Проект подготовила ученица 11 класса МОУ «Среднетатмышская ОСШ» Канашского района Чувашской Республики Петрова Ольга Учитель математики: Петрова И. Н.

Цель проекта: Рассмотреть методы работы над задачами, определить виды текстовых задач, которые входят в Единый Государственный Экзамен и методы их решения. Объект исследования: Текстовые задачи Открытого банка заданий по математике. Предмет исследования: Методы решения текстовых задач, включённых в Открытый банк заданий по математике.

Задачи проекта Определить общие подходы к решению текстовых задач; Рассмотреть типы задач и составить модель решения каждого типа соответственно; Выявить наиболее рациональные решения текстовых задач.

Введение Математика проникает почти во все области деятельности человека, что положительно сказалось на темпе роста научно-технического прогресса. В связи с этим было решено включить в итоговую аттестацию в форме Единого Государственного Экзамена (ЕГЭ) предмет математики, где особое внимание уделяется текстовым задачам. При решении каждой задачи надо поризводить небольшое математическое исследование, с помощью которого проверяется наша сообразительность и способность к логическому мышлению. В Открытом банке заданий по математике нашлось 7294 задачи В12.

Типы текстовых задач Задачи на движение; задачи на работу и производительность задачи на «концентрацию смесей и сплавов», задачи на процентный прирост и вычисление «сложных процентов» задачи на процентный прирост и вычисление «сложных процентов»

Методы решения метод составления уравнений, метод составления уравнений метод графового моделирования, метод полного перебора, старинный (арифметический) способ, метод неопределённых коэффициентов.

Общие подходы к решению задач сбор информации из текста в виде схемы или таблицы, если условие её задачи содержит в изобилии; выбор неизвестных; составление системы уравнений или неравенств; нахождение нужного неизвестного или нужной комбинации неизвестных.

Задачи на движение Исследовав прототипы задач для различных типов движения из Открытого банка задач ЕГЭ по математике, можно разделить их на две группы задачи на движение велосипедистов и автомобилистов, задачи на движение лодки по течению и против течения.

При решении задач с большим количеством информации целесообразно использовать таблицы: Вид величин Взаимосвязь видов Состояние 1Величина Состояние 2Величина После отбора информации из условия задачи и представления её в виде таблицы, надо записать систему уравнений или неравенств. После нахождения неизвестных или нужной комбинации неизвестных, отбираем решения, подходящие по смыслу задачи. Делаем вывод и записываем ответ на вопрос задачи. Задачи на движение Движение велосипедистов и автомобилистов

Задачи на движение Прототип задания B12 ( 99607), (250 Задач). Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. Прототип задания B12 ( 99600), (66 задач). Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой? Прототип задания B12 ( 99610), (250 задач). Из пункта А в пункт В, По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго? Решение

Прототип задания B12 ( 99598), (250 задач) Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. Задание B12 ( ). (176 задач) Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 70 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 1000 метров, за 1 минуту 48 секунд. Найдите длину поезда в метрах. Прототип задания B12 ( 99611). ((250 задач) По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Задачи на движение Движение объектов навстречу друг к другу Прототип задания B12 ( 99612). (250 задач) По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах. Прототип задания B12 ( 99596), (74 задачи). Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

Задачи на движение Движение лодки по течению и против течения В задачах на движение лодки по течению и против течения реки, также как и в задачах на движение велосипедистов и автомобилистов, за неизвестную величину лучше будет принять наименьшую из величин или то, что необходимо найти. При этом необходимо учесть, что скорость лодки не может быть меньше скорости течение реки и наоборот, скорость течения реки не может быть больше скорости лодки. Всю собранную информацию из условия задачи представляем в виде таблицы: Составить систему уравнений или неравенств, найти неизвестные и по смыслу задачи отбирать решения. Вид величин Взаимосвязь видов Против теченияВеличина По течениюВеличина

Движение лодки по течению и против течения ПРИМЕР: В12, 5715, (14 задач). Моторная лодка прошла против течения реки 55 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 8 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Задание B12 ( 5969) Лодка в 9:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 19:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч. Прототип задания B12 ( 99610), (250 задач). По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Задачи на работу и производительность В задачах на работу, системы уравнений содержат следующие величины: t – время выполнения работы; p – производительность, т. е. работа, производимая за единицу времени; A – работа, выполняемая за время t. Эти три величины связаны соотношением: В подобных задачах, в качестве работы может выступать объём жидкости, выливаемой из бассейна или наливаемой в бассейн. Обычно величина выполняемой работы нас не интересует, поэтому удобнее принимать объём всей работы или бассейна за единицу, т. е. A = 1.

Задачи на работу ПРИМЕР: В12, (19 задач) Задача: На изготовление 16 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 40 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий? Решение: Прототип задания B12 ( 99617). (74 задачи) Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша? Решение Задание B12 ( 39799) Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 2 дня. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 1 день выполняет такую же часть работы, какую второй за 2 дня? Решение

Прототип задания B12 ( 99567) (34 задачи) Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки? Задание B12 ( ) (240 задач) Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 112%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 3%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Прототип задания B12 ( 99569) (19 задач) Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через два года был продан за рублей. Задание B12 ( ) (250 задач) Митя, Артем, Паша и Женя учредили компанию с уставным капиталом рублей. Митя внес 18% уставного капитала, Артем рублей, Паша 0,18 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Женя. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли рублей причитается Жене? Ответ дайте в рублях.

Задачи «на бассейн» ПРИМЕР: В12, (46 задач) Задача: Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба? Решение:

Задачи на «концентрацию, смесей и сплавов» Прототип задания B12 ( 99571) (85 задач) В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Прототип задания B12 ( 99572). Задание B12 ( ). (20 задач) Смешали некоторое количество 13-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Прототип задания B12 ( 99573). (182 задачи) Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Прототип задания B12 ( 99577). (250 задач) Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Прототип задания B12 ( 99578). (250 задач) Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде? Правило креста Правилом креста называют диагональную схему правила смешения для случаев с двумя растворами. Слева на концах отрезков записывают исходные массы

Задачи на процентный прирост и вычисление «сложных процентов» Прототип задания B12 ( 99565). (250 задач) В 2008 году в городском квартале проживало человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году? Решение Прототип задания B12 ( 99566). (4 задачи) В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник? Прототип задания B12 ( 99586). (14 задач) Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год? Решение

Задачи на процентный прирост и вычисление «сложных процентов» Прототип задания B12 ( 99579). (50 задач) Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор. Прототип задания B12 ( 99582). (180 задач) Прототип задания B12 ( 99621). (250 задач). Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов текста, а Ваня на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест? Задание B12 ( ). (224 задачи) Мише надо решить 390 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Миша решил 12 задач. Определите, сколько задач решил Миша в последний день, если со всеми задачами он справился за 10 дней.

Вывод: В разделе прототипов блока B12 всего 82 прототипа задач, а значит разобрать их все и быть во всеоружии не так уж и сложно. Решить задачи ЕГЭ можно, надо лишь определиться с удобной классификацией, методом решения. Решение текстовых задач – это «мини» исследование, так называемая творческая деятельность, где каждый решает по своему методу, исходя из своих логических способностей.

Список литературы А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко. Прогрессии. Текстовые задачи. Элементы математического анализа. – Екатеринбург: УМЦ УПИ, В.В. Ткачук. Математика – Абитуриенту. – М.: МЦНМО, В.А. Далингер. Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике. Вып. 2. Текстовые задачи, решаемые методом составления уравнений: Учеб. пособие. – Омск: ОмГПУ, Пособие по математике для поступающих в вузы. Под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука, ГРФМЛ, все задания В можно пройти тестирование по тестовым задачам (Тесты с ответами)