Решение простейших тригонометрических уравнений Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную переменную под знаком тригонометрической функции.Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную переменную под знаком тригонометрической функции. Чаще всего тригонометрические уравнения (путём тождественных преобразований, замен и т. д.) сводятся к ПРОСТЕЙШИМ.Чаще всего тригонометрические уравнения (путём тождественных преобразований, замен и т. д.) сводятся к ПРОСТЕЙШИМ. Простейшие уравнения можно разбить на четыре вида:Простейшие уравнения можно разбить на четыре вида: sin x = acos x = a tg x = a ctg x = a

Уравнение sin x = a x = arcsin a а π x = π - arcsin a Общий ответ: x = arcsin a + 2πn и x = π – arcsin a + 2πn.

Пример 1 Sin x = 0,4 0,4 arcsin 0,4 π – arcsin 0,4 + 2πn ОТВЕТ: arcsin 0,4 + 2πn, π – arcsin 0,4 + 2πn.

Пример 2 - 3/2 – π/3 Замечания: arcsin(– 3/2) = – π/3, π – arcsin(– 3/2) = π– (– π/3) = 4π/3. 4π/3 Ответ: х = –π/3 + 2 πn, x = 4π/3 + 2 πn.

sin x = 0 sin x = 1 sin x = - 1 ОСОБЫЕ СЛУЧАИ :

Уравнение cos x = a x = arccos a а π x = - arccos a Общий ответ: x = ± arccos a + 2πn.

Пример 3 cos x = 0,4 0,4 arccos 0,4 – arccos 0,4 + 2π n Ответ: x = ± arccos 0,4 + 2πn.

Пример 4 cos x = – 3/2 – 3/2 5π/6 – 5π/6 Замечания: arccos(– 3/2) = 5π/6, – arccos(– 3/2) = –5π/6. Ответ: x = ± 5π/6 + 2πn.

Особые случаи: cos x = 0 cos x = 1 cos x = - 1

Уравнение tg x = a а Общий ответ: x = arctg a +πn. Особый случай: tg x = 0. x = πn π arctg a arctg a + π

Пример 5 tg x = 2,3 2,3 arctg 2,3 arctg 2,3 + π Ответ: x = arctg 2,3 + π n

Пример 6 tg x = – 1 – 1 – π/4 3π/4 Замечания: arctg(–1) = –π/4, arctg(–1) + π = 3π/4. Ответ: x = –π/4+π n.

Уравнение сtg x = a а π Общий ответ: x = arcctg a +πn. Особый случай: ctg x = 0. arcctg a arcctg a + π

Пример 7 ctg x = – 2,3 – 2,3 arcctg(– 2,3) arcctg(– 2,3) + π Ответ: x = arcctg(– 2,3) + πn.

Пример 8 ctg x = 3 3 π/6 7π/6 Замечания: arcctg3 = π/6, arcctg3 + π = 7π/6. Ответ: x = π/6 + π n.