Статистическое моделирование экспериментального плана Лекция 3

Вопросы для обсуждения 1.Анализ таблиц с одним входом 2.Однофакторный дисперсионный анализ для несвязных выборок 3.Оценка контрастов post hoc и планируемое сравнение групп

ВОПРОС 1 Анализ таблиц с одним входом

Экспериментальный план Подготовка и проведение эксперимента предполагает выделение независимой переменной, описывающей характер экспериментального воздействия, и измерение зависимой переменной. Независимая переменная, как правило, описывается номинативной или порядковой шкалой. Зависимая переменная, в идеале, должна быть задана в метрической шкале.

Межгрупповой план С точки зрения математической статистики, простейшим экспериментальным планом является межгрупповой план. В межгрупповом плане уровни (значения) независимой переменной варьируются между группами испытуемых, т.е. в каждой экспериментальной группе уровень (значение) независимой переменной оказывается неизменным для всех испытуемых. Результаты межгруппового эксперимента могут быть представлен в виде таблицы с одним входом.

Таблица с одним входом Уровни независимой переменной T 1...j k x 11 x j1 x k x 1n...x jn...x kn

Сравнение нескольких выборок (Winer, 1962) Первая группа Вторая группа Третья группа

Анализ дисперсии Общая дисперсия Внутригрупповая дисперсия Межгрупповая дисперсия

Внутригрупповой суммарный квадрат

Межгрупповой суммарный квадрат

Общий суммарный квадрат

По нашим данным… Суммарный разброс данных внутри экспериментальных групп оказался равным 85,875 Разброс данных между экспериментальными группами оказался равным 50,125 Общий разброс данных по экспериментальной выборке составил 136 Т.е. SS total = SS within_group + SS betwееn_group

Степени свободы Непосредственное сравнение внутригруппового и межгруппового квадратов является некорректным, т.к. эти статистики имеют различное число степеней свободы. Число степеней свободы может быть оценено путем вычитания числа линейных ограничителей статистики из числа элементов, для которых оценивается дисперсия.

Подсчет степеней свободы Число степеней свободы для статистики SS beetwеn_group равно k-1 Число степеней свободы для статистики SS within_group равно k(n-1) Число степеней свободы для статистики SS total будет равно kn-1 Заметим, что df total = df within_group + df beetwеn_group

df по нашим данным… Число степеней свободы для внутригрупповой оказалось равным 21 Число степеней свободы для межгруппового суммарного квадрат оказалось равным 2 Общее число степеней свободы – 23

Средний квадрат

Найдем средние квадраты

Сравнение дисперсий Для сравнения внутригрупповой и межгрупповой дисперсий применим F-тест Фишера:

Итоговые результаты Источник дисперсии SSdfMSF Между группами50,125225,066,13 Внутри групп85,875214,09 Общий136,00235,91 F(2, 21) = 6,13; p

ВОПРОС 2 Однофакторный дисперсионный анализ для несвязных выборок

Таблица с одним входом Уровни независимой переменной T 1...j k x 11 x j1 x k x 1n...x jn...x kn

Р. Фишер ( ) Дисперсионный анализ (ANOVA)

Структурная модель Фиксированная Модель с одним случайным признаком Независимая переменная является фиксированной, т.е. принимает в эксперименте все возможные значения Зависимая переменная случайна Случайная Модель с двумя случайными признаками Независимая переменная является случайной, т.е. принимает в эксперименте лишь некоторые возможные значения Зависимая переменная случайна

Фиксированная модель

Уточнения Поскольку значение τ j внутри экспериментальной группы постоянно, внутригрупповая дисперсия (σ 2 j ) должна быть равна дисперсии экспериментальной ошибки (σ 2 εj ). Дисперсия ошибки не зависит от эффекта независимой переменной. Иными словами, предполагается, что величина ε постоянна для всех экспериментальных групп, т.е. справедливо соотношение σ 2 j = σ 2 εj Экспериментальная ошибка распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и дисперсией σ 2 εj

Тогда…

Гипотезы Нулевая - H 0 Альтернативная - H 0

Случайная модель

ВОПРОС 3 Оценка контрастов post hoc и планируемое сравнение групп

Множественное сравнение Априорное Предполагает наличие математическое модели, описывающей характер связи независимой и зависимой переменных Обозначается как планируемое сравнение групп Апостериорное Осуществляет выделение контрастных групп на основе уже полученных данных Обычно обозначается как анализ post hoc

Анализ Post Hoc

Тесты Post Hoc 1.Метод наименьших значимых различий (LSD) 2.Тест Шеффе (Scheffé) 3.Тест Тьюки (Tukey) 4.Тест Дункана (Duncan) 5.Тест Бонферрони (Bonferroni)

Метод наименьших значимых различий Метод наименьших значимых различий (LSD) был разработан Р. Фишером и является аналогом t-теста Оценка значимости статистики t осуществляется на основе двустороннего теста Стьюдента. Использование данного метода оценки контрастных групп связано с повышенным риском ошибки первого рода, т.е. это наиболее либеральный тест

Тест Шеффе

Тьюки, Дункан, Бонферрони… Тесты Тьюки (Tukey), Дункана (Duncan), Бонферрони (Bonferroni) и т.п. являются, как правило оптимальным выбором, являясь менее консервативными по сравнению с тестом Шеффе, при этом не тяготея к ошибке первого рода

Априорные контрасты

Априорные контрасты: пример Предположим, что переменная Y линейно зависит от переменной X Если имеются данные, относящиеся к четырем группам испытуемых, то коэффициенты контраста могут быть заданы следующим образом: -1,5 -0,5 0,5 1, ,5 -1,5 0,5 -0,5 X Y