ТЕСТ ПО ТЕМЕ « ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ » ГИА-ИНФОРМАТИКА

Теория Высказывание Высказывание - это предложение, о котором имеет смыл утверждать, истинно оно или ложно. Если высказывание истинно, то оно принимает значение 1, а если ложно, то значение 0. Высказывания могут быть простыми и составными. Составные высказывания характе - ризуются тем, что образованы из нескольких простых. Задание : Пример : Из сложного высказывания выделите простые и обозначьте их буквами : « Есть мера вещей и существуют известные границы » ( афоризм Горация ). Решение : А = « Есть мера вещей », В = « существуют известные границы ». Высказывания обозначаются прописными латинскими буквами, а их истинность или лож - ность соответственно А =1 или А =0. Конструирование составных высказываний осуществляется при помощи связок : СвязкиОбозначение Название соответствующих операций Нет ; не ; неверно, что ….. ¬, (¯)отрицание И ; а ; но &, ( Λ) конъюнкция Или ; либо V дизъюнкция Следует ; влечёт ; если ….., то …..; тогда ; вытекает …. импликация Эквивалентно ; равносильно ; тогда и только тогда ; в том и только том случае ; если и только если ~()эквивалентность

Логические операции над высказываниями Логическая операция Логическая операция – это способ построения сложного высказывания из данных высказы - ваний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний. 1. Логическое отрицание ( инверсия ) 1. Логическое отрицание ( инверсия ) образуется из высказывания с помощью добавления частицы « не » к сказуемому или использования оборота речи « неверно, что …». Обозначается : не А, ¬ А,, not A, А. 2. Логическое умножение ( конъюнкция ) 3. Логическое сложение ( дизъюнкция ) 2. Логическое умножение ( конъюнкция ) 3. Логическое сложение ( дизъюнкция ) образу - образуется соединением двух высказы - ется соединением двух высказываний в одно ваний в одно с помощью союза « и ». с помощью союза « или ». Обозначается : А и В, А Λ В, А & В, А and B, А · В. Обозначается : А или В, А V В, А + В, А or B,А I В. Операция «И» АВА и В АĀ Операция «ИЛИ» АВА или В

Логические операции над высказываниями 4. Логическое следование ( импликация ) 4. Логическое следование ( импликация ) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи « если …., то …..». Обозначается : А B, А В. 5. Логическое равенство ( эквиваленция ) 5. Логическое равенство ( эквиваленция ) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи « тогда и только тогда, когда …..» Обозначается : А ~ B, А В, А = В. Операция «Следствие» АВИз А следует В Операция «Равенство» АВА равно В

Свойства логических операций ( законы логики ) 1. Закон двойного отрицания : ¬¬ А = А. 2. Идемпотентность операций Λ и V: А Λ А = А ; А V А = А 3. Коммутативность операций Λ и V: А Λ В = В Λ А ; А V В = В V А Ассоциативность операций Λ и V: А Λ ( В V С )= ( А Λ В ) Λ С А V ( В V С )=( А V В ) V С 4. Дистрибутивные законы операций Λ и V: А Λ ( В Λ С )= ( А Λ В ) V ( А Λ С ) А V ( В Λ С )=( А V В ) Λ ( А V С ) 5. Закон поглощения : А Λ ( А V В )= А ; А V ( А Λ В )= А 6. Закон де Моргана : ¬( А Λ В )= ¬ А V ¬ В ; ¬ ( А V В )= ¬ А Λ ¬ В 7. Закон исключённого третьего : А V Ā =1 8. Закон противоречия : А Λ Ā =0 9. Свойства тавтологии и противоречия : А V 1=1 А Λ 1= А А V 0= А А Λ 0=0 ¬1=0 ¬0=1 10. Закон контрапозиции : А В = ¬ В ¬ А 11. Правило исключения импликации : А В = ¬ А V В 12. Правило исключения эквиваленции : А В = ( А В ) Λ ( В А )

Примеры : 1. Для какого имени истинно высказывание « Первая буква согласная Λ Вторая буква согласная »? 1) Кирилл 2) Ксения 3) Павел 4) Михаил Решение : Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Т. е. из представленных имен нужно выбрать то, в котором первая и вторая буквы согласные. Таким именем является Ксения. Ответ : Для какого высказывания Х истинно высказывание ( Х >3) Λ (X3X3) Λ (X

Примеры : 4. Три свидетеля дорожного происшествия сообщили сведения о скрывшемся нарушителе. Боб утверждает, что тот был на синем « Рено ». Джон сказал, что нарушитель уехал на чёрной « Тойоте », а Сэм показал, что машина была точно не синяя и, по всей видимости, это был « Форд ». Когда удалось отыскать машину, выяснилось, что каждый из свидетелей точно определил только один из параметров автомобиля, а в другом ошибся. Какая и какого цвета была машина у нарушителя ? Решение : Обозначим высказывания : S – синяя, C – чёрная, R – Рено, Т – Тойота, F – Форд. Согласно условию : Боб : S V R, Джон : C V T, Сэм :. Следовательно истинна и конъюнкция (S V R) Λ (C V T) Λ ( )=1 Раскрываем скобки : (S V R) Λ (C V T) Λ ( )=(SC V S Т V R С V R Т ) Λ ( )= = = Ответ : « Рено » чёрного цвета. 5. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов : Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе. Известно, что : 1) Смит самый высокий ; 2) играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте ; 3) играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу ; 4) когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их ; 5) Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое. На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами ?

Примеры : Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание. Так как музыкантов тр o е, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на инструментах, которыми остальные не владеют. Из условия 4 следует, что Смит не играет ни на альте, ни на трубе, а из условий 3 и 5, что Браун не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и гобое. Следовательно, инструменты Брауна альт и кларнет. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов " альт " и " кларнет " заполним знаком «+»: Из таблицы видно, что на трубе может играть только Вессон. Из условий 1 и 2 следует, что Смит не скрипач. Так как на скрипке не играет ни Браун, ни Смит, то скрипачом является Вессон. Оба инструмента, на которых играет Вессон, СкрипкаАльтФлейтаКларнетГабойТруба Браун Смит -- Вессон

Примеры : теперь определены, поэтому остальные клетки строки " Вессон " можно заполнить минусами : Из таблицы видно, что играть на флейте и на гобое может только Смит. Ответ : Браун играет на альте и кларнете, Смит на флейте и гобое, Вессон на скрипке и трубе. СкрипкаАльтФлейтаКларнетГабойТруба Браун Смит --- Вессон СкрипкаАльтФлейтаКларнетГабойТрубаБраун Смит Вессон

Примеры : 6. Для составления цепочек разрешается использовать бусины четырех типов, обозна - ченные буквами У, М, К, И. Каждая цепочка должна состоять из трех бусин, при этом должны соблюдаться правила : любая цепочка заканчивается гласной буквой, после согласной буквы не может идти буква У, а после гласной К, на первом месте не может быть К или М. Какая из цепочек построена по этим правилам ? 1) МКУ 2) ИКИ 3) УМИ 4) КУУ Решение : Здесь правила есть логические высказывания. Требуется определить, какая из цепочек символов удовлетворяет всем высказываниям. Для каждого из ответов проверим истинность высказываний : Ответ : Все высказывания истинны только для ответа 3. Ответылюбая цепочка заканчивается гласной буквой после согласной буквы не может идти буква У, а после гласной К на первом месте не может быть К или М 1) МКУДаНет 2) ИКИДаНетДа 3) УМИДа 4) КУУДаНет

Выберите номер варианта

Вариант 1 1.Для какого имени истинно высказывание: Первая буква гласная И Последняя буква согласная ? 1) Никита 2)Константин 3) Антон 4) Илья 2. Для какого из указанных чисел Х истинно выражение: НЕ (Х7) И (Х

Вариант 2 1.Для какого имени ложно высказывание: Вторая буква согласная ИЛИ Последняя буква гласная: 1)Алёна 2) Тимур 3) Софья 4) Платон 2. Для какого из указанных чисел Х ложно выражение: ( Х >6 ) ИЛИ НЕ ( Х 4 ) ? 1)7 2)6 3)5 4) 4 3. На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Один путешественник приехал на остров, чтобы найти рыцаря. По дороге он встретил двух местных жителей – Василия и Ивана. Василий сказал: «Мы оба лжецы». Иван сказал: «Я – рыцарь, а Василий – лжец». Помогите определить приезжему,кто из островитян рыцарь, а кто лжец. В ответе укажите первые буквы слов «лжец» и «рыцарь», соответствующие именам жителей в указанном порядке имён. Например, последовательность РЛ означает, что Василий – рыцарь, а Иван – лжец.

Вариант 3 1.Для какого из перечисленных ниже названий стран истинно высказывание: Первая буква согласная И Третья буква согласная И Последняя буква гласная? 1) Люксембург 2) Бельгия 3) Австрия 4) Греция 2. Для какого из указанных чисел Х истинно выражение: НЕ ( ( Х >12 ) ИЛИ ( Х -5 ) )? 1)-6 2) -5 3) 12 4) Трое друзей – Илья, Костя и Серёжа – принимали участие в олимпиаде по программированию, и один из них занял первое место. Когда ребята пришли в школу, учительница спросила, кто из них победил. Илья сказал: « Это я победил, а не Костя или Серёжа ». Костя сказал: « Это Серёжа победил, а Илья всегда лжёт ». Серёжа сказал: « Победил не Костя, а Илья всегда говорит правду ». Учительница знает, что один из ребят всегда говорит правду, другой – всегда лжёт, а третий говорит через раз то ложь, то правду, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Учительница догадалась, кто из ребят победил. Укажите первую букву имени мальчика, который победил в олимпиаде.

Вариант 4 1.Для какого из перечисленных ниже названий стран ложно высказывание: Первая буква гласная ИЛИ Вторая буква согласная ИЛИ Последняя буква гласная? 1)Кипр 2) Италия 3) Мальта 4) Франция 2. Для какого из указанных чисел Х ложно выражение: НЕ ( ( Х

Вариант 5 1.Для какого из перечисленных ниже названий животных ложно высказывание: (Последняя буква гласная ИЛИ Вторая буква согласная) И Третья буква гласная ? 1)адакс 2)ехидна 3) енот 4) белка 2. Для какого из указанных чисел Х истинно выражение: ( НЕ ( Х >-1 ) И ( Х 3 ) ) ИЛИ (Х>9) ? 1)-1 2) 5 3) 3 4) 9 3. Адамсону, Джеффу и Хоггарту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Кроме того, ещё один подозреваемый пока не был найден. На следствии Адамсон показал, что видел подозрительного рыжеволосого (Р) человека высоко (В) роста. Джефф утверждал, что это был низкорослый (Н) черноволосый (Ч) человек. Хоггарт сказал, что это был среднего (С) роста человек и ни в коем случае не рыжеволосый. Стало известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только рост человека, либо цвет его волос. Какого цвета волосы у четвёртого подозреваемого и каков его рост? В ответе укажите первые буквы цвета волос и роста, например, РВ означает, что человек был рыжеволосый высокого роста.

Вариант 6 1.Для какого из перечисленных ниже названий животных ложно высказывание: (Первая буква согласная И Вторая буква гласная) ИЛИ Третья буква согласная ? 1)василиск 2)ирбис 3) коала 4) тритон 2. Для какого из указанных чисел Х ложно выражение: НЕ (( Х >-4 ) ИЛИ ( Х 12 ) ) ИЛИ (Х 17) ? 1)-4 2) 12 3) 17 4)20 3. Одли, Бекеру и Милтону предъявлено обвинение в соучастии в ограблении ювелирного магазина. Известно, что кроме них в ограблении принимала участие девушка, одетая в куртку красного или синего цвета. На следствии Одли показал, что видел блондинку (Б) в красной (К) куртке. Бекер утверждал, что девушка была не в синей ( не С) куртке и однозначно не шатенка (не Ш). Милтон сказал, что девушка была рыжая (Р), но однозначно не в красной (не К) куртке. Стало известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только цвет одежды, либо цвет волос. Какого цвета волосы у девушки и какого цвета одежда? В ответе укажите первые буквы цвета волос и одежды, например БК означает, что девушка – блондинка, была одета в красную куртку.

Вариант 7 1.Для каких из перечисленных ниже значений Х и Y истинно высказывание: 3+Х = y V 25 - y = 4 X V 3 Х – 2y= - 2 ? (Здесь для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ « V ») 1)Х=4; Y =5 2)Х=5; Y =9 3) Х=12; Y =17 4) Х=4; Y =5 2. A, B, C – целые числа, для которых истинно высказывание ( C < B ) Λ (( C A ) Λ ( C < A + B ).Чему равно наибольшее возможное значение С, если А=6, В=5?(Здесь для обозначения логической операции «И» используется символ «Λ»)? 3. В многоэтажном доме на 1,2,3 и 4 этажах живут друзья и одной школы: Саша, аркадий, Павел и Дима. Известно, что один из них учится в 10А классе, другой – в 10Б, третий – в 10В, а четвёртый – в 10Д, но неизвестно, кто в каком, и неизвестно, кто на каком этаже живёт. Однако известно, что: 1) тот, кто учится в 10А, живёт ниже того, кто учится в 10Б; 2) тот, кто учится в 10В, живёт выше того, кто учится в 10Д; 3) тот, кто учится в 10Д, живёт либо одним этажом ниже, либо одним этажом выше того, кто учится в 10Б; 4) тот, кто учится в 10А, живёт через один этаж от того, кто учится в 10Б; 5) Павел живёт выше того, кто учится в 10Д; 6) Дима не является учеником 10А класса; 7) Аркадий живёт либо одним этажом ниже, либо одним этажом выше того, кто учится в 10Б; 8) Павел живёт ниже Аркадия. Выясните, кто из ребят в каком классе учится и на каком этаже живёт, и дайте ответ в виде прописных букв имён ребят в порядке их проживания с первого по четвёртый этаж. Например, ответ САПД означает, что на первом живёт Саша, на втором – Аркадий, на третьем – Павел, а на четвёртом – Дима.

Вариант 8 1. Для каких из перечисленных ниже значений x и y истинно высказывание : 53-3 х = у V 13 – 2 х =3 у V 24- у =2 х ( Здесь для обозначения логической операции « ИЛИ » используется символ « ˅ ».) 1) х = 14; у = 5 2) х = 13; у = -4 3) х = -1; у = 26 4) х = -15; у = А, В, С – целые числа, для которых исинно высказывание ( С > В ) V ( ( С > А – В ) Λ ( С – А ) ). Чему равно наименьше возможное значение С, если А = 2, В = 8? ( Здесь для обозначения логической операции « ИЛИ » используется символ «V», а для логической операции « И »– символ « Λ ».) 3. В танцевальном конкурсе принимают участие 4 пары танцоров : Миша и Маша ( ММ ), Володя и Вера ( ВВ ), Боря и Белла ( ББ ), Лёша и Лола ( ЛЛ ). Каждая из пар должна выступать в красных, синих, жёлтых или зелёных костюмах. Пара в синих костюмах должна выступать между парой в красных костюмах и парой ЛЛ, при этом между парой в красных костюмах и парой ЛЛ только одно выступление. Пара в жёлтых костюмах не будет выступать первой или последней. Пара ЛЛ не будет выступать в зелёных костюмах. Пара в синем костюме будет выступать после пары ММ, но раньше пары ББ. Выясните, какая пара будет выступать в каком костюме. В ответе укажите первые буквы имён пар в том порядке, в котором они будут выступать. ( Например, ММВВББЛЛ значит, что Миша и Маша будут выступать первыми, Володя и Вера – вторыми, Боря и Белла – третьими, Лёша и Лола – четвёртыми.)

Вариант 9 1. Найдите значение х для которого истинно высказывание : ( 2 х + 3 = 7 V 4 х + 15 = 3 ) Λ х =21 ? ( Здесь для обозначения логической операции « ИЛИ » используется символ «V», а для логической операции « И » - символ « Λ ».) 2. Укажите значение логических переменных А, В и С, при которых логическое выражение ¬ ( А V С ) V В V С ложно. Ответ запишите в виде строки из 3- х символов – значений переменных А, В, С ( в казанном порядке ). Например, строка 001 соответствует тому, что А =0, В =0, С =1. ( Здесь для обозначения логической операции « ИЛИ » используется символ «V, а для логической операции « И » - символ « Λ ». Логические переменные могут принимать только одно из 2- х значений : «0» или «1».) 3. Четверо ребят – Миша, Рома, Антон, Гриша – пошли на день рождения к Егору. Они знают, что Егор собирает модели машинок, и у него в коллекции нет моделей машин Мерседес, Тойота, Форд и Шевроле. Чтобы все подарки были разные, они заранее договорились о следующем : а ) если Миша дарит модель Мерседеса, то Рома подарит модель Тойоты ; б ) если Антон подарит модель Форда, то Гриша подарит модель Мерседеса ; в ) если Миша подарит модель Шевроле, то Рома подарит модель Мерседеса. Известно, что Миша не подарил модель Тойоты, а Рома не подарил модель Шевроле. Антон подарил или модель Тойоты, или модель Форда, А Гриша подарил или модель Шевроле, или модель Мерседеса. Определите, кто из ребят подарил какую модель машины, если все договорённости были соблюдены. В ответе запишите первые буквы имён ребят в порядке следования подаренных ими моделей : Тойоты, Шевроле, Форда, Мерседеса.

Вариант Найдите значение х для которого истинное высказывание : ( х = 6 Λ 4 х - 10 = 6 ) V х = -19? ( Здесь для обозначения логической операции « ИЛИ » используется символ «V», а для логической операции « И » - символ « Λ ».) 2. Укажите значение логических переменных А, В и С, при которых логическое выражение А Λ С Λ ¬( ВΛС ), истинно. Ответ запишите в виде строки из 3- х символов – значений переменных А, В, С ( в казанном порядке ). Например, строка 001 соответствует тому, что А =0, В =0, С =1. ( Здесь для обозначения логической операции « ИЛИ » используется символ «V, а для логической операции « И » - символ « Λ ». Логические переменные могут принимать только одно из 2- х значений : «0» или «1».) 3. Ученики одного из классов решили посетить на каникулах ( с понедельника по пятницу ) театр ( Т ), ледовый каток ( Л ), кинотеатр ( К ), музей ( М ) и бассейн ( Б ). Некоторые из ребят высказали свои пожелания о том, в какой день недели какое мероприятие провести. Гриша пожелал в один из дней пойти в кинотеатр, а на следующий день – на каток, но только не в пятницу. Катя – в музей пойти или в понедельник или в среду, а Максим – в бассейн пойти или в понедельник или в пятницу. Составить последовательность посещения ребятами запланированных мероприятий, удовлетворяющую всем пожеланиям. В ответе укажите последовательность первых букв соответствующих мероприятий в порядке их посещения с понедельника по пятницу.

Ответы : варианта варианта задания задания ЛЛ 234 ЛР 323 С 411 КНПФ 541 ЧВ 644 БС 744 СДПА 83-5 ММВВЛЛББ АГМР МТКЛБ