XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИИ ВЫВЕДЕНИЯ КА НА ГСО ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ЭЛЕКТРОРАКЕТНОЙ ДВИГАТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКИ М.С. Константинов, Мин Тхейн

Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 2 XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1.УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 2.ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ. ПРИНЦИП МАКСИМУМА 3.КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 4.РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 5.ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. ВЫВЕДЕНИЕ КА НА ГСО ЗАКЛЮЧЕНИЕ

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 3 ВВЕДЕНИЕ В работе анализируется метод оптимизации траектории выведения КА с электроракетной двигательной установкой на геостационарную орбиту. Основные усилия при этом направлены на регуляризацию процесса решения краевой задачи оптимального управления. Применение принципа максимума Понтрягина позволяет свести оптимизационную задачу к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение краевой задачи и составляет основную трудность при использовании подхода принципа максимума (как и многих других непрямых методов). Традиционно для решения задач оптимизации траекторий КА с двигательными установками малой тяги используются различные модификации метода Ньютона. В данной работе анализируется возможность использования гибридного метода, объединяющего метод Левенберга-Марквардта с модифицированным методом Ньютона, для решения нелинейных систем в задачах оптимального управления. Приводятся результаты численного анализа траектории выведения КА на ГСО и эффективности использования ЭРДУ для такого космического маневра. Как критерий оптимизации рассматривается или время выполнения космического маневра (оно минимизируется, задача быстродействия), или время работы двигателя (моторное время, оно минимизируется при фиксированном времени выведения). ВВЕДЕНИЕ В работе анализируется метод оптимизации траектории выведения КА с электроракетной двигательной установкой на геостационарную орбиту. Основные усилия при этом направлены на регуляризацию процесса решения краевой задачи оптимального управления. Применение принципа максимума Понтрягина позволяет свести оптимизационную задачу к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение краевой задачи и составляет основную трудность при использовании подхода принципа максимума (как и многих других непрямых методов). Традиционно для решения задач оптимизации траекторий КА с двигательными установками малой тяги используются различные модификации метода Ньютона. В данной работе анализируется возможность использования гибридного метода, объединяющего метод Левенберга-Марквардта с модифицированным методом Ньютона, для решения нелинейных систем в задачах оптимального управления. Приводятся результаты численного анализа траектории выведения КА на ГСО и эффективности использования ЭРДУ для такого космического маневра. Как критерий оптимизации рассматривается или время выполнения космического маневра (оно минимизируется, задача быстродействия), или время работы двигателя (моторное время, оно минимизируется при фиксированном времени выведения).

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 4 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ Компоненты реактивного ускорения в орбитальной системе координат: где, a τ, a r, a n - трансверсальная, радиальная и бинормальная проекции реактивного ускорения соответственно. – функция включения двигателя (δ = 1 на активном участке траектории (при включенной ЭРДУ), и δ =0 при неработающей ЭРДУ); P – тяга ЭРДУ; m - масса КА; θ - угол тангажа и - угол рысканья. Система равноденственных орбитальных элементов: где – гравитационный параметр центрального тела; p, e, i,,, – классические кеплеровские элементы, F – истинная долгота.

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 5,,, w– скорость истечения. Краевые условия: Требуется перевести КА начальной массы m 0 с начальной орбиты: на конечную орбиту: за заданное или минимизируемое время Т.

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 6 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ функционал: Гамильтониан :, Оптимальное управление: Функция выключения двигателя: или

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 7

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 8 3. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В задаче с фиксированным временем T уравнение невязок краевой задачи имеет вид: Это уравнение должно быть решено относительно неизвестных начальных значений сопряженных переменных p(0) и (0). В задаче оптимального быстродействия δ 1 и дифференциальные уравнения для переменных m и p m можно исключить из рассмотрения, используя явную зависимость массы КА m от времени. Уравнение невязок краевой задачи имеет вид : Это уравнение должно быть решено относительно неизвестных начальных значений сопряженных переменных p(0) и времени перелета T.

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 9 4. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ Гибридный метод Пусть необходимо решить систему нелинейных уравнений f(x) = 0. Решение записанной системы уравнений можно свести к нахождению нулевого значения минимума следующей квадратичной функции F(x):x * = argmin x {F(x)}, Где Такой минимум предлагается находить, используя гибридный метод, объединяющий метод Левенберга - Марквардта с квазиньютоновским методом. Пусть необходимо решить систему нелинейных уравнений f(x) = 0. Решение записанной системы уравнений можно свести к нахождению нулевого значения минимума следующей квадратичной функции F(x):x * = argmin x {F(x)}, Где Такой минимум предлагается находить, используя гибридный метод, объединяющий метод Левенберга - Марквардта с квазиньютоновским методом.

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 10 Левенберг-Марквуардт метод Где, E – единичная матрица размерности j (в нашем случае j = 6), – параметр, управляющий итерационным процессом. Градиентный метод Метод Ньютона Идея метода Левенберга Модификация Марквардта Квазиньютоновский метод, где, формула BFGS (Broyden, Fletcher, Goldfarb and Shanno)

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 11 Итерация начинается с ряда шагов по методу Левенберга-марквардта. Если оказывается, что значение F(x*) значительно отлично от нуля, то переключаемся к квазиньютоновскому методу. Использование квазиньтоновского метода происходит, если удовлетворено следующее условие в трех последовательных, успешных итеративных шагах. Квазиньютоновский метод, разумеется, тоже не гарантирует сходимости. Он хорошо работает, пока быстро уменьшается значение производной нормы әF/әz(z). Если это значение не уменьшается достаточно быстро, следует перейти к использованию метода Левенберга-Марквардта. Итерация начинается с ряда шагов по методу Левенберга-марквардта. Если оказывается, что значение F(x*) значительно отлично от нуля, то переключаемся к квазиньютоновскому методу. Использование квазиньтоновского метода происходит, если удовлетворено следующее условие в трех последовательных, успешных итеративных шагах. Квазиньютоновский метод, разумеется, тоже не гарантирует сходимости. Он хорошо работает, пока быстро уменьшается значение производной нормы әF/әz(z). Если это значение не уменьшается достаточно быстро, следует перейти к использованию метода Левенберга-Марквардта.

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 12 задача оптимального быстродействия Гибридный метод показал высокую эффективность в задачах перелета на конечную круговую орбиту при простом начальном приближении для вектора неизвестных параметров краевой задачи: где, T – безразмерное время (за единицу времени принимается время прохождения 1 радиана на конечной круговой орбите) Задача с фиксированным временем перелета T f = T fmin *C tf C tf 1 Когда C tf равняется единице, то рассматриваемая задача есть задача оптимального быстродействия. Начальное приближение для вектора параметров краевой задачи выбирается как полученное ранее решение задачи оптимального быстродействия. В задаче минимизации характеристической скорости при фиксированном времени использование гибридного метода оказалось неэффективным. Численный анализ показал, что более эффективным оказывается модифицированный метод Ньютона.

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ВЫВЕДЕНИИ НА ГСО Рассматриваются траектории перелета на ГСО при использовании двух космических транспортных систем Союз / Фрегат и Рокот / Бриз. СПД-140 был рассмотрен в качестве электроракетной двигательной установки. Характеристики стационарного плазменного двигателя СПД – 140 тяга0.28 Н Удельный импульс1650 сек Входная мощность3.5 кВт

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 14 Перелет на ГСО с использованием «Рокот/Бриз» + СПД 140 промежуточная орбита : высота перигея км, высота апогея км, наклонение 51.6 градусов. Масса космического аппарата в момент старта ЭРДУ – 520 кг. Время перелета – 96.5 сутки Конечная масса КА – кг Изменение фокального параметра [42164 км] как функции времени перелета [сутки]. Изменение эксцентриситета как функции времени перелета [сутки]. Изменение наклонения [град] как функции времени перелета [сутки].

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 15 Изменение угла тангажа [град] как функции времени полета [сутки] Изменение угла рыскания [град] как функции времени полета [сутки]

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 16 Перелет на ГСО с использованием «Союз/Фрегат» + СПД 140 Ракета – носитель Союз/Фрегат ЭРДУ 4 СПД – 140 (4 запасные) Промежуточная орбита Высота апогея км Высота перигея 290 км Наклонение 51.8 градусов Начальная масса КА 2141 кг Минимальное время перелета – 62.5 сутки Конечная масса КА – кг Изменение фокального параметра [42164 км] как функции времени перелета [сутки]. Изменение эксцентриситета как функции времени перелета [сутки]. Изменение наклонения [град] как функции времени перелета [сутки].

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 17 Изменение угла тангажа [град] как функции времени полета [сутки]. Изменение угла рыскания [град] как функции времени полета [сутки].

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 18 Время перелета [сутки] Моторное время [сутки] Время перелета / Моторное время [C tf ] Конечная масса КА [кг] Анализ увеличения выводимой на рабочую орбиту массы при увеличении времени перелета (от минимально возможного времени)

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 19 Функция переключения вдоль всей траектории перелета для фиксированного времени перелета [70 суток] Функция переключения как функция истинной аномалии для фиксированного времени перелета [70 суток]

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 20 Изменение фокального параметра [42164 км] как функции времени перелета [сутки] Изменение фокального [42164 км] как функции времени перелета в диапазоне 30…33 суток перелета. Изменение эксцентриситета как функции времени перелета [сутки]. Изменение эксцентриситета как функции времени перелета в диапазоне 30…33 суток перелета.

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 21 Изменение наклонения [град] как функции времени перелета [сутки]. Изменение наклонения [град] как функции времени перелета в диапазоне 30…33 суток перелета. Проекция траектории перелета КА на ГСО на плоскость экватора. Проекция траектории перелета КА на ГСО на плоскость YZ.

XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 22 Траектория перелета КА на ГСО в пространстве.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 23 Рассмотрен метод оптимизации схемы выведения КА с двигателем малой тяги с эллиптической на пространственную круговую орбиту. Представлены результаты использования разработанного метода и результаты анализа оптимальной траектории выведения КА с ЭРДУ на ГСО, оптимального управления движением КА при этом выведении. Решена не только задача оптимального управления по минимуму времени выведения (задача быстродействия), но и задача оптимального управления по минимуму характеристической скорости при фиксированном времени выведения (задача с использованием пассивных участков на траектории выведения). Предлагаемая методика может быть использована для оптимизации многовитковых перелетов с эллиптической начальной орбиты на произвольную пространственную круговую орбиту.

Благодарю за внимание Мин Тхейн Благодарю за внимание Мин Тхейн XXXIV Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П.Королёва Мин Тхейн. Метод оптимизации траектории выведения КА на ГСО при использовании ЭРДУ 24