"Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук". Л. Кэрролл Учитель ЛЕДОВСКИЙ А.Н.,гоу сош 1226 г.Москва

Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве,подобно тому,как многоугольники – простейшие фигуры на плоскости.Эта тема имеет яркие приложения,в том числе,в живописи,архитектуре.Кроме этого, в ней, по образному выражению академика А.Д.Александрова,сочетаются « лед и пламень «,то есть живое воображение и строгая логика. Особый интерес к правильным многогранникам связан с красотой и совершенством формы.Они довольно часто встречаются в природе.Достаточно вспомнить форму снежинок,граней кристаллов,ячеек в пчелиных сотах.Из правильных многоугольников можно склеивать не только плоские фигуры,но и пространственные.Многие из нас склеивали новогодние игрушки из открыток или яркой бумаги в форме правильных многогранников. Правильных многоугольников на плоскости бесконечно много. А сколько существует правильных многогранников?.Как они определяются ? Как можно сделать правильный многогранник,например,из бумаги,возможно ли это,какими свойствами они обладают,где встречаются,имеют ли практическое применение? Поиском ответов на эти вопросы и является данная работа.

Многогранник – это такое тело,поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.Многогранник – это такое тело,поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности многогранника называется гранью, стороны граней называются ребрами, а углы – вершинами многогранника.

Выпуклый многогранник называется правильным,если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и тоже число ребер.Выпуклый многогранник называется правильным,если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и тоже число ребер.

Правильные многогранники с древних времен привлекли к себе внимание ученых,архитекторов,ху- дожников.Их поражала красота,совершенство,гар- мония этих многогранников.Пифагорей- цы считали эти многогранники божественными и использовали их в своих философских сочинениях о существе мира.Правильные многогранники с древних времен привлекли к себе внимание ученых,архитекторов,ху- дожников.Их поражала красота,совершенство,гар- мония этих многогранников.Пифагорей- цы считали эти многогранники божественными и использовали их в своих философских сочинениях о существе мира.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства. Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики- это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов,это символ здравия и тайный опознавательный знак. Мефистофель:Нет, трудновато выйти мне теперь, Тут кое-что мешает мне немного: Волшебный знак у вашего порога Фауст:Не пентаграмма ль этому виной? Но как же, бес, пробрался ты за мной? Каким путем впросак попался? Мефистофель:Изволили ее вы плохо начертить, И промежуток в уголку остался, Там, у дверей, - и я свободно мог вскочить. И.Гете «Фауст»

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции и в них указано число граней. «эдра» - грань «эдра» - грань «тетра» - четыре «гекса» - шесть «гекса» - шесть «окта» - восемь « додека « - двенадцать «икоса» - двадцать

тетраэдр Кубгексаэдр октаэдр додекаэдр икосаэдр

Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий ученый Платон.Именно поэтому правильные многогранники называются

Это интересно! Правильные многогранники в философской картине мира Платона. Платон считал, что мир состоит из четырех стихий - огня, земли, воздуха и воды. Тетраэдр олицетворяет огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю; а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твердым, жидким, газообразным и плазматическим. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Платон считал,что эти тела олицетворяют сущность мира. Платон считал,что эти тела олицетворяют сущность мира.

Для справки: Платóн (Πλάτων), род. 428 или 427 до н.э., Афины ум. 348 или 347, Афины. Древнегреческий философ. В Афинах основал собственную школу академию. Считая, что знание математики необходимо каждому образованному человеку, ввёл математику в число предметов преподавания; обращал особое внимание на определения математических объектов. Платон один из основателей логического метода рассуждения от противного (обосновал метод доказательства приведения к абсурду). Ввёл термины «анализ» и «синтез». Большое внимание в школе Платон уделялось геометрическим задачам на построение с помощью циркуля и линейки.

Это треугольная пирамида,гранями которой являются правильные треугольники. В каждой ее вершине сходится по три грани. Тетраэдр в переводе с греческого означает четырехгранник.

Это интересно! Как правильно изобразить тетраэдр? Шаг 1. Изобразить в плоскости произвольный треугольник АВС Шаг 2. Найти центр описанной около треугольника окружности (точка S пересечения медиан) Шаг 3. Построить высоту тетраэдра DS Шаг 4. Соединить точку D с вершинами треугольника АВС

Тела в микромире, имеющие форму тетраэдра: Вода, лед Н 2 О Молекула метана СН 4 Молекула аммиака NН 3 Алмаз С Флюорит СаF 2 Сфалерит ZnS

Куб – правильный многогранник,каждая грань которого представляет собой квадрат. При каждой его вершине сходятся три грани.

Куб в микромире В микромире в форме куба кристаллизуется поваренная соль, сернистый цинк и другие вещества.

Многогранник,граням и которого являются правильные треугольники и поверхность состоит из восьми правильных треугольников называется октаэдром. В каждой вершине сходится четыре грани.

Октаэдр в микромире В микромире в форме октаэдра кристаллизуются алмаз, хлорид натрия, флюорит, оливин и другие вещества.

Многогранник,гранями которого являются правильные пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани называется додекаэдром. Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

Икосаэдр – это многогранник,в каждой вершине которого сходится пять правильных треугольников. Его поверхность состоит из двадцати треугольников.

Икосаэдр в микромире В микромире форму икосаэдра имеют капсиды многих вирусов (например, бактериофаги).

Это интересно! Каждый из этих многогранников можно склеить из обычного картона, взяв несколько правильных многоугольников с «клапанами» для склейки. (вставить развертки) Обозначим через Г число граней многогранника, через Р – число его ребер, а через В – число вершин. Замечательный факт был доказан в 18 веке математиком Эйлером: для любого выпуклого многогранника справедливо равенство: Г- Р+В=2. Это можно проверить на любой призме, пирамиде, правильном многограннике. Например, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Мы видим, что равенство соблюдается: 4-6+4=2. Впрочем, как было недавно обнаружено, теорема Эйлера была известна великому французскому математику Декарту, жившему раньше, а Эйлер не знал об этом и заново открыл эту теорему. К теореме Эйлера мы еще вернемся в конце нашего урока.

Исследовательская работа «Формула Эйлера»

Для справки: Эйлер Леонард ( ) Математик, механик, физик и астроном. По происхождению - швейцарец. Окончил Базельский университет (1724). Работал в России в и в годах. Адьюнкт (1726), а в и с 1766 года - академик Петербургской Академии наук. В годах - работал в Берлине, член Берлинской академии наук. Автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению и другим наукам. Создал труд "Морская наука" (1749), в котором изложил теории кораблестроения и кораблевождения. Работы Л. Эйлера оказали значительное влияние на развитие науки.

Многогранники в кристаллографии

Алмазы Кристаллы алмаза представляют собой правильные октаэдры, их ограняют так называемой бриллиантовой огранкой. В результате получают бриллианты. Сверкание бриллиантов и их многоцветие объясняется большим коэффициентом преломления света в алмазе (он равен 2,42; для сравнения: коэффициент преломления стекла равен 1,41) и многократным внутренним отражением попавшего на него света (для этого и происходит огранка). Лучик белого света, падающий на бриллиант, проходя внутрь, разлагается благодаря большому коэффициенту преломления на целый сноп лучей разных цветов – красный, оранжевый, желтый, зеленый, синий, фиолетовый. Эти монохроматические (т.е. одноцветные) лучи многократно отражаются от внутренних сторон граней бриллианта и затем выходят в большом числе направлений. Поэтому бриллианты сверкают всеми цветами радуги. Любопытно, что ученые научились искусственно выращивать кристаллы, у которых коэффициент преломления света близок к коэффициенту преломления света в алмазе. Эти кристаллы получили название «фианиты», потому что их синтезировали в ФИАНе – Физическом Институте Академии Наук СССР. Изделия из фианитов сверкают так же, как бриллианты.

Для справки: Иоганн Кеплер ( ) – немецкий астроном и математик. Один из создателей современной астрономии - открыл законы движения планет (законы Кеплера), заложил основы теории затмений, изобрел телескоп, в котором объектив и окуляр - двояковыпуклые линзы. Вклад Кеплера в теорию многогранника – это предложение рассматривать невыпуклые многогранники со звездчатыми гранями, подобными пентаграмме и последовавшее за этим открытие двух правильных невыпуклых однородных многогранников – малого звездчатого додекаэдра и большого звездчатого додекаэдра.

Многогранники в природе "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы" Э.Геккель «Красота форм в природе» Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии ( Circjgjnia icosahtdra ) по форме напоминает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По- видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. Икосаэдр и додекаэдр так же можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.

Многогранники в искусстве и архитектуре

Леонардо да Винчи Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи ( ) символ неразрывности искусства и науки, а следовательно, закономерен его интерес к таким прекрасным, симметричным объектам, как выпуклые многогранники.

Альбрехт Дюрер Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер ( )

Мориц Корнилис Эшер Голландский художник Мориц Корнилис Эшер ( )создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей. Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в его работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Наиболее интересная работа Эшера - гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры.

Сальвадор Дали На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Форму додекаэдра, по мнению древних, имела вселенная, т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра.

Звездчатые многогранники Впрочем, многогранники отнюдь не только объект научных исследований. Их формы – завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Звездчатый октаэдр Он был открыт Леонардо Да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт И.Кеплером, и назван им «Stella octangula» – звезда восьмиугольная. Отсюда октаэдр имеет и второе название «stella octangula Кеплера». У октаэдра есть только одна звездчатая форма. Её можно рассматривать как соединение двух тетраэдров.

Звездчатый додекаэдр Большой звездчатый додекаэдр принадлежит к семейству правильных невыпуклых многогранников. Грани большого звездчатого додекаэдра – пентаграммы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани. Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра.

Звездчатый икосаэдр Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено великим многообразием отсеков – частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звездчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Ученые, естественно, задумались над вопросом: сколько существует звездчатых форм икосаэдра? В 1900 году Брюкнер опубликовал классическую работу о многогранниках, в которой были представлены некоторые новые звездчатые формы икосаэдра. Открытием еще несколько форм мы обязаны Уиллеру(1924). В 1938 году систематическое и полное исследование вопроса провел Кокстер совместно с Дювалем, Флэзером, Петри. Для различения исходных форм и выделения характерных форм они применили правила ограничения, установленные Дж. Миллером. Кокстер доказал, что существует всего 59 звездчатых форм икосаэдра, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией.

Звездчатый кубооктаэдр Кубооктаэдр – полуправильный многогранник. Полуправильные многогранники называются также телами Архимеда. Он строится так: в кубе проводятся отсекающие плоскости через середину ребер, выходящих из одной вершины. Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Существует несколько видов кубооктаэдров. Третья звёздчатая форма кубооктаэдра. Этот многогранник весьма интересен по двум причинам. Во-первых, на его модели ясно заметно расположение квадратных граней: они группируются в пары таким образом, что грани каждой из них параллельны между собой и перпендикулярны к остальным подобным граням. Во-вторых, многогранник представляет собой своего рода соединение шести четырёхугольных пирамид, основаниями которых служат описанные выше квадраты, а боковые треугольные грани "вдавлены" в тело и касаются своими вершинами средних точек противоположных углублений. Завершающая звёздчатая форма кубооктаэдра. Итоговая звёздчатая форма кубооктаэдра особенно привлекает тем, что она является соединением двух тетраэдров, Кеплеровой stella octangula, итоговой звёздчатой формы октаэдра и трёх правильных четырёхугольных призм, общим пересечением которых является исходный куб.

Икосододекаэдр Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 – правильные треугольники. Первая звёздчатая форма икосододекаэдра. Этот многогранник являет собой пример соединения двух платоновых тел – додекаэдра и икосаэдра. С него начинается так называемая "основная линия" звёздчатых форм икосододекаэдра, к которой относятся многогранники, полученные добавлением к исходному телу отсеков, полностью покрывающих его поверхность. Поэтому 12 невысоких пятиугольных пирамид и 20 маленьких треугольных пирамид закрывают внутренний икосододекаэдр. Девятая звёздчатая форма икосододекаэдра. Многогранник представляет собой соединение 10 тетраэдров, на котором "тень" большого додекаэдра оставила следы в виде отверстий на дне впадин; из-за этого нутро многогранника становится видимым и доступным. Завершающая звёздчатая форма икосододекаэдра. Завершающие звёздчатые формы любых многогранников всегда вызывают особый интерес. Лучи икосододекаэдра чётко группируются в 12 заметных "короноидальных" групп. Вы без труда обнаружите в нём завершающие звёздчатые формы додекаэдра и икосаэдра. Большой звёздчатый додекаэдр лишь слегка выступает из тела многогранника маленькими трёхгранными отсеками. А пятёрки вершинных пиков завершающего звёздчатого икосаэдра образуют основу каждой «короны». Но промежутки между этими пиками заполнены другими - тонкими и длинными, а всё соединение из пиков и составляет целую «корону».

Задачи для самостоятельного решения 1.Длина ребра правильного додекаэдра равна 6 см. Определите, сколько проволоки понадобится для изготовления каркасной модели данного додекаэдра. 2.На сколько больше вершин у додекаэдра, чем у икосаэдра? 3.Найти высоту правильного тетраэдра с длиной ребра \/1,5 см. 4.Вычислите площадь полной поверхности правильного тетраэдра с длиной ребра 4\/12 дм. 5.Найдите расстояние между противоположными вершинами правильного октаэдра с длиной ребра \/2 дм. 6.Площадь полной поверхности правильного октаэдра равна 18\/3 см2. Какую длину ребра имеет этот октаэдр?

Проверь себя! Тест 1.Правильные многогранники связывают с именем: а) Архимеда б) Платона в) Кеплера г) Пуансо 2.Звездчатый октаэдр имеет: а) 2 звездчатых формы б) 59 звездчатых форм в) 1 звездчатую форму г) 3 звездчатых формы 3.Звездчатый икосаэдр имеет: а) 12 граней б) 22 грани в) 60 граней г) 20 граней 4.Какой правильный многогранник напоминает по форме феодария? а) октаэдр б) икосаэдр в) додекаэдр г) тетраэдр 5.В какой форме кристаллизуется вода? а) тетраэдр б) куб в) октаэдр г) икосаэдр

Словарь Многогранник - это тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Выпуклый многогранник – многогранник, который весь лежит по одну сторону от плоскости любой грани. Правильный многогранник – многогранник, все грани которого являются правильными многоугольниками. Платон ( до н.э.) – древнегреческий философ-идеалист. Основал в Афинах свою школу-Академию, где ввел математику в число предметов преподавания. Кеплер ( ) – немецкий астроном и математик. Открыл малый и большой звездчатые додекаэдры. Создал космологическую гипотезу, в которой связал некоторые свойства Солнечной системы со свойствами правильных многогранников. (В дальнейшем гипотеза была опровергнута). Эйлер (1707 – 1783) – математик, механик, физик и астроном. Автор множества научных трудов в различных областях науки. Связал теоремой количество граней, вершин и ребер в правильном многограннике.

«Космический кубок» Кеплера Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, к который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом он уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца. Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояние между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, не может существовать наука.

«Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли» Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Тетраэдр – многогранник с четырьмя гранями, каждая из которых является правильным треугольником. Тетраэдр имеет 4 вершины, 4 грани и 6 ребер. При каждой его вершине сходятся 3 грани. Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 о. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины. Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины. Это интересно! Как правильно изобразить тетраэдр? Шаг 1. Изобразить в плоскости произвольный треугольник АВС Шаг 2. Найти центр описанной около треугольника окружности (точка S пересечения медиан) Шаг 3. Построить высоту тетраэдра DS Шаг 4. Соединить точку D с вершинами треугольника АВС

Формулы

Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат, частный случай параллелепипеда и призмы. Иоганн Кеплер называл куб «родителем» всех многогранников. Куб имеет 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. При каждой его вершине сходятся 3 грани. Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 о. Вписанные и описанные многогранники: В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба. Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми гранях октаэдра. В куб можно вписать икосаэдр, при этом, шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.

Существует всего 5 видов правильных многогранников: Тетраэдр (четырехгранник) Куб (шестигранник) Октаэдр (восьмигранник) Додекаэдр (двенадцатигранник) Икосаэдр (двадцатигранник) Названия этих многогранников пришли из Древней Греции и в них указано число граней. «эдра» - грань «тетра» - четыре «гекса» - шесть «окта» - восемь «додека» - двенадцать «икоса» - двадцать

Формулы

Октаэдр – правильный многогранник, имеющий 8 треугольных граней, 12 рёбер и 6 вершин. В каждой вершине октаэдра сходятся 4 ребра. Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 о. Вписанные и описанные многогранники: Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра. Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба. В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми гранях октаэдра.

Формулы

Додекаэдр – правильный многогранник, составленный из правильных пятиугольников. Додекаэдр имеет 12 граней, 30 рёбер и 20 вершин. При каждой его вершине сходятся 3 грани. Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 о. Это интересно! Результаты наблюдений в августе 2006 года во время нанесения на карты областей распределения темной материи в скоплении галактик свидетельствуют о том, что Вселенная представляет собой набор бесконечно повторяющихся додекаэдров.

Формулы

Икосаэдр – правильный многогранник, состоящий из правильных треугольников, Икосаэдр имеет 20 граней, 30 рёбер и 12 вершин. В каждой вершине сходится 5 граней. Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 о. Это интересно! Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности.

Вписанные и описанные многогранники: Икосаэдр можно вписать в куб, при этом, шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра. Икосаэдр можно вписать в додекаэдр притом, вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра. В икосаэдр можно вписать додекаэдр притом, вершины додекаэдра будут совмещены с центрами граней икосаэдра.

Формулы

Свойства правильных многогранников. Вершины любого правильного многогранника лежат на сфере (что вряд ли вызовет удивление, если вспомнить, что вершины любого правильного многоугольника лежат на окружности). Помимо этой сферы, называемой «описанной сферой», имеются еще две важные сферы. Одна из них, «срединная сфера», проходит через середины всех ребер, а другая, «вписанная сфера», касается всех граней в их центрах. Все три сферы имеют общий центр, который называется центром многогранника. Дуальные многогранники Куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида),вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники.