МОУ «Еланская средняя общеобразовательная школа» Выполнила: учащаяся 11-го класса, Фащевская Анастасия. Руководитель: Кузнецова Т. Н. учитель математики. Елань 2007г.

Определение правильного многогранника Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Существуют следующие виды правильных многогранников.

1.Если грани правильного многогранника – правильные треугольники: a)правильный тетраэдр – четыре грани; b)правильный октаэдр – восемь граней; c)правильный икосаэдр – двадцать граней; 2.Если грани правильного многогранника правильные четырехугольники: a)правильный гексаэдр (куб) – шесть граней; 3.Если грани правильного многогранника правильные пятиугольники: a)правильный додекаэдр – двенадцать граней; Правильных многогранников, грани которых многоугольники с числом сторон больших пяти, не существует.

Из истории развития правильных многогранников Все эти типы многогранников были известны в Древней Греции. Их называют также «платоновыми» телами. Четыре из них олицетворяют в ней четыре «сущности» или «стихии»: тетраэдр – огонь, икосаэдр – воду, куб – землю, октаэдр – воздух. Пятый - додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», символизировал все мироздание, почитался главнейшим. В средние века его называли «квинта эссенция», отсюда происходит слово «квинтэссенция», означающие все самое главное, основное.

Рассмотрим наиболее оригинальные способы построения правильного тетраэдра, октаэдра, икосаэдра вписанных в данный куб и додекаэдра описанного около куба. Построение правильных многогранников

Построение 1.Выбрать одну из вершин куба (A). 2.Указать в гранях куба вершины противоположные A (B 1,C 1,D). 3.Провести отрезки AB 1,B 1 C 1,C 1 D,AD,B 1 D, AC Многогранник ADC 1 B 1 – искомый. Задача 1. Построить правильный тетраэдр, вписанный в данный куб. A D B1B1 C1C1

Задача 2. Построить правильный октаэдр, вписанный в данный куб. Построение 1.Провести диагонали грани (AC и BD). 2.Построить точки пересечения диагоналей каждой грани. 3.Соединить все полученные точки. A B C D O Р

C1C1 B Задача 3. Построить правильный икосаэдр, вписанный в данный куб. Построение 1.Построить средние линии граней куба (AA 1, BB 1 ). 2.Отложить на средних линиях отрезки длиной n на равных расстояниях от ребер (CC 1, DD 1 ). 3.Соединить концы отрезков, лежащих в смежных гранях. Справка AA1A1 B1B1 C S P R Q D D1D1

Q KIKI LILI Задача 4. Построить правильный додекаэдр, описанный около данного куба. Построение 1. Вершины куба являются вершинами додекаэдра. 2. Найти ребро додекаэдра по формуле, где a - ребро куба. 3.Построить на каждой грани кубачетырехскатную крышу: а) провести среднюю линию грани куба(K I L I ); б) на ней отложить отрезок длиной m на равных расстояниях от сторон грани; в) из концов отрезка m провести перпендикуляр к плоскости грани; г) на перпендикуляре найти точки, удаленные от середины сторон грани на расстояние равное высоте ABC (h=BN; AB=BC=a 5 =m); д)соединить вершины куба с полученными точками. 4. Повторить для каждой грани. А B C D E N M K L R S P h

Задача 5. Построить правильный октаэдр, описанный около данного куба. Построение 1. Через центры противоположных граней куба провести прямые(они пересекаются в точке 0 – центре куба). 2. На каждой из прямых по обе стороны от точки 0 отложить отрезки длиной 3a/2 (a-длина ребра куба). 3. Соединить концы отрезков. 0

Заключение В процессе работы мы: –познакомились со специальной литературой о построении правильных многогранников; –произвели отбор информации по данному вопросу; –рассмотрели способы построения вписанных и описанных правильных многогранников; –подобрали иллюстрации к проекту; –оформили результаты в виде презентации; Сложность данной работы заключалась в составлении алгоритма построения вписанных и описанных правильных многогранников. Интерес работы заключен в том, как можно построить с помощью (одной фигуры) одного правильного многогранника – куба остальные правильные многогранники – тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Таким образом, поставленные задачи выполнены, цель работы достигнута. Продуктом данного проекта является методическое пособие в форме презентации Microsoft Power Point.

Список литературы 1.Атанасян Л.С. Геометрия / Л. С. Атанасян, В.Т. Базылев // учеб. пособие для студентов физ.- мат. фак. пед. ин- тов. В 2 ч. Ч.2.-М.: Просвещение, с.:ил. 2.Атанасян Л.С. Геометрия 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Л.С. Киселев, Э.Г. Позняк // 15-е изд., доп. – М. : Просвещение, – 256 с. : ил. 3.Крайнев Л.Б. Построение правильных многогранников с использованием куба / Л. Б. Крайнев // Научно- теоретический и методический журнал Математика в школе c Прохоров А. М. Большая Советская Энциклопедия / А. М. Прохоров, А. П. Виноградов, Н. К. Байбаков // Т. 16. – М.: Издательство «Советская Энциклопедия». – – 320 с.

Справка 1. Длина отрезка n находится по формуле, где a – длина ребра куба. 2.Вывод формулы: при каком n верно равенство AB=BC=AC=n. 3.При соединении концов отрезков образуются равносторонние треугольники. 4.Количество решений (два).

Правильные выпуклые многогранники (тела Платона) куб тетраэдр октаэдр додекаэдрикосаэдр

Правильные невыпуклые многогранники (тела Пуансо) тетрагемигесаэдроктагемиоктаэдркубогемиоктаэдр десятая звездчатая форма икосододекаэдра малый кубокубооктаэдр звездчатый октаэдр первая звездчатая форма икосаэдра