Урок геометрии в 10 классе по теме «Параллельность плоскостей» Учитель математики ГОУ Гимназии 1579 Ягодкина Е.Б.

«Параллельный мир - нечто, состоящее из слов и линий» Помню снов тоску. Тогда перед зеркалом стоял и взгляд находил, растворял. Мысли бились друг о друга. Так, бильярдные шары у вечерней пустоты откалывают штукатурку звуков. Так, будильник-сфинкс равнодушно и угрюмо кожу чувств царапает, глотает. Но в молчанье свой предел. Всполохнутся мошки бликов, солнце-сердце растопит все снега. Это прошлое взбунтует и вздохнет уснувшая мечта. Анатолий Кудрявцев

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Плоскости ПересекаютсяПараллельны α β β α α || β α β

Параллельные плоскости в природе Если стоять спиной к водопаду, скалы образуют геометрически правильные параллельные плоскости

Параллельные плоскости в технике Параллельные плоскости «летают»

Параллельные плоскости в быту В своей сущности и основе геометрия –это пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикойВ своей сущности и основе геометрия –это пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод.В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одной из этих сторон, нет и подлинной геометрии.Там, где нет одной из этих сторон, нет и подлинной геометрии.

Параллельные плоскости в искусстве Д.Грин «Мечты» Силуэты мальчика расположены в параллельных плоскостях

Невозможные структуры Жос Де Мей.(Jos de Mey) Жос де Мей (Jos de Mey) родился в 1928 году в Бельгии. Первые его работы были основаны на использовании различных математических законов и последовательностей, таких как ряд Фибоначчи и золотое сечение, но с 1976 года он с особой выразительностью стал использовать обман зрения, наряду с точным воспроизведением материалов и эффекта света и тени. Изображение невозможных фигур как таковых только увеличивает кажущуюся реалистичность.

Невозможные структуры Жос Де Мей.(Jos de Mey ) Часто на картинах Жоса де Мея изображена сова. Эта птица в Голландии имеет двоякое значение, с одной стороны – она является символом теоретических знаний, а с другой стороны – совой голландцы называют человека, которые выглядит глупо.

Невозможные фигуры возможны! Речной вокзал в Твери. Кстати, это место, где снимали несколько сцен фильма "Чучело". От этой пристани в финале фильма отходит пароход. Неправильно направленный на объект фотоаппарат сделал параллельные плоскости непараллельными

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Плоскости ПересекаютсяПараллельны α β β α α || β α β

Признак параллельности плоскостей Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Дано: а α; в α; а в=М; а 1 β; в 1 β; а а 1 ; в в 1 Доказать, что α || β α β а b М b1b1 а1а1 М1М1

Доказательство от противного α β а b М b1b1 а1а1 М1М1 с а α; а 1 β; аа 1 аβ в α; в 1 β; вв 1 вβ Пусть α β = с Тогда а || β, α β = с а || с. b || β, α β = с b || с. а в=М; ас; и вс а||b Находим противоречие условию: через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с. Предположение α β = с - неверно

Какие теоремы мы использовали при доказательстве признака? а α; а 1 β; аа 1 аβ; в α; в 1 β; вв 1 вβ Признак параллельности прямой и плоскости Пусть α β = сДелаем предположение, противное заключению Тогда а || β, α β = с а || с. b || β, α β = с b || с. Теорема о линии пересечения плоскостей а в=М; ас; и вс а||b Теорема о параллельности трех прямых в пространстве Находим противоречие условию: через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с. Теорема о параллельных прямых Предположение α β = с - неверно Делаем вывод, α || β

Задача 51. (еще один признак параллельности) Дано: т п = К, т Є α, п Є α, т || β, п || β. Доказать: α || β. α β т п К с 1) Допустим, что ___________ 2) Так как __________________, то ______________________. 3)Получаем, что ______________________________________________________. Вывод: α β = с п || β, т || β т || с и п || с через точку К проходят две прямые параллельные прямой с. α || β

Задача 53. Дано: отрезки А 1 А 2 ; В 1 В 2 ; С 1 С 2 О Є А 1 А 2 ; О Є В 1 В 2 ; О Є С 1 С 2 А 1 О = ОА 2 ; В 1 О = ОВ 2 ; С 1 О = ОС 2 Доказать: А 1 В 1 С 1 || А 2 В 2 С 2 А1А1 В1В1 А2А2 В2В2 С2С2 С1С1 О

Задача 53. Дано: отрезки А 1 А 2, В 1 В 2, С 1 С 2 не лежат в одной плоскости и имеет общую середину - точку О. Доказать: А 1 В 1 С 1 А 2 В 2 С 2. Доказательство: А 1 А 2, и В 1 В 2 лежат в одной плоскости по следствию из А 1 (через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна). А 1 В 1 А 2 В 2 - параллелограмм (диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам). Следовательно, А 1 В 1 А 2 В 2 Аналогично А 1 А 2, и С 1 С 2 лежат в одной плоскости. А 1 С 1 А 2 С 2 - параллелограмм. Отсюда, А 1 С 1 А 2 С 2 А 1 В 1 А 1 С 1 =А 1 ; А 2 В 2 А 2 С 2 = А 2. По признаку параллельности плоскостей А 1 В 1 С 1 А 2 В 2 С 2. А1А1 В1В1 А2А2 В2В2 С2С2 С1С1 О

Задача 54. Дано: ΔАDС. М, К, Р - середины ВА, ВС, ВD соответственно. SADC = 48 см 2. Доказать: а) МРN АDС. б) Найти: S MNP. М Р N А В D C

Отвечаем на вопросы 1.Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек? 2.Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны? 3.Плоскости и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости. Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β? 4.Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку? 5.Боковые стороны трапеции параллельны плоскости. Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости ? 6.Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции? 7.Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости? 8.Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей? 9.Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости? 10.Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости, то и третья сторона параллельна плоскости ?

Проверяем свою работу 1.Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек? Да 2.Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны? Нет 3.Плоскости и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости. Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β? Да 4.Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку? Нет 5.Боковые стороны трапеции параллельны плоскости. Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости ? Да 6.Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции? Нет 7.Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости? Нет 8.Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей? Нет 9.Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости? Нет 10.Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости, то и третья сторона параллельна плоскости ? Да

Домашнее задание П. 10, 55, 56, 57. Пояснения к домашнему заданию: В 55 запишите в тетрадь и разберите решение задачи, приведенное в учебнике. Дополнительная задача: Прямая а параллельна плоскости. Существует ли плоскость, проходящая через прямую а и параллельная плоскости. Если существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте.