2012 г. Квантовая механика Преподаватель: Комолов Владимир Леонидович тел./факс: ; тел. моб.: СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ФИЗИКИ

прочитанных лекций и темы рефератов Презентации прочитанных лекций и темы рефератов можно скачать по адресу : Книги: Блохинцев, Давыдов, Карлов, Ландау, Левич, Шифф можно скачать с моего обменника

ОБЪЯВЛЕНИЯ 1.Для допуска к зачету представляется реферат, содержащий: Ф.И.О. студента, номер группы, заголовок (текст вопроса), текст ответа (если надо, с формулами и рисунками). 2.Способ подачи реферата - лично (на лекции) или по электронной почте на адрес: Мои координаты: Комолов Владимир Леонидович тел./факс: ; моб ; Объем реферата не должен превышать 4-5 страниц!! Срок представления НЕ ПОЗЖЕ, ЧЕМ 13 МАЯ !! Форма представления – документ WORD (желательно -.doc), или.PDF, или рукопись.

Теория квантовых переходов (напоминание о прошлой лекции)

Под влиянием возмущения возмущения V, действующего в течение конечного времени, система может перейти из первоначального стационарного состояния в любое другое. Вероятность перехода из начального ( i -го) в конечное ( f -е) стационарное состояние равна

Для периодического возмущения вероятность перехода в пределе больших t дается выражением: Видно, что при больших t она оказывается пропорциональной истекшему с t = 0 промежутку времени.

Поэтому можно ввести вероятность переходов в единицу времени Эта вероятность отлична от нуля лишь для переходов в состояния с энергией Если энергетические уровни непрерывного спектра не вырождены, то под f можно понимать значения энергии. Тогда весь интервал d f сводится к одному состоянию и вероятность перехода

Лекция 10

Теория рассеяния

Основные понятия. Сечение рассеяния. Анализ упругого рассеяния. Борновское приближение. Рассеяние прямоугольной потенциальной ямой. Рассеяние экранированным кулоновским потенциалом.

Основные понятия и определения Рассеяние – отклонение частиц от первоначального направления движения, вызванное взаимодействием с рассеивателем. В результате рассеяния двух или более частиц меняются их импульсы (упругое рассеяние). Наряду с изменением импульсов может меняться также внутреннее состояния частиц, либо образовываться другие частицы (неупругое рассеяние). Одной из основных характеристик как упругого, так и неупругого рассеяния является так называемое эффективное сечение рассеяния - величина, пропорциональная вероятности процесса. Измерение сечений процессов позволяет изучать законы взаимодействия частиц, исследовать их структуру.

Сечение рассеяния Сечение рассеяния величина, характеризующая вероятность перехода системы двух сталкивающихся частиц в результате их рассеяния (упругого или неупругого) в определённое конечное состояние. Сечение рассеяния равно отношению числа dN таких переходов в единицу времени к плотности nv потока рассеиваемых частиц, падающих на мишень, т. е. к числу частиц, проходящих в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к их скорости v (n (1/см 3 ) концентрация падающих частиц): = dN/nv. Таким образом, сечение рассеяния имеет размерность площади; обычно оно измеряется в см 2.

Сечение рассеяния Различным типам переходов, наблюдаемых при рассеянии частиц, соответствуют разные сечения рассеяния. Упругое рассеяние частиц характеризуют дифференциальным сечением рассеяния q = d /d, равным отношению числа частиц, упруго рассеянных в единицу времени в единицу телесного угла, к потоку падающих частиц (d элемент телесного угла), и полным сечением, равным интегралу дифференциального сечения, взятому по полному телесному углу ( = 4 стер).

Сечение рассеяния (классическое приближение) По законам классической механики задачу рассеяния двух частиц массами m 1 и m 2 можно свести, перейдя в систему центра инерции сталкивающихся частиц, к задаче рассеяния одной частицы с приведённой массой m = m 1 m 2 /(m 1 + m 2 ) на неподвижном силовом центре. Траектория частицы, проходящей через силовое поле (с центром 0), искривляется - происходит рассеяние. Угол между начальным (p нач. ) и конечным (p кон. ) импульсами рассеиваемой частицы называется углом рассеяния. Угол рассеяния зависит от силы взаимодействия между частицами и от прицельного параметра - расстояния, на котором частица пролетала бы от силового центра, если бы взаимодействие отсутствовало (рис. 1).

Сечение рассеяния (классическое приближение) Дифференциальное эффективное сечение рассеяние в классическом случае дается выражением: Оно применимо к анализу столкновений микрочастиц не всегда. Ограничения связаны с соотношением неопределенности. Меряя с точностью, вносим неопределенность в импульс p ~ ћ/, а в угол - ~ p/p. Имея в виду, что >, >, получаем условие: Т.о. «классика» непригодна для анализа отклонений на малые углы. = ћ/p - волна де Бройля

Рассеяние в квантовой механике В квантовой теории упругое рассеяние и неупругие процессы описываются матричными элементами S-матрицы, или матрицы рассеяния (амплитудами процессов) комплексными величинами, квадраты модуля которых пропорциональны сечениям соответствующих процессов. Через матричные элементы S-матрицы выражаются физические величины, непосредственно измеряемые на опыте: сечение, поляризация частиц и т. д. Эти матричные элементы могут быть вычислены при определенных предположениях о виде взаимодействия. Сравнение результатов опыта с теоретическими предсказаниями позволяет получить информацию о взаимодействии. В простейшем случае системы двух бесспиновых частиц в нерелятивистской квантовой механике состояние определяется относительным импульсом частиц р ; тогда амплитуда рассеяния представляет собой функцию двух переменных энергии Е и угла рассеяния : S fi = F (E, ).

Расчет упругого рассеяния. При упругом рассеянии действие рассеивателя (атома) на падающую частицу (электрон) можно рассматривать, как движение электрона в поле центральных сил. Рассматриваем инфинитное движение электрона в поле атома. При этом потенциальная энергия (энергия взаимодействия) имеет сферическую симметрию: U = U(r), с условием U() = 0. Полная энергия электрона равна E. Инфинитное движение возможно лишь при E > 0. Уравнение Шредингера для электрона имеет вид: или, обозначая

Расчет упругого рассеяния. Будем искать решения, соответствующие физической задаче. Такие решения на больших расстояниях от центра должны описывать: –падающие свободные электроны. Волновая функция имеет вид плоской волны –рассеянные свободные электроны. Вдалеке от центра их волновая функция расходящаяся волна Полная волновая функция на больших расстояниях от центра имеет вид: Амплитуда рассеяния f связана с дифференциальным сечением рассеяния выражением:

Расчет упругого рассеяния. Выражение для амплитуды рассеяния можно получить из решения уравнения с помощью функции Грина. Функция Грина G(x,x) для оператора Ŝ удовлетворяет уравнению Для нашего случая оно выглядит так: решение для G(r, r`) имеет вид С учетом того, что

Расчет упругого рассеяния. Общее решение уравнения для записывается через функцию Грина следующим образом: где 0 удовлетворяет уравнению решение которого дается плоской волной e ikz. Подстановка 0 и функции Грина в (*) дает интегральное уравнение: Это выражение можно упростить на больших расстояниях от центра Большие r это такие, для которых | r | >> | r|.

Расчет упругого рассеяния. Разлагая | r - r| в ряд и подставляя это в (**), получим При этом амплитуда рассеяния f равна:

Борновское приближение. Даже в простейшем случае потенциального рассеяния уравнение (**) является трехмерным интегральным уравнением, и его решение становится громоздкой вычислительной задачей. В связи с этим были разработаны различные приближенные методы его решения. Один из этих методов был предложен Борном. Уравнение может решаться методом последовательных приближений. В качестве нулевого приближения положим

Борновское приближение. Подстановка в правую часть интегрального уравнения дает выражение для функции первого приближения

Борновское приближение. Если потенциальная энергия не зависит от углов, U = U(| r |), то можно по углам проинтегрировать, и получить для амплитуды: При этом сечение рассеяния в приближении Борна есть:

Рассеяние прямоугольной потенциальной ямой Подстановка потенциала в полученное выражение для амплитуды рассеяния f дает а сечение рассеяния имеет вид:График g(x) изображен на рисунке:

Рассеяние экранированным кулоновским потенциалом При наличии экранировки заряда (например, при рассеянии электрона на нейтральном атоме) взаимодействие описывается потенциалом вида: Этот потенциал при малых r ведет себя, как кулоновский потенциал ядра с атомным номером Z, а при r > a очень быстро падает. Его подстановка в борновское выражение для амплитуды дает:

Рассеяние экранированным кулоновским потенциалом Если передаваемый при столкновении импульс велик (Q 2 >> 1/a 2), то в знаменателе можно пренебречь 1/a 2, и для сечения рассеяния получается формула Резерфорда (она верна, когда частица проходит вблизи ядра, и потенциал почти кулоновский): В общем случае выражение для сечения рассеяния имеет более сложный вид: но зато, в отличие от формулы Резерфорда, оно годится и для описания рассеяния на очень малые углы (когда частица проходит далеко от ядра, и кулоновский потенциал ядра сильно экранируется внутриатомными электронами).

Спин - внутренняя степень свободы микрочастицы

История Концепция спина введена в физику в 1925 году Дж. Уленбеком (G.Uhlenbeck) и С. Гаудсмитом (S.Goudsmit), предположившими на основе анализа спектроскопических данных, что электрон можно рассматривать как «вращающийся волчок» (отсюда и термин «спин» «вертеться») с собственным механическим моментом 1/2 и собственным (спиновым) магнитным моментом, равным магнетону Бора: В математический аппарат нерелятивистской квантовой механики спин был введён Паули; при этом описание спина носило феноменологический характер. Наличие у электрона спина и спинового магнитного момента непосредственно вытекает из релятивистского уравнения Дирака (которое для электрона в электромагнитном поле в пределе малых скоростей переходит в уравнение Паули для нерелятивистской частицы со спином1/2).

Экспериментальное доказательство квантования проекции магнитного момента атома на направление магнитного поля. Опыт подтвердил справедливость квантовой теории. Поставлен в 1922 году. Схема опыта приведена на рисунке. В вакуумной печи создавался поток атомов, который затем коллимировался двумя диафрагмами D, проходил между полюсами магнита, формировавшими неоднородное магнитное поле H, и попадал на фотопластинку P. Экспериментальные доказательства существования спина 1) Опыт Штерна -Герлаха.

Опыт Штерна – Герлаха (продолжение) Согласно классическим представлениям, на атом с магнитным моментом M в неоднородном магнитном поле действует сила, направленная вдоль магнитного поля и перпендикулярно направлению движения атомов пучка: В соответствии с квантовой теорией проекция на направление магнитного поля квантована, т. е.принимает лишь определённые (дискретные) значения. Трудности интерпретации: Зафиксировано расщепление пучка атомов водорода на две узкие компоненты при отсутствии неотклонённого пучка. При этом брался пучок атомов водорода, заведомо находящихся в S - состоянии, т.е. имевший нулевые значения орбитального и магнитного моментов! Такой пучок не должен взаимодействовать с магнитным полем! Двукратное расщепление пучка в опытах Штерна – Герлаха свидетельствует о двух возможных ориентациях магнитного момента. По величине расщепления можно определить его значение.

Идея опыта (см. рисунок): В однородном магнитном поле H (соленоид) на тонкой кварцевой нити подвешивается ферромагнитный стержень. Под действием поля H образец намагничен (магнитные моменты атомов выстроены вдоль поля). При смене направления поля происходит перемагничивание, и вместе с магнитным меняется и механический момент системы, так как магнитный момент М пропорционален механическому M: 2) Опыт Эйнштейна де Гааза Из закона сохранения момента количества движения это приведет к повороту стержня, при этом можно измерить величину его механического момента.

Простая теория предсказывает, что магнитное поле снимает 2L+1 кратное вырождение состояний атомов по проекции орбитального момента на направление магнитного поля (эффект Зеемана). 3) Эффект Зеемана. Магнетон Бора H – магнитное поле Теория дает нечетное число состояний в мультиплете для любых атомов. А в эксперименте: А) В атомах с нечетным Z все мультиплеты четные, т.е. дело обстоит так, как если бы момент L был полуцелым. Б) Расстояния между соседними уровнями в одном мультиплете равно g B H, где g – множитель Ланде

Затруднения теории устраняются, если принять гипотезу спина: Каждый электрон обладает собственным моментом или спином s, равным ћ /2 (спин 1/2), с которым связан магнитный момент Согласие теории с экспериментом достигается, если положить Эксперименты показывают, что протоны и нейтроны также обладают спином 1/2. Спин электрона

Поскольку спин – момент импульса, то будем считать, что квадрат оператора спина s 2 и проекция оператора спина на ось z – s z могут одновременно иметь определенные значения, как это имело место для орбитального момента. Компоненты s – операторы в пространстве двух измерений.

В качестве базисных векторов этого пространства можно выбрать два собственных вектора операторов s 2 и s z Первое число – величина спина, а второе – его проекция на ось z. С помощью этого базиса легко выписать матрицы, соответствующие операторам s x, s y, s z.

Матрицы - называются матрицами Паули и обладают следующими свойствами: Волновая функция электрона с учетом спина становится двумерным «вектором» (спинором)

Спин-орбитальное взаимодействие

Спин-орбитальное взаимодействие (СОВ) - взаимодействие частиц, зависящее от величин и взаимной ориентации их орбитального и спинового моментов количества движения и приводящее к т. н. тонкому расщеплению уровней энергии системы. СОВ - релятивистский эффект ; формально оно получается, если энергию движущихся во внешнем поле частиц находить с точностью до v 2 /c 2, где v - скорость частицы, с - скорость света. Наглядное физическое истолкование СОВ можно получить, рассматривая, например, движение электрона в атоме водорода.

Спин-орбитальное взаимодействие Движение вокруг ядра приводит в общем случае к появлению у электрона орбитального механического момента количества движения и (вследствие того, что электрон заряженная частица) пропорционального ему орбитального магнитного момента. В то же время электрон обладает собственным моментом количества движения спином, с которым связан спиновой магнитный момент. Добавки к энергии электрона, вызванные взаимодействием орбитального и спинового магнитных моментов, зависят от взаимной ориентации моментов, т. е. определяются СОВ.

Спин-орбитальное взаимодействие Проекция спина электрона на любое выбранное направление, в данном случае на направление орбитального момента, может принимать два значения, + ћ/2 и - ћ/2 (где - ћ постоянная Планка), которым отвечают разные энергии взаимодействия с орбитальным моментом. Т.о. СОВ приводит к расщеплению уровней энергии в атоме водорода (и водородоподобных атомах) на два близких подуровня (к дублетной структуре уровней). У многоэлектронных атомов СОВ определяется взаимодействием полного орбитального и полного спинового моментов электронов, и картина тонкого (мультиплетного) расщепления уровней энергии оказывается более сложной. (Атомы щелочных металлов, у которых полный спин электронов равен ћ/2, также обладают дублетной структурой уровней.)

Наглядное представление о СОВ, как о взаимодействии магнитных моментов может играть лишь вспомогательную роль, поскольку оно существует и у нейтральных частиц (например, у нейтронов), имеющих и орбитальный, и спиновой механические моменты. Весьма существенно СОВ нуклонов (протонов и нейтронов) в атомных ядрах, вклад которого в полную энергию взаимодействия достигает 10 %. Замечание: протон и нейтрон относятся к частицам с полуцелым спином. Его величина = 1/2, как и у электрона. Спин-орбитальное взаимодействие

Гамильтониан электрона в потенциальном поле (магнитное поле равно нулю) имеет вид В этом случае наличие у электрона спина приводит к тому, что для каждого собственного значения возникает дополнительное двукратное вырождение, связанное с тем, что проекция спинового момента на некоторую выделенную ось может принимать два значения: /2 и + /2 Спин-орбитальное взаимодействие формализм

Волновая функция факторизуется Наличие неоднородного потенциала V(r) означает, что на электрон действует электрическое поле Согласно классической электродинамике, при движении электрона в электрическом поле напряженности E со скоростью v на него действует магнитное поле

Поскольку электрон обладает спином и, следовательно, собственным магнитным моментом, то в гамильтониане появляется добавочный член, который описывает «спин-орбитальное» взаимодействие Если потенциал сферически симметричный, то Тогда Если, кроме того, электрон находится еще и во внешнем магнитном поле H = rot A, то гамильтониан будет иметь вид

Предположим, что электрон движется в однородном магнитном поле, направленном по оси z. Тогда векторный потенциал удобно выбрать в следующей форме: Движение в однородном магнитном поле В этом случае гамильтониан приобретает вид: Оператор 1)коммутирует с гамильтонианом, 2)коэффициент при этом операторе не зависит от координат. Из 1) следует, что проекция спина на ось z сохраняется, а из 2) что спиновые и координатные функции разделяются.

Для координатной части волновой функции уравнение Шредингера имеет вид: где - значение проекции спина в единицах /2 (т.е. 1 или -1). В этом уравнении можно провести разделение переменных: Значения k x, k z могут принимать любые величины от до. Импульс p z = k z =mv z и скорость электрона в направлении оси z может иметь произвольное значение. Можно сказать, что движение вдоль оси z не квантуется.

Используя приведенное выше представление волновой функции, получим следующее уравнение где Оно формально совпадает с уравнением Шредингера для линейного гармонического осциллятора, который колеблется около точки y 0 c частотой

Отсюда сразу же заключаем, что постоянная играющая роль энергии осциллятора, равна где n – целые числа. Таким образом, получаем выражение для уровней энергии электрона в однородном магнитном поле (1)

Энергия, изображаемая первым членом в (1), соответствует движению в плоскости x – y. В классической механике это движение по окружности с неподвижным центром. Сохраняющаяся величина y 0 соответствует y -координате центра окружности. Наряду с ней сохраняется величина она коммутирует с гамильтонианом. Величина x 0 соответствует классической x-координате центра окружности. Однако, в отличие от классической механики, координаты x 0 и y 0 не могут иметь одновременно определенные значения. Поскольку (1) не содержит величины k x, пробегающей непрерывный ряд значений, уровни энергии вырождены с непрерывной кратностью.

Литература к лекции 10 1.В.Г. ЛЕВИЧ, Ю.А. ВДОВИН, В.А. МЯМЛИН, КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, т.2, часть V (Квантовая механика), гл. II, IV, М.: ГИФМЛ, Л.Д. ЛАНДАУ, Е.М. ЛИФШИЦ, КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, Т. 3, М.: Наука, Д.И. БЛОХИНЦЕВ, ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ, Высшая школа, М., Л. ШИФФ, КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, М.: ИЛ, 1959