Методический блок по работе над серией задач по теме: «ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛЫХ ВЫРАЖЕНИЙ» в курсе алгебры 7 класса. Кожевникова В.И., учитель математики высшей категории МОУ «Средняя общеобразовательная школа 8 им. А.С.Пушкина», г.Черемхово Иркутской области 2006 – 2007 уч.год

Каким должно быть учение и преподавание, чтобы можно было говорить о развитии именно творческих способностей учащихся? А.Я.Пономарев в своих исследованиях показал, что основной составляющей творческого мышления является «логи- ческий механизм» и «интуитивный опыт». Следовательно основной задачей в обучении можно считать задачу фор- мирования и умения мыслить по аналогии, умений обобщать, умения анализировать, наблюдать и делать выводы. И в этой ситуации одним из основных средств достижения цели является упражнение. носитель действий ( с точки зрения содержания) одна из форм проявления методов обучения средство целенаправленного формирования ЗУНов (как средство обучения) один из способов организации и управления учебно-познавательным процессом (в деятельностном плане)

О составлении упражнения по аналогии, обобщенного упражнения, упражнения с использованием данных, говорил П.М.Эрдниев: «Умозаклю- чение по аналогии является непременной составляющей творческого мышления, так как этим путем мысль человека выходит за рамки извест- ного, пролагая путь к неизвестному». Действительно, решение готовой задачи, даже очень сложной по уровню, менее ценно в личностном плане, нежели составление и решение своей задачи. Л.С.Рубинштейн в своих исследованиях отмечает, что деятельность, построенная по схеме: анализ через синтез, способствует развитию творческого мышления. Решить задачу, составив уравнение; по полученному числовому тождеству составить новое уравнение; составить и решить новую задачу, то, очевидно, такая учебная деятельность направлена на развитие и приобретение навыков творческой и исследовательской деятельности… Рассматривая упражнение как многоаспектное явление в обучении, можно говорить, что именно работа над упражнением развивает определенные свойства и качества личности школьника; умение обобщать, мыслить аналогиями, умение наблюдать, анализировать.

«Знание усваивается более полно тогда, когда видишь процесс его зарождения» «Предоставьте учащимся возможность участвовать в составлении задачи, которую им придется решать. Если ученики внесли свой вклад в постановку задачи, то они будут гораздо активнее работать над её решением, тем самым будет развиваться желательный склад ума.» Математическое открытие. Д.Пойя Составление задач по аналогии с решенной Э т а п ы р а б о т ы. 1. Решается задача. 2. Предлагается составить подобную задачу, выполняя пошаговые действия * составить тождество; наметить размер фигуры, допустить изменение её сторон * преобразовать в уравнение * сформулировать условие задачи 3. Работа в парах ( составление задачи для соседа решение задачи оформление листа- кто составил, кто решал, текст задачи, решение)

х 2 2 S 2 > S 1 на 20 кв.см ( х + 2 ) 2 – х 2 = S 1 > S 2 на 20 кв.см Каждую сторону квадрата уменьшили на 2 м, отчего площадь квадрата уменьшилась на 20 кв.м. Чему была равна сторона квад- рата вначале? х Х 2 – ( х – 2 ) 2 = 20 М О Д У Л Ь 1. Обучение составлению задач по алгоритму. Каждую сторону квадрата увеличили на 2 м, отчего площадь квадрата увеличилась на 20 кв.м. Чему была равна сторона квадрата вначале? 1. Р е ш а е м з а д а ч и:

Как же мне составить для вас новую похожую задачу? 1. Запишем тождество: х 2 – ( х – а ) 2 = в Придадим х и а какие - либо значения, чтобы вычислить значение в. Пусть х =30, а = 3, тогда в = 30 2 – ( 30 – 3 ) 2 = 900 – 719 = Запишем уравнение: х 2 – ( х – 3 ) 2 = Сформулируем задачу. Т О Ж Д Е С Т В О У Р А В Н Е Н И Е З А Д А Ч А Сторону квадрата уменьшили на 3 см. Найти сторону квадрата, если площадь нового квадрата на 181 кв.см меньше площади исходного квадрата. 4. Составим задачу для своего соседа. Следуй указаниям: * выбери тождество; * придай числовые значения х и а и вычисли значение в * запиши уравнение, заменив а и в числами * запиши текст задачи

М О Д У Л Ь 2..Усложнение задач с изменением первого этапа. Составим задачу 1 по уравнению: ( х – 3 ) ( х + 7 ) – х 2 = 105 Что может означать выражение х 2 ? Что может означать выражение х-3 и х+7 ? Что означает произведение х-3 на х+7 ? х 3 7 Х-3 Х+7 Задача 2. Одну сторону квадрата уменьшили на 3 см, а другую – увеличили на 7 см. Определить сторону квадрата, если его площадь меньше на 105 кв.см, чем площадь получившегося прямоугольника. Составьте задачу по уравнению: х 2 – (х – 7) (х + 3) =53 Используя алгоритм: тождество уравнение задача, составьте задачу для соседа.

Составим задачу 3 по уравнению: (х + 2) (х + 8) – х (х + 6) = 56 *Попробуйте догадаться, о каких фигурах пойдет речь в этой задаче. Ответ обоснуйте. Если второй прямоугольник имеет меньшие размеры, то он может поместиться внутри первого. Тогда задача может приобрести сюжет. х Х+6 1м Х+2 Х+8 Длина бассейна прямоугольной формы на 6м больше его ширины. Ширина дорожки вокруг бассейна равна 1м, а площадь дорожки равна 56 кв.м. Определите размеры бассейна. Используя алгоритм: тождество уравнение задача, составьте задачу для соседа.

М О Д У Л Ь 3. Задачи в общем виде с параметрами Составить задачу по тождеству, записать уравнение и сформулировать её. 1. х 2 - (х – а ) 2 = S 1 – S 2 2 ( х + а ) 2 – х 2 = S 2 – S 1 * Как изменили сторону квадрата в каждом случае? 3. (х + а )( х + в ) – х 2 = S 2 – S 1 4. x ( х + а ) – х 2 = S 2 – S 1 5. ( х – а ) ( х + в ) – х 2 = S 2 – S 1 6. x 2 – (x – a ) ( x + в ) = S 1 – S 2 7. x 2 – (x – a ) (x – в ) = S 1 – S 2 Каждую сторону уменьшили на число а Каждую сторону увеличили на число а Обе стороны увеличили на числа а и в Одну сторону увеличили на число а Одну сторону уменьшили на число а, а другую увеличили на число в, где а < в Одну сторону уменьшили на число а, а другую увеличили на число в, где а > в Обе стороны уменьшили на числа а и в

Задача для мозгового штурма * Дать геометрическую иллюстрацию тождеству: х (х + а) – (х - 2в) (х + а – 2в) = S 1 - S 2 * Составить уравнение по тождеству. * Сформулировать задачу. х-2в х+а-2в в в Х х+а в в Пусть х = 20, а = 10, в = 1,5 Тогда S 1 - S 2 = 20(20+10)-(20-3)( )= = 141 Получим уравнение: х ( х + 10 ) - ( х – 3 ) ( х + 7 ) = 141 Задача. Ширина дорожки вокруг бассейна прямоугольной формы равна 1,5 м. Длина внешнего раз- мера бассейна на 10 м больше его ширины. Определить размеры бассейна.

Методические рекомендации по использованию модулей. М О Д У Л Ь 1. Обучение составлению задач по алгоритму. Если следовать учебнику под редакцией С.А.Теляковского, то данный модуль можно включить после изучения пункта «Сложение и вычитание многочленов», когда необходимо создать серьезную мотивацию на необходимость овладения навыками преобразования многочленов. Учащимся, да и самому учителю, надоедает скучная и однообразная работа по преобразованию многочленов, ученики не видят смысла заниматься этим, так как стоит вопрос: «А зачем? Где они вообще нужны? Нужны ли?» В данном модуле сначала решается две похожих задачи с обязательной геометрической иллюстрацией, предваряющей составление уравнения. На этом этапе учащиеся ещё не могут решить получившиеся уравнения, но в этом и состоит интрига мотивации на будущее, а именно: «Уравнение, содержащее многочлены, получается при решении задач, хочется завершить её решение, но мы не можем это сделать, так как не умеем выполнять преобразование многочленов. Остаётся – набраться терпения и научиться выполнять все необходимые преобразования». Разве это не мотивация?! А сколько воспитательных моментов, плюс развитие волевой сферы!

На втором этапе в данном модуле нужно сделать серьезный акцент на по- шаговое выполнение алгоритма: тождествоуравнениезадача. Мотивация учащихся достаточно высока от того, что они выступают в роли авторов учебников, которые придумывают «замысловатые» задачи, а на самом деле, не такие уж они и «замысловатые». Сначала следует хороший показ составления задачи учителем. Затем это может проделать у доски достаточно подготовленный сильный ученик. После чего организуется работа в парах. Пары должны быть неоднородные, более сильный ученик, составив задачу, может отложить ее в сторону и поучить более слабого ученика составлению задачи. Пусть они вместе составят задачу ученику из другой пары. По окончанию работы оформляются листы, где указывается кто составил задачу и кому она предназначена для решения. Учитель собирает листы и хранит их до того момента, когда учащиеся овла- деют необходимыми навыками, чтобы решить получающиеся уравнения и завершить решение задачи.

М О Д У Л Ь 2..Усложнение задач с изменением первого этапа. Данный модуль включается в ходе изучения темы «Произведение много- членов» с той же целью: создание мотивации на необходимость овла- дения навыками преобразования многочленов. Чтобы работа с модулем стала продуктивной необходимо провести припоминание предыдущего модуля, что несложно сделать с помощью слайдов 5 и 6. В этом модуле учащиеся с помощью учителя проводят анализ уравнения и через осознанное понимание каждой части уравнения формулируют задачу. Таких задач предлагается две. Далее строится работа в парах по прежнему алгоритму: тождествоуравнениезадача. Завершается работа оформлением листов, которые хранятся у учителя. В задаче 3 необходимо провести подробный анализ уравнения, что позволит выйти на сюжетную задачу. При этом мотивация ещё более повышается. И снова работа в парах по прежнему алгоритму : тождествоуравнениезадача. Завершается работа оформлением листов. Те же плюсы воспитания и развития, что и в модуле 1.

М О Д У Л Ь 3. Задачи в общем виде с параметрами Это наиболее сложный модуль и он должен начаться с припоминания предыдущей работы, что несложно выполнить с помощью слайдов Работу с тождествами можно организовать в небольших неоднородных группах. Учащиеся должны провести глубокий анализ своего тождества и ответить на поставленный вопрос: как изменили сторону квадрата? После прослушивания ответов они работают по алгоритму тождествоуравнениезадача. Достаточно составить в каждой группе по одной задаче. Оформление листов завершает данный этап в модуле. Завершает работу над модулем задача для мозгового штурма. В зависимости от состава класса, над этой задачей можно организовать работу не со всеми учащимися, а с наиболее подготовленными. Другим же учащимся в это время предлагается работа по составлению задач по любому из тождеств Желающим предлагается в качестве домашнего задания составить подобную задачу для своего одноклассника.