Иррациональные уравнения. Функциональный метод решения. Лекция 3. Автор : Чипышева Людмила Викторовна, учитель математики МОУ Гимназии 80 г. Челябинска

1. Использование понятия области определения функции. Областью определения функции y=f(x) называется множество значений переменной х, при которых функция имеет смысл. Областью допустимых значений переменных ( ОДЗ ) уравнения называется множество значений неизвестного, при которых имеет смысл ( то есть определены ) его левая и правая части.

1. Использование понятия области определения функции. Пример 1. Решить уравнение : Решение : ОДЗ : Ответ : корней нет Самостоятельно : Докажите, что уравнения не имеют корней :

1. Использование понятия области определения функции. Пример 2. Решить уравнение : Решение : ОДЗ : Проверка : при х =1 Ответ : 1 Самостоятельно : Решите уравнение :

1. Использование понятия области определения функции. Пример 3. Решить уравнение : Решение : Так как левая часть уравнения неотрицательна, то Тогда Проверка : при х =4 Ответ : 4 Самостоятельно : Решите уравнения :

2. Использование понятия множества значений функции. Областью значений функции y=f(x) называется множество значений переменной у при допустимых значениях переменной х. Функция y=f(x) называется ограниченной на данном промежутке ( содержащемся в области её определения ), если существует такое число N>0, что при всех значениях аргумента, принадлежащих этому промежутку Пусть дано уравнение f(x)=g(x), где f(x) и g(x)- элементарные функции, определённые на множествах D1 и D2. Пусть области значений функций Е 1 и Е 2 соответственно. Тогда : если а – корень уравнения, то f( а )=g( а ). При этом области значений функций имеют общие элементы. Если же таких общих элементов в Е 1 и Е 2 нет, то уравнение не имеет решений.

2. Использование понятия множества значений функции. Пример 4. Решить уравнение : Решение : Ответ : корней нет. Пример 5. Решить уравнение : Решение : ОДЗ : Ответ : корней нет Самостоятельно : Докажите, что уравнения не имеют решений :

2. Использование понятия множества значений функции. Пусть дано уравнение f(x)=g(x). Если, то решением уравнения является система : Вообще, если функция f(x) на промежутке Х ограничена сверху, причём, а функция g(x) ограничена на промежутке Х снизу, причём, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе :

2. Использование понятия множества значений функции. Пример 6. Решить уравнение : Решение : Ответ : 0. Самостоятельно :

2. Использование понятия множества значений функции. Пример 7. Решить уравнение : Решение : Ответ : -3.

2. Использование понятия множества значений функции. Самостоятельно : Решите уравнения :

2. Использование свойств монотонности функции. Функция f(x) называется возрастающей ( убывающей ) на числовом промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует большее ( меньшее ) значение функции. Функция только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке. Свойства монотонных функций : 1.Монотонная на промежутке Х функция каждое своё значение принимает лишь при одном значении аргумента из этого промежутка. 2.Если f(x) возрастает ( убывает ) на Х и g(x) возрастает ( убывает ) на Х, то h(x)=f(x)+g(x)+c также возрастает ( убывает ) на Х ( с - произвольная постоянная ). 3.Если f(x) неотрицательна и возрастает ( убывает ) на Х и g(x) неотрицательна и возрастает ( убывает ) на Х, то h(x)= с ·f(x)·g(x) также возрастает ( убывает ) на Х ( с - произвольная постоянная ). 4.Если f(x) возрастает ( убывает ) на Х, то - f(x) убывает ( возрастает ) на Х. 5.Если функция f(x) монотонна на промежутке Х и сохраняет на этом множестве знак, то функция 1/ f(x) на промежутке Х имеет противоположный характер монотонности.

2. Использование свойств монотонности функции. Свойства монотонных функций : 6. Если обе функции f(x) и g(x) возрастающие или обе убывающие, то функция h(x)=f(g(x))- возрастающая функция. Если одна из функций возрастающая, а другая убывающая, то функция h(x)=f(g(x))- убывающая функция. Теоремы об уравнениях и неравенствах : 7. Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(x)=c имеет на промежутке Х не более одного корня. 8. Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(g(x))=f(h(x)) равносильно уравнению g(x)=h(x). 9. Если функция f(x) возрастает ( убывает ) на промежутке Х, то неравенство f(g(x)) h(x) ). 10. Если f(x) возрастает на Х, g(x) убывает на Х, то уравнение f(x)=g(x) имеет на Х не более одного корня. 11. Если f(x) возрастает на Х, то уравнение f(f(x))=x равносильно на Х уравнению f(x)=x

2. Использование свойств монотонности функции. Пример 8. Решить уравнение : Решение : ОДЗ : Ответ : - 4. Самостоятельно : Решите уравнения :

2. Использование свойств монотонности функции. Пример 9. Решить уравнение : Решение : Ответ : 3. Самостоятельно : Решите уравнения :

3. Использование свойств чётности и нечётности функций. Функция f(x) называется чётной, если для любого значения х из области определения функции значение – х также принадлежит области определения и f(-x)=f(x). Функция f(x) называется нечётной, если для любого значения х из области определения функции значение – х также принадлежит области определения и f(-x)= - f(x). Теорема 1. Сумма, разность, произведение и частное двух чётных функций являются чётными функциями. Теорема 2. Произведение и частное двух нечётных функций представляют собой чётные функции. Чтобы решить уравнение F(x)=0, где F(x) – чётная или нечётная функция, достаточно найти положительные ( или отрицательные ) корни, после чего записывают отрицательные ( или положительные ) корни, симметричные полученным, и для нечётной функции корнем будет число х =0, если это значение входит в область определения F(x). Для чётной функции значение х =0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение. Самостоятельно : решите уравнение :

Проверка ответов : 4) 1 5) 4,25 6) 2,6 9) 1 10) 2 11) 2 12) -4 13) 3 14) 2 15) 1 16) 3 17) 5 18) 4 19) 3 20) 7 21) 3 22) 2 23) -2; 2

Источники : Г. И. Ковалёва, Е. В. Конкина « Функциональный метод решения уравнений и неравенств », М.: Чистые пруды, 2008.