Автор: Кухаренко Егор, ученик 9А класса МОУ-СОШ 2 г. Асино Томской Области Руководитель: Сарычева М.О., учитель информатики I квалификационной категории Информатика 1

Введение Задача о гирях Немного о троичной логике Немного о троичной логике Троичная система счисления Задания ЕГЭ Задачи, разработанные мной Заключение Рекомендация Список литературы 2

Среди позиционных систем счисления наиболее известными являются десятичная и двоичная системы счисления. Это обусловлено их практическим применением в повседневной жизни и технических устройствах. Однако, существует система счисления, которая также была реализована в технике и которая, в последнее время, вызывает пристальное внимание создателей квантовых и оптических компьютеров. Это – троичная система счисления. В данной работе мною были поставлены следующие цели: Рассмотреть исторические корни данного вопроса; Познакомится с троичной логикой и троичной системой счисления; Решить задания ЕГЭ и попробовать придумать собственные задачи по троичной системе счисления. 3

«Задача о поиске наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весах" или просто "задача о гирях« была разработана известным итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Леонардо Фибоначчи В русской историко- математической литературе "задача о гирях" известна также под названием "задачи Баше- Менделеева". Д.И. Менделеев интересовался этой задачей будучи директором Главной Палаты мер и весов России.Баше Менделеева 4

Суть задачи: при какой системе гирь, имея их по одной, можно взвесить всевозможные грузы от 0 до максимального груза G max, чтобы значение максимального груза G max было бы наибольшим среди всех возможных вариаций? Известно два варианта решения этой задачи: 1) когда гири позволено класть на свободную чашу весов; 2) когда гири позволяется класть на обе чаши весов. В первом случае "оптимальная система гирь" сводится к двоичной системе гирь, а появляющийся при этом способ измерения рождает двоичную систему счисления, лежащую в основе современных компьютеров. Во втором случае наилучшей является троичная система гирь, а возникающий при этом способ измерения рождает троичную симметричную систему счисления которая была применена в троичном компьютере «Сетунь», построенном в 50-е годы в МГУ. 5

Клод Гаспар Баше (1581 – 1638 ) – французский математик, поэт, лингвист, переводчик. Один из первых членов Французской академии. Баше родился в состоятельной дворянской семье, рано лишился обоих родителей. Учился в Реймсе в иезуитском колледже. В 1612 году Баше опубликовал сборник занимательных арифметических задач «Problèmes plaisants» (2-е дополненное издание вышло в 1624 году). Среди других достижений Баше по арифметике и теории чисел можно назвать исследование диофантовых уравнений, для решения которых он разработал ряд оригинальных алгоритмов в том числе с помощью непрерывных дробей. 6

Дмитрий Иванович Менделеев (1834 – 1907), великий русский химик. Родился в Тобольскe, в семье директора гимназии. После окончания Тобольской гимназии был принят на отделение естественных наук физико-математического факультета Главного педагогического института в Петербурге. Менделеев в 1856 году защитил в Петербурге магистерскую диссертацию и стал читать курс органической химии в Петербургском университете. В 1865 году Менделеев защитил докторскую диссертацию. В 1869 он открыл периодический закон химических элементов. Организатор и первый директор (1893 – 1907) Главной палаты мер и весов. Менделеев возглавлял большую экспедицию по изучению промышленности Урала, участвовал в работе Всемирной выставки в Париже в 1900 году, разрабатывал программу экономического преобразования России. Уже при жизни он пользовался мировой славой 7

Леонардо Пизанский (около 1170 – около 1250) – первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи. По арабским переводам он ознакомился с достижениями античных и индийских математиков. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки. Невозможно представить современный бухгалтерский и вообще финансовый учет без использования десятичной системы счисления и арабских цифр, начало использования которых в Европе было положено Фибоначчи. Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака». Эта книга содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной. В XIX веке в Пизе был поставлен памятник учёному. Памятник Фибоначчи в Пизе 8

«А что значит трехзначная логика? …Число может быть положительным, отрицательным, а может быть равным нулю. Это совершенно естественно, и это понятней, чем то, что мы имеем в двоичных машинах, когда, чтобы разобраться, какого знака результат, нужно сделать два шага…» «Дело в том, что двузначная логика противоестественна. Вместо того чтобы изучение логики развивало интеллект человека, оно его подавляет». «…если мы хотим обрести нормальное мышление, мы должны уйти из двузначного мира и освоить трехзначную логику в том виде, как ее создал Аристотель». Николай Петрович Брусенцов, создатель троичной ЭВМ «Сетунь» (из интервью журналу «Upgrade») 9

Ученые, которые разрабатывали и изучали троичную логику Раймонд Луллий ( гг.) философ, богослов, каталанский писатель. Им была создана логическая машина, на бумаге в виде диаграмм с секторами. Эта машина была троичной. Уильям Оккам – один из наиболее влиятельных английских философов, теологов и политических мыслителей эпохи позднего Средневековья. В его трудах уделялось большое внимание трёхзначной логике. Льюис Кэрролл - английский писатель, математик, логик, философ, диакон и фотограф. Все его наиболее значимые работы были посвящены математической логике и разработке силлогистики – науки, основателем которой считается Аристотель. 10

Человеком, который первый построил систему трехзначной логики является польский логик Ян Лукасевич ( ). Создание трехзначной логики он сравнивал «с борьбой за освобождение человеческого духа». Троичная логика (трёхзначная логика) один из видов многозначной логики, использующий три значения: 1 истина 0 неизвестно -1 ложь Если не использовать значение «неизвестно», троичная логика сводится к обычной двоичной логике. 11

позиционная с основанием 3 несимметричнаясимметричная Алфавит: {0, 1, 2} Алфавит: {-1, 0, 1} или {-, 0, +} 12

Для записи чисел используются три цифры -1, 0, 1 или знаки -, 0, + Вес соседних разрядов различается в три раза (разряд единиц, разряд троек, разряд девяток, …) Разряд единиц (3 0 ) Разряд троек (3 1 ) Разряд девяток (3 2 ) Какое число закодировано? = 1*3 2 + (-1)* *3 0 = 7 10 ЦифраЗнак – 1– Переводим число в десятичную с.с. по АЛГОРИТМУ 13

Алгоритм перевода числа, закодированного в троичной симметричной системе счисления в десятичную с.с. Например: = Представить число в развернутой форме. При этом основание системы счисления должно быть представлено в десятичной системе счисления. 3. Найти сумму получившегося ряда = = 1*3 2 +(-1)*3 1 +1*3 0 =9 – =7 10 ЦифраЗнак – 1 ( )– 1 2. Представить число в развернутой форме. При этом основание системы счисления должно быть представлено в десятичной системе счисления. ЦифраЗнак – 1 ( )– 1 1.Записать троичное число, заменив знак на цифру. 14

1) ) + – – 3) + – – 0 Переведи троичные числа в десятичную с.с. Проверь себя! 15

1) = 1* *3 1 +1*3 0 = ) + – – = 1*3 2 + (-1)*3 1 +(-1)*3 0 =5 10 3) + – – 0 = 1*3 3 + (-1)*3 2 +(-1)*3 1 +0*3 0 = Проверь себя: 16

Изменение знака числа в симметричном коде равносильно замене всех «–» на «+» и наоборот. Например: 7 = + – +, следовательно –7 = – + –. (Проверь это, записав закодированное число в развернутой форме и вычислив сумму ряда). А как записать –10, –8, –14? А как записать отрицательное число? Проверь себя! 17

Проверь себя: 10 = = – 0 – 8 = + 0 – -8 = – = + – – – -14 = –

1.Одна ячейка памяти троичной ЭВМ (компьютера, основанного на троичной системе счисления) может принимать одно из трёх возможных состояний. Для хранения некоторой величины отвели 4 ячейки памяти. Сколько различных значений может принимать эта величина? 2.Световое табло состоит из светящихся элементов, каждый из которых может гореть одним из трёх различных цветов. Сколько различных сигналов можно передать при помощи табло, состоящего из пяти таких элементов (при условии, что все элементы должны гореть)? «Универсальные материалы для подготовки учащихся. Информатика», под ред. В.Р.Лещинера, ФИПИ, «Интеллект-Центр», 2010г. Проверь себя! 19

1.Одна ячейка памяти троичной ЭВМ (компьютера, основанного на троичной системе счисления) может принимать одно из трёх возможных состояний. Для хранения некоторой величины отвели 4 ячейки памяти. Сколько различных значений может принимать эта величина? Для наглядности представим, что ячейка памяти принимает значения: Переберём все возможные варианты, взяв 2 ячейки памяти. Получится 9 различных значений, т.е. 3 2 При трёх ячейках – 27 различных значений т.е. 3 3 Если же для хранения величины отведено 4 ячейки памяти, то различных состояний будет 3 4 =81 20

2.Световое табло состоит из светящихся элементов, каждый из которых может гореть одним из трёх различных цветов. Сколько различных сигналов можно передать при помощи табло, состоящего из пяти таких элементов (при условии, что все элементы должны гореть)? Для наглядности представим, что элемент табло горит одним из трёх цветов: Переберём все возможные варианты, взяв 2 элемента табло. Получится 9 различных сигналов, т.е. 3 2 Если элементов 5, то будет подано 3 5 = 243 различных сигнала. 21

1.Светомузыкальная установка состоит из нескольких элементов, каждый из которых может принимать 3 разных значения. Из скольких элементов состоит установка, если она может передать 729 различных сочетаний? 2.Сколько значений может принимать каждый из 5 светодиодов, если они могут передать 243 разных цветовых сочетаний? 3.Для хранения информации отведено 2 ячейки памяти, каждая из которых может принимать 3 разных значения. В каком количестве сочетаний может кодироваться эта информация? 4.Для хранения информации отведено n ячеек, каждая из которых может принимать 3 разных значения. Какое минимальное количество ячеек необходимо для кодирования информации 700 различными способами? Проверь себя! 22

1.Светомузыкальная установка состоит из нескольких элементов, каждый из которых может принимать 3 разных значения. Из скольких элементов состоит установка, если она может передать 729 различных сочетаний? Для наглядности представим, что один элемент принимает значения: Переберем все возможные варианты взяв два элемента установки. Получится 9 разных сочетаний т.е. 3 2 При трех элементах сочетаний будет 27 т.е. 3 3 Для того, чтобы получилось 729 разных сочетаний, т.е. 3 6, надо взять 6 элементов. Ответ: светомузыкальная установка состоит из 6 элементов. 23

2. Сколько значений может принимать каждый из 5 светодиодов, если они могут передать 243 разных цветовых сочетаний? Дано:Решение: i = 5N = ? i N = = x 5 N = ? i 243 = 3 5 Ответ: каждый из светодиодов может принимать 3 разных значения. 3. Для хранения информации отведено 2 ячейки памяти, каждая из которых может принимать 3 разных значения. В каком количестве сочетаний может кодироваться эта информаци я? Дано:Решение: I = 4N = 3 i 3 N = 3 2 N - ?N = 9 Ответ: Эта информация может кодироваться в 9 сочетаниях. 24

4. Для хранения информации отведено n ячеек, каждая из которых может принимать 3 разных значения. Какое минимальное количество ячеек необходимо для кодирования информации 700 различными способами? Решение: число 700 находится между 243 и 729 т.е. между 3 5 и 3 6. Значит, необходимо или 5 или 6 ячеек. Но так как в 5 ячейках не удастся поместить информацию 700 способами ( ). 25

На протяжении веков ученые изучали и разрабатывали теорию троичной логики и троичной системы счисления. В своих исследованиях они указывали на преимущества троичной логики над двоичной. В настоящее время интерес в многозначной логике значительно возрос, особенно у создателей квантовой и оптической компьютерной техники. В данной работе содержатся сведения из истории возникновения троичной логики и троичной системы счисления, рассмотрены некоторые вопросы касающиеся теории троичной системы счисления. Особый интерес для меня представляло решение заданий для подготовки к сдаче единого государственного экзамена. А также работа над формулированием и решением собственных задач. 26

Данная презентация может использоваться в качестве дополнительного материала на уроках информатики при изучении темы «Системы счисления», на факультативных занятиях и спецкурсах по подготовке к ЕГЭ. Как правило, задания на троичную систему счисления, предложенные в материалах по подготовке к ЕГЭ, вызывают затруднения у обучающихся. Рассмотренные теоретические вопросы и практические задания помогут преодолеть возникающие затруднения. Работа выполнена учеником 9 класса Кухаренко Егором. Хотелось бы отметить большую самостоятельность обучающегося в подборе материала по плану, составленному с помощью учителя, а также исключительную самостоятельность в составлении и решении задач. 27

1.goldenmuseum.com1001TwoProblems_rus.htmlgoldenmuseum.com1001TwoProblems_rus.html %D0%9C%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BA,_%D0%9A%D 0%BB%D0%BE%D0%B4_%D0%93%D0%B0%D1%81%D0%BF%D0%B0%D1%80http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B0%D1%88%D0%B5_%D0%B4%D0%B5_ %D0%9C%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BA,_%D0%9A%D 0%BB%D0%BE%D0%B4_%D0%93%D0%B0%D1%81%D0%BF%D0%B0%D1% %F0%E8%E9_%C8%E2%E0%ED%EE%E2%E8%F7http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E5%ED%E4%E5%EB%E5%E5%E2,_%C4%EC%E8%F 2%F0%E8%E9_%C8%E2%E0%ED%EE%E2%E8%F7 5. D1%87%D1%87%D0%B8http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0% D1%87%D1%87%D0%B «Троичный принцип» Николая Брусенцова«Троичный принцип» Николая Брусенцова 8.«Универсальные материалы для подготовки учащихся. Информатика», под ред. В.Р.Лещинера, ФИПИ, «Интеллект-Центр», 2010г. 9. tabac_1850.JPGhttp://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Balance_%C3%A0_ tabac_1850.JPG 28