.