9.8 Релятивистская динамика Принцип относительности Эйнштейна требует, чтобы все законы природы имели один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета. Этому принципу должны удовлетворять, в том числе, законы сохранения импульса, энергии и 2-й закон динамики Ньютона. Прежняя форма 2-го закона Ньютона где не является релятивистски инвариантной, так как она меняет свой вид при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. Для нахождения нового, релятивистски инвариантного уравнения динамики воспользуемся свойством инвариантности интервала между двумя событиями Принцип относительности Эйнштейна требует, чтобы все законы природы имели один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета. Этому принципу должны удовлетворять, в том числе, законы сохранения импульса, энергии и 2-й закон динамики Ньютона. Прежняя форма 2-го закона Ньютона где не является релятивистски инвариантной, так как она меняет свой вид при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. Для нахождения нового, релятивистски инвариантного уравнения динамики воспользуемся свойством инвариантности интервала между двумя событиями

Это выражение дает длину 4-х мерного вектора в пространстве Минковского в инерциальной системе отсчета К. Компонентами этого вектора выступают три проекции на декартовы оси и одна проекция на ось времени При переходе к новой инерциальной системе отсчета К´, движущейся относительно К вдоль оси у со скоростью V эти компоненты меняются согласно преобразованиям Лоренца Δx´ = Δx Δz´ = Δz При этом интервал (длина 4-х мерного вектора) не меняется Δs = Δs´ Это выражение дает длину 4-х мерного вектора в пространстве Минковского в инерциальной системе отсчета К. Компонентами этого вектора выступают три проекции на декартовы оси и одна проекция на ось времени При переходе к новой инерциальной системе отсчета К´, движущейся относительно К вдоль оси у со скоростью V эти компоненты меняются согласно преобразованиям Лоренца Δx´ = Δx Δz´ = Δz При этом интервал (длина 4-х мерного вектора) не меняется Δs = Δs´

Пусть некоторое физическое свойство описывается 4-х мерным вектором с компонентами на 4-е оси системы К где А t – аналог с Δt Потребуем, чтобы при переходе к новой системе координат К´ компоненты этого вектора преобразовывались также как и разности координат двух точек Тогда длина вектора будет инвариантом, как и интервал Пусть некоторое физическое свойство описывается 4-х мерным вектором с компонентами на 4-е оси системы К где А t – аналог с Δt Потребуем, чтобы при переходе к новой системе координат К´ компоненты этого вектора преобразовывались также как и разности координат двух точек Тогда длина вектора будет инвариантом, как и интервал

Любой физический закон выражает связь между физическими величинами. Пусть, например, закон связывает две физические величины А и В, которые в инерциальной системе К изображаются 4-х мерными векторами в пространстве Минковского Тогда релятивистски инвариантный закон можно записать в виде равенства этих векторов, поскольку преобразования двух векторов при переходе к новой инерциальной системе отсчета К´ происходят по одинаковым формулам и значит равенство этих векторов, то есть физический закон, не будет менять свою форму в компонентах Любой физический закон выражает связь между физическими величинами. Пусть, например, закон связывает две физические величины А и В, которые в инерциальной системе К изображаются 4-х мерными векторами в пространстве Минковского Тогда релятивистски инвариантный закон можно записать в виде равенства этих векторов, поскольку преобразования двух векторов при переходе к новой инерциальной системе отсчета К´ происходят по одинаковым формулам и значит равенство этих векторов, то есть физический закон, не будет менять свою форму в компонентах

Для нахождения релятивистского выражения импульса рассмотрим частицу, которая движется со скоростью относительно неподвижной инерциальной системы К. Пусть за время dt частица переместилась на вектор. Составим 4-х мерный вектор с компонентами Если умножить этот вектор на некоторую постоянную, то получим снова 4-х мерный вектор. Выберем в качестве такой постоянной где m 0 – некоторая константа, – собственное время, в системе отсчета, связанной с частицей. Для нахождения релятивистского выражения импульса рассмотрим частицу, которая движется со скоростью относительно неподвижной инерциальной системы К. Пусть за время dt частица переместилась на вектор. Составим 4-х мерный вектор с компонентами Если умножить этот вектор на некоторую постоянную, то получим снова 4-х мерный вектор. Выберем в качестве такой постоянной где m 0 – некоторая константа, – собственное время, в системе отсчета, связанной с частицей.

В результате умножения получим новый 4-х мерный вектор с компонентами (9.8.1) В результате умножения получим новый 4-х мерный вектор с компонентами (9.8.1)

Здесь введено обозначение (9.8.2) Если частица движется медленно, так что υ/c

Применение формулы (9.8.3) к системе тел, в частности к удару двух шаров показывает, что суммарный импульс системы сохраняется. Вектор импульса можно записать в другом виде (9.8.4) где dt 0 - собственное время. Эксперименты на ускорителях элементарных частиц подтверждают, что релятивистский импульс, определенный формулами ( ), сохраняется во всех процессах столкновений. При приближении скорости частицы к скорости света релятивистская масса частицы m неограниченно растет. Применение формулы (9.8.3) к системе тел, в частности к удару двух шаров показывает, что суммарный импульс системы сохраняется. Вектор импульса можно записать в другом виде (9.8.4) где dt 0 - собственное время. Эксперименты на ускорителях элементарных частиц подтверждают, что релятивистский импульс, определенный формулами ( ), сохраняется во всех процессах столкновений. При приближении скорости частицы к скорости света релятивистская масса частицы m неограниченно растет.

Подставим релятивистский импульс во 2-ой закон Ньютона, получим основной закон релятивистской динамики материальной точки (9.8.5) Подставим релятивистский импульс во 2-ой закон Ньютона, получим основной закон релятивистской динамики материальной точки (9.8.5)

Из него следует, что ускорение точки в общем случае не совпадает с направлением силы. Значит, сопротивление тела движущей силе зависит от угла между силой и скоростью. Поэтому в релятивистской механике масса тела перестает играть роль меры инертности тела. Из него следует, что ускорение точки в общем случае не совпадает с направлением силы. Значит, сопротивление тела движущей силе зависит от угла между силой и скоростью. Поэтому в релятивистской механике масса тела перестает играть роль меры инертности тела.

Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы. Для этого используем то, что элементарная работа на малом перемещении равна приращению кинетической энергии 9.9 Взаимосвязь массы и энергии

Учитывая, что после преобразований получаем Интегрируя, находим кинетическую энергию Учитывая, что после преобразований получаем Интегрируя, находим кинетическую энергию

Константу интегрирования найдем из условия, что кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю. Полагаем Поэтому кинетическая энергия релятивистской частицы равна (9.9.1) Для малых скоростей получаем нерелятивистское выражение для кинетической энергии Константу интегрирования найдем из условия, что кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю. Полагаем Поэтому кинетическая энергия релятивистской частицы равна (9.9.1) Для малых скоростей получаем нерелятивистское выражение для кинетической энергии

Энергия называется энергией покоя. Энергия покоя является внутренней энергией тела, она не связана с его движением как целого. Если тело состоит из многих частиц, то энергия покоя равна сумме энергий покоя этих частиц, их кинетических энергий движения относительно центра масс и потенциальной энергии взаимодействия друг с другом. Сумма кинетической энергии и энергии покоя дает полную энергию свободной частицы (9.9.2) Эта формула выражает собой взаимосвязь между массой тела и его энергией. Она показывает, что всякое изменение массы тела приводит к изменению его энергии. Энергия называется энергией покоя. Энергия покоя является внутренней энергией тела, она не связана с его движением как целого. Если тело состоит из многих частиц, то энергия покоя равна сумме энергий покоя этих частиц, их кинетических энергий движения относительно центра масс и потенциальной энергии взаимодействия друг с другом. Сумма кинетической энергии и энергии покоя дает полную энергию свободной частицы (9.9.2) Эта формула выражает собой взаимосвязь между массой тела и его энергией. Она показывает, что всякое изменение массы тела приводит к изменению его энергии.

В полную энергию свободной частицы Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем поле. Используя выражение для релятивистский импульса, выразим полную энергию свободной частицы через импульс Отсюда находим релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом частицы или (9.9.3) В полную энергию свободной частицы Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем поле. Используя выражение для релятивистский импульса, выразим полную энергию свободной частицы через импульс Отсюда находим релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом частицы или (9.9.3)

Пусть, как и раньше, система К неподвижная, а система К´ движется относительно нее со скоростью V вдоль оси y. Пусть частица в системе К за малое время dt переместилась на малый вектор с проекциями на декартовые оси dx, dy, dz. Согласно преобразованиям Лоренца в системе К´ частица за время dt´ переместится на вектор с проекциями dx´, dy´, dz´ dx´ = dx dz´ = dz Пусть, как и раньше, система К неподвижная, а система К´ движется относительно нее со скоростью V вдоль оси y. Пусть частица в системе К за малое время dt переместилась на малый вектор с проекциями на декартовые оси dx, dy, dz. Согласно преобразованиям Лоренца в системе К´ частица за время dt´ переместится на вектор с проекциями dx´, dy´, dz´ dx´ = dx dz´ = dz 9.10 Законы преобразований релятивистского импульса и энергии

Умножим эти уравнения на массу покоя частицы m 0 и разделим на собственное время частицы dt 0 (отсчитанное по часам неподвижным относительно частицы), а выражение с временами умножим, кроме того, на скорость света с m 0 dx´/dt 0 = m 0 dx/dt 0 m 0 dz´/dt 0 = m 0 dz/dt 0 (9.10.1) Умножим эти уравнения на массу покоя частицы m 0 и разделим на собственное время частицы dt 0 (отсчитанное по часам неподвижным относительно частицы), а выражение с временами умножим, кроме того, на скорость света с m 0 dx´/dt 0 = m 0 dx/dt 0 m 0 dz´/dt 0 = m 0 dz/dt 0 (9.10.1)

Учтем, что согласно (9.8.3) Или в компонентах Так как dx´ = dx dz´ = dz то Учтем, что согласно (9.8.3) Или в компонентах Так как dx´ = dx dz´ = dz то

Поскольку то полную энергию частицы в системе K можно записать в виде Аналогично полная энергия частицы в системе K´ равна Поскольку то полную энергию частицы в системе K можно записать в виде Аналогично полная энергия частицы в системе K´ равна

Тогда формулу, связывающую проекции импульсов на ось y в двух системах отсчета можно переписать в виде Тогда формулу, связывающую проекции импульсов на ось y в двух системах отсчета можно переписать в виде

Теперь из формулы (9.10.1), связывающей времена в двух системах отсчета, получим формулу, связывающую полные энергии частицы в этих системах

Запишем окончательные формулы, связывающие компоненты релятивистского импульса и энергии в двух системах (9.10.2) Запишем окончательные формулы, связывающие компоненты релятивистского импульса и энергии в двух системах (9.10.2)

Из формул (9.10.2) и результатов параграфа (9.8) следует, что совокупность величин образует 4-х мерный вектор - вектор энергии-импульса. Сравнивая с прежней формулой (9.8.1) для 4-х мерного вектора видим, что они совпадают, так как Из (9.9.3), следует, что длина вектора энергии-импульса является инвариантом движения (9.10.3) Из формул (9.10.2) и результатов параграфа (9.8) следует, что совокупность величин образует 4-х мерный вектор - вектор энергии-импульса. Сравнивая с прежней формулой (9.8.1) для 4-х мерного вектора видим, что они совпадают, так как Из (9.9.3), следует, что длина вектора энергии-импульса является инвариантом движения (9.10.3)