Моделирование конфликтных ситуаций в экономике с применением математической теории игр

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике 1.Задачи теории игр в экономике. Большинство задач финансово- экономической сферы сводится к необходимости принятия решения. Проблема в том, что принимать решения приходится в условиях неопределенности. Неопределенность связана: - с сознательной деятельностью конкурентов; - с риском, в котором необходимо принять решение; - неопределенность целей задачи и др.

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике В условиях определенности теоретические и практические выводы носят однозначный характер. В условиях частичной или полной неопределен- ности результаты анализа не обладают однозначностью. Математизация экономических задач о принятии решений в условиях неопределенности, привело к развитию соответствующих методов и моделей, в основе которых лежит теория игр.

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике 2. Основные понятия теории игр. Конфликтная ситуация – ситуация, в которой сталкиваются противоположные интересы противоборствующих сторон. Черты конфликтной ситуации: - наличие заинтересованных сторон - наличие набора возможных действий у каж- дой из сторон - наличие своих интересов у каждой стороны.

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой. Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой. Теория игр – раздел теории исследования операций, который занимается моделями конфликтных ситуаций. Теория игр – раздел теории исследования операций, который занимается моделями конфликтных ситуаций. Игровые математические модели имеют широкое практическое применение в экономике, политике, биологии, военном деле и т.п. Игровые математические модели имеют широкое практическое применение в экономике, политике, биологии, военном деле и т.п.

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике 2.1. Терминология теории игр Терминология теории игр. Игроки – заинтересованные стороны в игре Игроки – заинтересованные стороны в игре Коалиция - объединение игроков Коалиция - объединение игроков Коалиции действия Коалиции действия Коалиции интересов Коалиции интересов Стратегия – любое возможное действие игрока Стратегия – любое возможное действие игрока

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике Парная игра – игра, в которой принимают участие два противника (игрока) Множественная игра – игра с числом участников более двух. Множественная игра – игра с числом участников более двух. Ситуация (исход игры) – состояние, в котором оказываются игроки после очередного хода. Ситуация (исход игры) – состояние, в котором оказываются игроки после очередного хода.

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике Предполагается, что игра происходит по определенным правилам (без этого не возможна формализация задачи). Правила - система условий, которые описывают: -возможные действия каждого из игроков - объем информации, которую может получить каждая из сторон о возможных действиях противника - исход (результат) игры после каждой совокупности «ходов» противника

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике Будем предполагать, что каждый из участников игры обладает своим набором чистых стратегий: S c A ={A 1,A 2,…,A m }, S c B ={B 1,B 2,…,B n } В условиях конфликта каждый игрок делает свой ход, т.е. выбирает одну из своих возможных стратегий Сделав ход, игроки оказываются в ситуации Х ij ={A i, B j }. Правила игры могут запрещать отдельные ситуации, которые называются «запрещенными». Если в процессе игры возникает запрещенная ситуация, то игра считается несостоявшейся.

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике Функция выигрыша – степень удовлетворения интересов игрока (F A ). Функция выигрыша – степень удовлетворения интересов игрока (F A ). Функция выигрыша определена на множестве ситуаций (S c A, S c B ) и ставит в соответствие каждой ситуации X ij некоторое число F(X ij ), которое называется выигрышем игрока А в ситуации X ij. Функция выигрыша определена на множестве ситуаций (S c A, S c B ) и ставит в соответствие каждой ситуации X ij некоторое число F(X ij ), которое называется выигрышем игрока А в ситуации X ij. Игра – выбор игроками своих возможных стратегий и получении в сложившейся ситуации своего выигрыша. Игра – выбор игроками своих возможных стратегий и получении в сложившейся ситуации своего выигрыша. Игра происходит по определенным правилам. Игра происходит по определенным правилам.

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике Цель теории игр – выработка рекомендаций для удовлетворитель- ного поведения игроков в конфликте и выявления для каждого из них оптимальной стратегии. Цель теории игр – выработка рекомендаций для удовлетворитель- ного поведения игроков в конфликте и выявления для каждого из них оптимальной стратегии. Оптимальная стратегия – такая стратегия, которая при многократном повторении игры гарантирует игроку максимальный возможный средний выигрыш. Оптимальная стратегия – такая стратегия, которая при многократном повторении игры гарантирует игроку максимальный возможный средний выигрыш.

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике Замечания: Замечания: Выбор оптимальной стратегии базируется на принципе разумности каждого игрока, т.е. поведение каждого из них направлено на противодействие другому. Выбор оптимальной стратегии базируется на принципе разумности каждого игрока, т.е. поведение каждого из них направлено на противодействие другому. Оптимальность опирается на некоторый критерий. Поэтому возможны случаи, когда стратегия является оптимальной в смысле одного критерия и не оптимальной в смысле другого. Оптимальность опирается на некоторый критерий. Поэтому возможны случаи, когда стратегия является оптимальной в смысле одного критерия и не оптимальной в смысле другого.

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике 3. Игры двух сторон с нулевой суммой выигрыша. Определение. Игры, в которых каждый из игроков преследует противоположные интересы называются антагонистическими. В антагонистической игре один из игроков выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой. Следовательно: F A (A i B j ) = - F B (B j A i ) или F A (A i B j ) + F B (B j A i ) = 0 F A (A i B j ) + F B (B j A i ) = 0 Антагонистическая парная игра определяется совокупностью {S c A, S c B, F A }

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике 4. Матрица выигрышей. Пусть игроки А и В имеют наборы стратегий S c A ={A 1,A 2,…,A m } и S c B ={B 1,B 2,…,B n }. Cитуация Х ij =(A i, B j ) полностью определяет выигрыш игрока А, который равен действительному числу: F(A i B j )=a ij. Это число - одновременно проигрыш игрока В. Из чисел a ij можно сформировать матрицу А={a ij }, в которой номер строки - номер стратегии игрока А, а номер столбца – номер стратегии игрока В. Полученная матрица называется матрицей выигрыша игрока А

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике 4. Матрица выигрыша (Продолжение) А = A i \B j B1B1B1B1 B2B2B2B2…. BnBnBnBn A1A1A1A1 a 11 a 12 …. a 1n A2A2A2A2 a 21 a 22 …. a 2n …..….….….…. AmAmAmAm a m1 a m2 …. a mn Аналогичным образом можно построить матрицу выигрышей игрока В. При этом В=-А Т. Таким образом матрица В пол- ностью определяется матрицей А. Матрица А называется также платежной матрицей или матрицей игры.

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике Замечания. Замечания. Матрица игры существенно зависит от упорядо- чивания множеств S c A и S c B. При иной нумерации стратегий матрица окажется другой. Т.е. одна и та же игра может быть представлена различными матрицами. Но функция F A остается однозначно определенной. Матрица игры существенно зависит от упорядо- чивания множеств S c A и S c B. При иной нумерации стратегий матрица окажется другой. Т.е. одна и та же игра может быть представлена различными матрицами. Но функция F A остается однозначно определенной. Построение матрицы игры является весьма сложной задачей. Однако, всякую конечную игру можно привести к матричной форме. Построение матрицы игры является весьма сложной задачей. Однако, всякую конечную игру можно привести к матричной форме.

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике Пример построения платежной матрицы. Пример построения платежной матрицы. Задача. Две фирмы А и В производят один и тот же сезонный товар, который поступает на рынок в моменты времени i и j. Цель фирмы В разорить фирму А и стать монополистом на рынке, пойдя на некоторые убытки. Товар обладает следующим свойством. Чем дольше он находится в производстве, тем выше его качество. Способ борьбы один: поставлять товар более высокого качества. Для разорения фирмы А необходимо минимизировать ее доходы. Необходимо. Построить матрицу игры А для n = 4 при условии, что доход равен С в единицу времени.

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике Задача. (Решение). Стороны А и В имеют противоположные интересы. Конфликт антагонистический. Фирма обладает набором стратегий S c A ={A 1,A 2,A 3,A 4 } поставки товара в момент времени i, а фирма В набором S c B ={B 1,B 2,B 3,В 4 } поставки товара в момент времени j. Возможны три варианта сравнения моментов поставки товара: i j.

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике Задача. Решение (Продолжение) В результате для n = 4 получим матрицу: A = A = A i \B j B 1 =1 B 2 =2 B 3 =3 B 4 =4 A 1 =1 a 11 =2c a 12 =c a 13 =2c a 14 =3c A 2 =2 a 21 =3c a 22 =1.5c a 23 =c a 24 =2c A 3 =3 a 31 =2c a 32 =2c a 33 =c a 34 =c A 4 =4 a 41 =c a 42 =c a 43 =c a 44 =0.5c

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике 5. Максиминные и минимаксные стратегии. Пусть имеем парную антагонистическую игру между игроками А и В: S c A ={A 1,A 2,…,A m }, S c B ={B 1,B 2,…,B n }, F A (i,j)= a ij. Если игрок А выбирает одну из своих стратегий (А i ), то его выигрыш – одно из значений a ij, лежащее в строке i. Предполагаем, что игрок А крайне осторожен, т.е. он исходит из того, что игрок В в ответ выберет наилучшую из своих стратегий, при которой выигрыш игрока А будет минимальным. Пусть α i = min(a ij ) при 1 a ij. при 1 J n для всех 1 I m α i – показатель эффективности стратегии А i. α i – показатель эффективности стратегии А i.

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике 5. Максиминные и минимаксные стратегии. Продолжая действовать разумно, игрок А выберет ту стратегию, при которой показатель эффективности α i принимает максимальное значение: α =max(α i ) = max min(a ij ) при 1 J n и 1 i m. α =max(α i ) = max min(a ij ) при 1 J n и 1 i m. Данный принцип выбора стратегии называется максиминным. α – максимин стратегий игрока А. S A maxmin – множество максиминных стратегий игрока А. Если игрок А выбирает одну из максиминных стратегий А i maxmin,то его выигрыш будет a i maxmin k α при любой стратегии игрока В.

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике 5. Максиминные и минимаксные стратегии. С точки зрения игрока В. Играя разумно, игрок В понимает, что для его стратегий В j выигрыши расположены в столбце матрицы F A : a ji. Максимальный выигрыш игрока А есть: β j = max(a ji ) при 1 i m β j = max(a ji ) при 1 i m Интерес игрока В в том, чтобы выбрать такую стратегию, при которой игрок А будет иметь минимальный выигрыш: β = min(β j ) = minmax(a ji ) Это минимаксный принцип. β – минимакс стратегий игрока В. S B minimax – множество минимаксных стратегий игрока В. α – нижняя граница игры. β – верхняя граница игры. β – верхняя граница игры. α β α β

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике 5. Максиминные и минимаксные стратегии. Замечание. α и β могут быть любыми действительными числами. Если α