Применение теории игр в политике и экономике Лекция 3. Элементы теории вероятностей

Русская рулеткаРусская рулетка –Доктор, эти господа, вероятно второпях, забыли положить пулю в мой пистолет: прошу вас зарядить его снова, и хорошенько. М.Ю.Лермонтов, «Княжна Мери» Необходимое оборудование КартыКарты –Игра занимает меня сильно, сказал Германн, но я не в состоянии жертвовать необходимым в надежде приобрести излишнее. А.С.Пушкин, «Пиковая дама» КостиКости

Диаграммы Венна Ω СобытиеА Событие Ã (не A ) A B Пересечение событий A и B AB Объединение событий A и B A B События A и B несовместимы, если AB= (пустое множество)

Вероятность события A df 1 (классическое) отношение числа m бла- гоприятствующих событию A равновоз- можных исходов к общему числу всех элементарных, несовместимых и равно- возможных исходов (N) испытания.

Вероятность: пример Русская рулетка с 1 патроном в барабане (7- зарядный револьвер)Русская рулетка с 1 патроном в барабане (7- зарядный револьвер) –7 элементарных несовместимых исходов –элементарные исходы равновозможны

Свойства вероятности

Вероятность события A df 2 (частотное) предел отношения числа m испытаний, при котором произошло событие A, к общему числу (N) испытаний, при N.

Вероятность: пример NB Расчет вероятности в русской рулетке по частотному определению может быть весьма дорогостоящим! (P человеческая жизнь ) Испытания систем вооружения (артиллерия, стрелковое оружие и боеприпасы, ракетная техника – до 1970-х гг.)Испытания систем вооружения (артиллерия, стрелковое оружие и боеприпасы, ракетная техника – до 1970-х гг.) –отстреляно 3000 патронов –5 осечек –вероятность осечки 5/3000=0,1(6)%

Вероятность события A df 3 (субъективное) степень рациональной уверенности в том, что событие может произойти

Взаимоисключающие события df появление одного события в испытании достоверно препятствует появлению другого события в том же испытании Пример:Пример: –выпадение решетки и –зависание монеты в воздухе

Свойства вероятности Ω СобытиеА N исходов m исходов

Условная вероятность Какова вероятность того, что событие A произошло, если мы знаем, что событие B произошло?Какова вероятность того, что событие A произошло, если мы знаем, что событие B произошло? NB Нам нужно думать не о всех исходах, а только о тех, что входят в событие B A B N исходов m исходов k исходов z исходов

Правило умножения Как можно вычислить вероятность пересечения событий A и B, имея данные о P(A|B) и P(B)?Как можно вычислить вероятность пересечения событий A и B, имея данные о P(A|B) и P(B)? A B P(B) P(A|B)

Сложение вероятностей Какая вероятность появления одного из событий A и B или обоих событий сразу?Какая вероятность появления одного из событий A и B или обоих событий сразу? A B N исходов m исходов k исходов z исходов

Формула Байеса Как извлечь информацию из наблюдений случайных событий?Как извлечь информацию из наблюдений случайных событий? Вероятность посылки 3 авианосцев в Корейское море, если:Вероятность посылки 3 авианосцев в Корейское море, если: –США решили разобраться с КНДР 70% –США решили не трогать КНДР 20% Оценка вероятности кризиса60%Оценка вероятности кризиса60% 3 авианосца обнаружены. Какая вероятность кризиса с учетом этого факта?3 авианосца обнаружены. Какая вероятность кризиса с учетом этого факта?

Формула Байеса

A посылка 3 авианосцевA посылка 3 авианосцев B 1 США решили разобраться с КНДРB 1 США решили разобраться с КНДР B 2 США решили не трогать КНДРB 2 США решили не трогать КНДР P(B 1 )=60%P(B 1 )=60% P(B 2 )=1-P(B 1 )=40%P(B 2 )=1-P(B 1 )=40% P(A|B 1 )=70%; P(A|B 2 )=20%P(A|B 1 )=70%; P(A|B 2 )=20%

Формула Байеса До поступления сведений мы оценивали кризис как в принципе возможный (60%)До поступления сведений мы оценивали кризис как в принципе возможный (60%) После появления новой информации мы видим, что кризис весьма вероятен (84%)После появления новой информации мы видим, что кризис весьма вероятен (84%)

Случайная величина df Переменная, случайно принимающая численные значения с определенной вероятностью каждого значения Температура в Москве в полдень (в определенной точке)Температура в Москве в полдень (в определенной точке) Число абитуриентов на ФМПЧисло абитуриентов на ФМП Средняя оценка курса на экзаменеСредняя оценка курса на экзамене Число голосов, поданных за Дж.Буша в шт.ОрегонЧисло голосов, поданных за Дж.Буша в шт.Орегон «Сколько бюллетеней напечатали, столько и подали» А.Вешняков (из неопубликованного)

Распределение (дискретной) случайной величины i ( п/п) p(X=x i ) 1/6 xixixixi Очки на игральной кости

Математическое ожидание случайной величины На ФМП организовано казино «Счастливый случай»На ФМП организовано казино «Счастливый случай» Хорошо перетасованная колода карт (52)Хорошо перетасованная колода карт (52) Берется 1 картаБерется 1 карта ФМП платитФМП платит –за A 100 р. –за K 8 р. Студент платитСтудент платит –за Q 80 р. –за любую другую карту 1 р. Какой доход (в среднем) ожидает ФМП с одного честного студента?Какой доход (в среднем) ожидает ФМП с одного честного студента?

Математическое ожидание (дискретной) случайной величины df Сумма произведений значений случайной величины на вероятность появления этого значения

Полезность фон Неймана-Моргенштерна (1944) df математическое ожидание случайной полезности (выигрыша) субъекта Предполагается, что в ситуациях с риском и неопределенностью субъекты будут максимизировать именно ееПредполагается, что в ситуациях с риском и неопределенностью субъекты будут максимизировать именно ее Допущения нейтральность к риску, многократность повторения ситуацииДопущения нейтральность к риску, многократность повторения ситуации –игроку безразлично, играть ли в лотерею {10 р. (1/10); -1 р. (9/10)} или получить 1 р. наверняка NB Для однократного выбора не всегда приемлемо

Неопределенность Границы вероятности [0%;100%] Знания нет [0%;0%] Утверждение ложно [100%;100%] Утверждение истинно [65%;100%] Частичная поддержка истинности [0%;75%] Частичное опровержение [65%;75%] Частичные поддержка и опровержение [65%;65%] Известная вероятность

Задания на дом В хорошо перетасованной колоде 52 карты. Какая вероятность того, что Вы вытянете девятку? туз? карту красной масти? пиковую даму?В хорошо перетасованной колоде 52 карты. Какая вероятность того, что Вы вытянете девятку? туз? карту красной масти? пиковую даму? Из колоды в 52 карты случайным образом взята карта. Вам сказали, что она трефовой масти. Какая вероятность того, что это тройка?Из колоды в 52 карты случайным образом взята карта. Вам сказали, что она трефовой масти. Какая вероятность того, что это тройка? Пять монет одновременно брошены на стол. Какая вероятность выпадения не менее одного "орла"? Какая вероятность появления двух и более "орлов"?Пять монет одновременно брошены на стол. Какая вероятность выпадения не менее одного "орла"? Какая вероятность появления двух и более "орлов"?

Задания на дом В том же вбросе 5 монет факультет обещает выплачивать Вам за появление каждого "орла" по 34 копейки, а Вы обещаете выплачивать факультету за появление каждой "решетки" по 21 копейке. Какой Ваш ожидаемый выигрыш от одного вброса?

Задания на дом На Вашем письменном столе лежат россыпью тетради с обложкой 2 цветов: салатового и темно-синего, причем каждая тетрадь посвящена одному учебному предмету, но название предмета на обложке не написано. Вы знаете, что конспекты по историко-политологическим дисциплинам есть в 5 тетрадях салатового цвета и 3 темно-синего, по экономическим предметам в 4 салатовых и 6 темно- синих, по языкам в 2 салатовых и 2 темно-синих. Собираясь на занятия, Вы взяли одну тетрадь наобум. –С какой вероятностью Вам попадется тетрадь по иностранному языку? –Тетрадь салатового цвета? –Посмотрев на тетрадь, Вы видите, что она темно-синего цвета. Какая вероятность того, что Вы взяли конспект по одному из экономических предметов?