Площадь Учитель математики МОУ лицея 18 И.В.Дымова Презентация уроков по геометрии 8 класс по главе учебника

Работу выполняла ученица 11«4» класса Степанова Аня

Основные свойства площадей.

Первое свойство: Площадь плоской фигуры – неотрицательное число. А С В

Второе свойство: Площади равных фигур равны. А В СА1А1 С1С1 В1В1 S АВС = S А 1 В 1 С 1

Третье свойство: Если фигура разрезана на несколько частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.

Четвертое свойство: Площадь квадрата со стороной 1 равна 1. А ВС D а а S АВСD =a² а=1

Разрезания и складывания Основной принцип метода "разрезания и складывания" основан на том, что если два многоугольника удается разбить на одинаковые части (такие многоугольники называют равносоставленными), то отсюда вытекает, что площади этих многоугольников равны (фигуры, площади которых равны, называются равновеликими). Основной принцип метода "разрезания и складывания" основан на том, что если два многоугольника удается разбить на одинаковые части (такие многоугольники называют равносоставленными), то отсюда вытекает, что площади этих многоугольников равны (фигуры, площади которых равны, называются равновеликими). А В СD Е F А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 Е1Е1 F1F1 S ABCDEF = S A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1

Теорема Если два многоугольника равновелики, то один из них можно разрезать на части, из которых можно составить другой многоугольник. Если два многоугольника равновелики, то один из них можно разрезать на части, из которых можно составить другой многоугольник.

Отношения площадей для того, чтобы установить связь двух площадей, часто бывает удобно сравнивать площади двух треугольников, используя 5 свойство. для того, чтобы установить связь двух площадей, часто бывает удобно сравнивать площади двух треугольников, используя 5 свойство. АС В НА1А1 С1С1 В1В1 Н1Н1 S ABCD =S A 1 B 1 C 1 D 1

Площадь многоугольника 1. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. 2. Равные многоугольники имеют равные площади. А В СD Е FА В СD Е F S ABCDEF = S A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1

Площадь квадрата Рассмотрев 4 свойство, докажем, что площадь S квадрата со стороной а равна а². Начнем с того случая, когда а=1/n.Где n-целое число. Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n² равных квадратов. Так как площадь большого квадрата равна 1 То площадь каждого маленького квадрата равна 1/n² 1/n 1

Задача Пусть O – точка пересечения отрезков АС и BD (рис. 4.2). Докажите, что для того, чтобы площади треугольников AOB и COD были равны, необходимо и достаточно, чтобы прямые ВС и AD были параллельны. Пусть O – точка пересечения отрезков АС и BD (рис. 4.2). Докажите, что для того, чтобы площади треугольников AOB и COD были равны, необходимо и достаточно, чтобы прямые ВС и AD были параллельны. А В С D O

Решение: Для того, чтобы решить эту задачу, нужно доказать два утверждения: Для того, чтобы решить эту задачу, нужно доказать два утверждения: 1. Если прямые ВС и AD параллельны, то площади треугольников АОВ и COD равны; 2. Если площади треугольников АОВ и COD равны, то прямые ВС и AD параллельны. А В С D O S АОВ = S СОD ВСАD

Площадь прямоугольника. Теорема: Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство теоремы: Достроим прямоугольник до квадрата со стороной а+b, площадь этого квадрата равна (а+b)².Достроим прямоугольник до квадрата со стороной а+b, площадь этого квадрата равна (а+b)². Рассмотрим прямоугольник со сторонами а, b и площадь S. Докажем, что S=аb.Рассмотрим прямоугольник со сторонами а, b и площадь S. Докажем, что S=аb. S S S а²а² а b ab b а аb b a

решение C другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S и двух квадратов с площадями а² и b². Имеем: (a+b)²=S+S+a²+b² C другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S и двух квадратов с площадями а² и b². Имеем: (a+b)²=S+S+a²+b² От сюда получаем S=ab. От сюда получаем S=ab. Теорема доказана. Теорема доказана.

Площадь параллелограмма. Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Доказательство: Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведем высоту ВН и СК. Требуется доказать, что Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведем высоту ВН и СК. Требуется доказать, чтоS=ADBH АН D K CB 12

Докажем сначала, что площадь прямоугольника НВСК также равна S. Трапеция АВСК составлена из параллелограмма АВСD и треугольника DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольников НВСК и треугольник АВН. Но прямоугольные треугольники DCK и АВН равны по гипотенузе и остр. углу (АВ=СD, углы 1=2),поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллелограмма АВСD и прямоугольника НВСК также равны, т. е. площадь прямоугольника НВСК равна S. По теореме о площади прямоугольника S=BCBH, а так как ВС=АD, то S=ADBH. Теорема доказана.

Площадь треугольника. Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. S=½АВ СН

Доказательство: Пусть S – площадь треугольника АВС. Примем сторону АВ за основание и проведем высоту СН. Докажем, что Пусть S – площадь треугольника АВС. Примем сторону АВ за основание и проведем высоту СН. Докажем, что S=½АВСН Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВDС.Треугольники АВС и DСВ равны по трем сторонам (ВС - их общая сторона, АВ=СD и АС=ВD), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника АВС равны половине площади параллелограмма АВDС, т. Е. S=½АВСН. Теорема доказана. АН DC B

Следствие 1: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следствие 2: Если высоты двух треугольников равны,то их площади относятся как основания. Если высоты двух треугольников равны,то их площади относятся как основания. Воспользовавшись этим следствием докажем теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. Воспользовавшись этим следствием докажем теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Теорема: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Доказательство: Пусть S и S 1 – площади треугольников АВС и А 1 В 1 С 1, у которых углы А=А 1. Пусть S и S 1 – площади треугольников АВС и А 1 В 1 С 1, у которых углы А=А 1. Докажем, что Докажем, что S/S 1 = АВ/А 1 В 1 АС/А 1 С 1 С ВА S А1А1 С1С1 В1В1 S1S1

Наложим треугольники АВС на треугольник А 1 В 1 С 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А, а стороны АВ и АС наложились соответственно на лучи АВ и АС. Треугольники АВС АВ1С имеют общую высоту СН, поэтому S/S АВ 1 С = АВ/АВ 1. Треугольники АВ 1 С АВ 1 С 1 также имеют общую высоту – В 1 Н 1, поэтому S АВС /S АВС =АС/АС 1.Перемножаем полученные равенства. Теорема доказана. Наложим треугольники АВС на треугольник А 1 В 1 С 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А, а стороны АВ и АС наложились соответственно на лучи АВ и АС. Треугольники АВС АВ1С имеют общую высоту СН, поэтому S/S АВ 1 С = АВ/АВ 1. Треугольники АВ 1 С АВ 1 С 1 также имеют общую высоту – В 1 Н 1, поэтому S АВС /S АВС =АС/АС 1.Перемножаем полученные равенства. Теорема доказана. С А(А 1 ) Н В1В1 В Н1Н1 С1С1

Площадь трапеции. Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника. S3S3 S2S2 S1S1 S=S 1 +S 2 +S 3

Теорема: Площадь трапеции равна произведению полу- суммы ее оснований на высоту.

Доказательство: Рассмотрим трапецию АВСD с основанием AD и ВС, высотой ВН и площадью S. Докажем, что S=½(AD+ВС)ВН. Диагональ ВD разделяет трапецию на два треугольника АВD DCВ, поэтому S=S ABD +S BCD. Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника АВD, а отрезки ВС и DН 1 за основания и высоту треугольника ВСD. Тогда S ABD =½ADBH, S BCD =½ВС DH 1. Так как DH 1 =BH, то S BCD =½ADBH. Таким образом, S=½ADВН+½ВСВН=½(АD+ ВС)ВН. Теорема доказана. С А В D Н1Н1 Н