Авторы: Равичев Л.В., Ломакина И.А. Кафедра менеджмента и маркетинга РХТУ им. Д.И.Менделеева. Москва – 2007 СТАТИСТИКА. Лекция 1. Абсолютные, относительные и средние величины. Мода и медиана. Описательная статистика.

Абсолютные величины Абсолютные величины характеризуют численность совокуп- ности и объём изучаемого явления в определенных границах времени и места. Абсолютная величина Объём явления за определённый период времени Объём явления на определённую дату 2

Относительные величины Относительная величина представляет собой результат сопос- тавления двух статистических показателей и даёт цифровую ме- ру их соотношения. Относительная величина Результат соотношения разноимённых статистических показателей Результат соотношения одноимённых статистических показателей 3

Относительные величины одноимённых статистических показателей в экономике 4 1. Относительные величины динамики характеризует измене- ние явления во времени. Они показывают во сколько раз изме- нится объём явления за определённый период времени, т.е. тем- пы роста. Темпы роста с переменной базой (цепные темпы роста): Темпы роста с постоянной базой (базисные темпы роста):

Относительные величины одноимённых статистических показателей в экономике 5 Пример. Имеются следующие данные о стоимости основного капитала по фирме: предприятия входящего в фирму Стоимость основного капитала, тыс. руб. на 1 января 1999 г. на 1 января 2000 г. на 1 января 2001 г Определить показатели динамики стоимости основного капитала фирмы. Решение: на 1 января 1999 г. – y 1 = = на 1 января 2000 г. – y 2 = = на 1 января 2001 г. – y 3 = = ) Темпы роста с переменной базой: 2) Темпы роста с постоянной базой (за постоянную базу принимаем данные на г.) :

Относительные величины одноимённых статистических показателей в экономике 6 2. Относительная величина структуры (удельный вес): 3. Относительная величина координации:

Относительные величины одноимённых статистических показателей в экономике 7 4. Относительная величина наглядности (сравнения):

Относительные величины разноимённых статистических показателей в экономике 8 Эта группа статистических показателей носит название отно- сительных величин интенсивности. Относительная величина интенсивности показывает сте- пень распространённости данного явления в изучаемой среде и образуется в результате сравнения разноименных, но опреде- лённым образом связанных между собой абсолютных величин.

Категории средних Степенные средние Средняя арифметическая Средняя геометрическая Средняя гармоническая Средняя квадратическая Структурные средние Средняя хронологическая Мода Медиана 9

Степенная средняя случайной величины 10 Для степенной средней определяющей функцией является урав- нение: откуда где k может принимать значения -1; 1; 2.

Среднее арифметическое значение случайной величины (k=1) Средним арифметичским значением дискретной случайной ве- личины называют сумму произведений всех ее возможных зна- чений на их вероятности. Если x имеет конечное число значений x i, которые встречаются f i раз то среднее значение x вычисляют по формуле: В самом простом случае, когда значения x i встречаются только по одному разу, формула упрощается и принимает вид: 11

Среднее арифметическое значение случайной величины (k=1) Среднее средних значений Если большое количество данных разбито на k групп, для кото- рых подсчитаны групповые средние значения, то чтобы подсчи- тать общее среднее Х нужно умножить групповые средние x ар1, x ар2,…,x арk на соответствующее количество данных в груп- пах n 1, n 2,…n k и сложить эти произведения, а затем разделить сумму на общее количество данных. 12

Среднее значение суммы случайных величин Среднее значение суммы случайных величин равно сумме средних значений случайных величин. Так, для двух наборов случайных величин Х 1, Х 2,…, Х k и Y 1, Y 2,.…, Y n, с соответству- ющими вероятностями появления p 1, p 2,…, p k и q 1, q 2,.…, q n, рас- четная формула имеет вид: В случае большего количества наборов случайных величин фор- мула имеет аналогичный вид: 13

Среднее значение произведения случайных величин Среднее значение произведения взаимно независимых случай- ных величин равно произведению средних значений случайных величин. Так, для двух наборов независимых случайных величин Х 1, Х 2,…, Х k и Y 1, Y 2,.…, Y n, с соответствующими вероятностя- ми появления p 1, p 2,…, p k и q 1, q 2,.…, q n, расчетная формула име- ет вид: 14

Среднее гармоническое значение случайных величин (k= -1) Если случайная величина x имеет конечное число значений x i, которые встречаются f i раз, то среднее гармоническое: В самом простом случае, когда все f i одинаковые. 15

Среднее квадратическое значение случайных величин (k=2) Если случайная величина x имеет конечное число значений x i, которые встречаются f i раз, то среднее квадратическое: В самом простом случае, когда f i =1: 16

Среднее геометрическое значение случайных величин Если случайная величина x имеет конечное число значений x i, которые встречаются f i раз, то среднее геометрическое значение x вычисляют по формуле: В самом простом случае, когда значения x i встречаются только по одному разу, формула упрощается и принимает вид: 17

Среднее геометрическое значение случайных величин Пример. Перевозка грузов по автотранспортному предприятию такова: Определить среднемесячный темп роста объёма грузовых пере- возок. Решение: Коэффициенты роста объёма грузовых перевозок: Среднемесячный коэффициент роста определяется по формуле средней геометрической: или 106,6% (средний темп роста). ЯнварьФевральМарт 37,0 Перевезено грузов, тыс. т 40,542,0 18

Если случайные величины y 1, y 2,…, y n представляют собой мо- ментальный динамический ряд, то средний уровень такого ряда оценивается по формуле средней хронологической взвешенной: Где - средний уровень ряда; y i – уровни динамического ряда; - время, в течение которого данный уровень ряда оста- вался неизменным. Средняя хронологическая случайных величин 19

Пример 1. На 1 января 2001 года число сотрудников компании «Бест» состав-- ляло 551 человек, 2 января уволился 1 сотрудник, 6 января было принято на ра- боту 24 человека, 16 января было принято 6 человек, 25 января уволилось 10 со- трудников. Найти среднее значение числа сотрудников компании в январе 2001 года. Средняя хронологическая случайных величин 20 Численность сотрудников компании «Бест», чел. (y) Число календарных дней, в течение которых данная численность сотрудников оставалась без изменения ( t) y t ИТОГО

Пример 2. Определить на сколько рублей и на сколько процентов различают- ся средние остатки по вкладам за первый квартал, если на 1 января 2002 года остаток по первому вкладу составлял 500 руб., по второму вкладу – 700 руб. В течение первого квартала имели место следующие изменения величины остат- ков вкладов (руб.): Средняя хронологическая случайных величин 21 Вклады Дата изменения размера вклада

Средняя хронологическая случайных величин 22 Периоды Число дней в периоде ( t) y t Размер вклада (руб.) Итого Вклад 1 Периоды Число дней в периоде ( t) y t Размер вклада (руб.) Итого Вклад 2

В случае, если характер изменения уровней ряда в рассматрива- емые периоды неизвестен, и уровни ряда отстоят друг от друга на неравные промежутки времени, то средняя хронологическая взвешенная вычисляется по формуле: Средняя хронологическая случайных величин 23

Пример. Средняя численность работников предприятий розничной торговли Российской Федерации характеризуется следующими данными: Средняя хронологическая случайных величин 24 Годы Средняя численность работающих в розничной торговле, тыс. чел

В случае, если промежутки времени между датами, на которые имеются данные одинаковы, и при равномерном изменении раз- мера показателя между датами средняя хронологическая ряда вычисляется по формуле: где y 1 и y n – начальный и конечный уровни ряда, n – число дат. Средняя хронологическая случайных величин 25

Пример 1. Товарные запасы ОАО «Золотой век» на конец года представлены в следующей таблице: Среднегодовой запас товаров ОАО «Золотой век» за пятилетний период соста- вил: Средняя хронологическая случайных величин 26 Годы Товарные запасы, тыс. руб

Пример 2. Имеются следующие данные о стоимости имущества предприятия (млн. руб.): Средняя хронологическая случайных величин 27 Год Отчётные данные = 87,375-67=20,375 К 2001/1999 = 87,375/67=1,304 (или увеличилась на 30,4%) = 87,375-74,25=13,125 К 2001/2000 = 87,375/74,25=1,177 (или увеличилась на 17,7%) Определить абсолютное и относительное изменение среднегодовой стоимости имущества предприятия в 2001 г. по сравнению с 1999 и 2000 гг.

Модой называется значение признака, которое наиболее часто встречается в совокупности (в статистическом ряду). Мода Нахождение модальной величины в дискретном ряду. Пример 1. Обувной фабрикой проведено выборочное исследование потребляемой женщинами обуви, результаты которого приведены в таблице: Размер обуви Количество женщин Мода этого ряда

Мода 29 Пример 2. Проведена малая выборка из партии электрических лампочек для определения продолжительности их службы. Результаты выборки приведены в таблице: лампочки Срок горения, час Мода этого ряда Ранжированный ряд:

Мода Нахождение модальной величины в интервальном вариаци- онном ряду. где: х mo - нижняя граница модального интервала; i – разность между верхней и нижней границей модального интервала; f 1 – частота интервала, предшествующая модальному; f 2 – частота модального интервала; f 3 – частота интервала, следующего за модальным.

Мода 31 Пример. В таблице приведены данные о торговой площади магазинов: Торговая площадь магазинов, м 2 До 100 Число магазинов 3 От 100 до От 120 до От 140 до От 160 до 1808 Свыше 1801 ИТОГО60 Необходимо рассчитать моду из интервального ряда.

Медиана 32 Медианой называется серединная варианта упорядоченного вариационного ряда, расположенного в возрастающем или убывающем порядке (ранжированный вариационный ряд). 1.Нахождение медианы в дискретном ранжированном вариа ционном ряду. Пример. а) дан нечетный ранжированный вариационный ряд роста студенток: б) дан четный ранжированный вариационный ряд роста студенток: М е =161; место медианы N me =(n+1)/2=

Медиана Нахождение медианы интервального ряда. где: x o – нижняя граница медианного интервала; i – величина медианного интервала; f i – частоты интервального ряда; S m-1 – сумма накопленных частот в интервалах предшествующих медианному; f m – частота медианного интервала.

Медиана 34 Пример. В таблице даны группы семей по среднемесячному доходу на 1 чело- века. Требуется для приведенного интервального ряда определить серединное значение, т.е. медиану. Группы семей по среднемесячному доходу на 1 человека, руб. До 900 Число семей 10 От 900 до От 1200 до От 1500 до Свыше ИТОГО100 Следовательно, 50% семей имеют доход на одного человека

Медиана 35 Пример. Филиалы торговой фирмы «Элегант» расположены на расстоянии 10, 30,70, 90, 100 км от неё. Где построить склад фирмы для оптимального снабже- ния филиалов (минимум пробега автомобильного транспорта): Свойство медианы:сумма абсолютных величин линейных отклонений от М е минимальна. Расстояние, км 10 x – x ИТОГО | x – x|=170 x – M e |x- M e |=150

Квартили 36 Более общая постановка вариант, занимающих определённое место в ранжированном ряду, называется порядковой статис- тикой. Квартиль – значения признака, которые делят ранжированный ряд на четыре равные по численности части. Таких величин будет три: первая квартиль (Q 1 ), вторая квартиль (Q 2 ), третья квартиль (Q 3 ). Вторая квартиль является медианой. Место квартили:

Квартили 37 Нижний квартиль: Верхний квартиль: где: x o – нижняя граница квартильных интервалов; i – величи- на интервала; f i – частоты интервального ряда; S Q1 – сумма накопленных частот в интервалах предшествующих нижнему квартилю; S Q3 – сумма накопленных частот в интервалах предшествующих верхнему квартилю; f Q1, f Q3 – частота квартильного интервала.

Квартили 3838 Пример. Дан интервальный ряд распределения 50 учащихся по росту: Рост, см Накопленные частоты Число учащихся Всего-50 Определить нижний и верхний квартиль.

Квартили 39 Место нижнего квартиля: Место медианы ранжированного интервального ряда: Место верхнего квартиля:

Квартили 40 Рост, см Накопленные частоты Число учащихся Всего-50 Нижний квартильный интервал Верхний квартильный интервал

Квартили 41 Нижний квартиль: Верхний квартиль: