Содержание: Понятие золотого сечения. Учёные, изучающие золотое сечение. Исторические факты. Алгебраический смысл. Геометрический смысл. Вывод. Источники. Использование золотого сечения.

Понятие золотого сечения. Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. a : b = b : c или с : b = b : а.

Учёные, изучающие золотое сечение. Его диалог «Тимей» посвящен вопросам золотого деления. ПифагорЕвдоксЛеонардо да ВинчиПлатон Пропорции, т.е. равенства отношений изучались пифагорейцами. Термин «золотое сечение» ввёл Леонардо да Винчи. Развил учение о пропорциях.

Исторические факты. Египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. Золотое сечение упоминалось в «Началах» Евклида. Античный циркуль золотого сечения

Алгебраический смысл Числа Фибоначчи. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … В этой последовательности сумма любых двух предыдущих чисел равна следующему числу: 1+2=3, 3+5=8, 5+8=13,.. Отношение любого числа последовательности к предыдущему колеблется вокруг значения, которое ещё в древности под названием золотого сечения:

Алгебраический смысл «Золотое сечение» определяется как такое положительное число, которое на единицу больше обратного к нему числа: Каждое третье число Фибоначчи чётно, каждое четвёртое делится на три, каждое пятнадцатое оканчивается нулём, два соседних числа взаимно просты. Число а п делится на число а к тогда и только тогда, когда п делится на к. Свойства золотого сечения описываются уравнением: x – x – 1= 0 Решение этого уравнения:

Геометрический смысл. 2 ; ; 2 Гармоническое среднее EDAB EDAB AD Геометрическое среднее DBABAD Арифметическое среднее DEAB AD Отрезок АВ так относится к его большей части АD, как эта большая часть АD относится к его меньшей части DB. Точка Dделит отрезок AB в «золотой пропорции».

Геометрический смысл Срединный случай равенства мы объявим самым совершенным, «золотым». Гипотенуза AC делится точкой D на два отрезка s = a + b. Из подобия прямоугольных треугольников ABC и AED мы получаем непрерывную пропорцию s : a = a : b. Таким образом, в «золотом» треугольнике гипотенуза s так относится к меньшему катету a, как этот катет относится к его дополнению b до гипотенузы. Тем самым гипотенуза AC делится точкой D в так называемом «среднем и крайнем отношении». Ныне данное отношение принято называть также «золотым сечением».

Геометрический смысл Построим квадрат (розовым цветом).Затем разобьем основание квадрата пополам ( точка X). Точка Х -центр окружности, одной из точек которой является вершина квадрата Y. Затем построим окружность до пересечения с продолжением нижней стороны квадрата (точка Z), и построим через точку Z прямоугольник. В результате мы получим прямоугольник с соотношением сторон 5:8. Отношение величин отрезка А к отрезку С, такое же как отрезка В к отрезку А. Отношение 5:8 очень близко к отношению сторон стандартного кадра (24:36 мм = 5:7,5=2:3).

Геометрический смысл Построив такой прямоугольник, проведем линию из верхнего левого угла в правый нижний, а затем линию по направлению к точке Y (из предыдущего рисунка) до пересечения с делящей на две части прямоугольник линией.

Вывод: Золотое сечение появилось очень давно. Это явление изучали многие известные люди, такие как Пифагор, Платон, Евдокс, Леонардо да Винчи и другие. Оно используется в архитектуре, живописи, фотографии, природе. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Поэтому, если надо обратить внимание на картине, в постройках, фотографиях и т.д., необходимо следовать пропорциям золотого сечения.

Источники: people.com/data/leonardov/zolot_sech-txt.htm people.com/data/leonardov/zolot_sech-txt.htm

Золотое сечение в архитектуре и фотографии. Парфенон. Диагональное золотое сечение в фотографии.

Золотое сечение в природе. Цикорий. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. Ящерица живородящая. Длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Яйцо птицы. В яйце также наблюдается золотая пропорция.

Золотое сечение в живописи. Композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Гармоничность картине придаёт выбор золотого сечения как пропорции, определяющей развертывание спирали.