Лекция 10 Тестирование модели на гомоскедастичность остатков Взвешенный метод наименьших квадратов 1

2 1 X Y = X Y X3X3 X5X5 X4X4 X1X1 X2X2 Наличие случайного возмущения приводит к размытости значений Y независимо от X. Для случайного возмущения предполагается выполнение ряда требований: условий теоремы Гаусса-Маркова.

3 X3X3 X5X5 X4X4 X1X1 X2X2 1 X Y = X Y Распределение u для каждого наблюдения имеет нормальное распределение и нулевое ожидание, но дисперсия распределений различна.

Условия обеспечивающие гомоскедастичность (однородность) случайных возмущений: 1. Средние значения случайных возмущений в каждом наблюдении равно нулю 2. Распределения одинаковы для всех наблюдений 4

5 Последствия нарушения условия гомоскедастичности случайных возмущений: 1. Потеря эффективности оценок коэффициентов регрессии, т.е. можно найти другие, отличные от МНК и более эффективные оценки 2. Смещенность стандартных ошибок коэффициентов в связи с некорректностью процедур их оценки

Данный тест предназначен для того, чтобы проверить гипотезу об отсутствии гетероскедастичности случайных возмущений в схеме Гаусса-Маркова 1. Случай уравнения парной регрессии Имеем спецификацию модели в виде: Y t =a 0 + a 1 x t +u t Имеем выборку в объеме n наблюдений за переменными Y t и x t для оценки параметров этой модели Задача: проверить гипотезу об отсутствии гетероскедастичности в полученной модели 6

В основе теста лежат два предположения: 1.Случайные возмущения подчиняются нормальному закону распределения 2.Стандартные ошибки случайных возмущений σ(u t ) пропорциональны значениям регрессора x t. 7

Шаг 1. Имеющаяся выборка из n наблюдений сортируется по возрастанию значений регрессора х Шаг 2. Полученная в результате сортировки выборка делится на три примерно равные части Шаг 3. Для первой и третьей частей выборки строятся модели парной регрессии, т.е. для них вычисляются оценки параметров a 0 и a 1 В результате получаются две модели парной регрессии (для каждой части общей выборки): Y 1 =ã ã 1 1 x +u 1 (10.1) Y 3 =ã ã 1 3 x +u 3 (10.2) Исходя из принятых допущений, считается, что, если ошибки случайных возмущений в «первой» и «третьей» частях выборки будут равны, то условие гомоскедостичности выполняется 8

Шаг 4. Для уравнений (10.1) и (10.2) вычисляются значения ESS 1 и ESS 3. ГдеESS=Σ(u i 2 )=Σ(y i -ã 0 -ã 1 x i ) 2 Шаг 5. Проверяется гипотеза о равенстве σ u 1 и σ u Формируется случайная переменная GQ в виде: 9 В схеме Гаусса-Маркова переменная GQ имеет закон распределения Фишера.

5.2. Вычисленное значение GQ сравнивается с критическим значением F кр (P дов,n 1,n 3 ): ЕслиGQ F кр (P дов,n 1,n 3 ) и1/GQ F кр (P дов,n 1,n 3 ), то гипотеза о гомоскедастичности случайных возмущений принимается Случай уравнения множественной регрессии. Y t =a 0 +a 1 x 1t +a 2 x 2t +a 3 x 3t +u t Сортировка проводится по величине р=|x 1 |+|x 2 |+|x 3 | Если интерес представляет конкретный регрессор, который приводит к гетероскедастичности, алгоритм повторяется для каждого регрессора в отдельности В результате обнаруживается регрессор вызывающий гетероскедастичность 10

Страна Рас- ходы ВВПСтранаРасходыВВП Люксембург0,345,67Швейцария5,31101,7 Уругвай0,2210,1С.Аравия6,4116 Сингапур0,3211,3Бельгия7,15119,5 Ирландия1,2318,9Швеция11,22124,2 Израиль1,8120,9Австралия8,66141 Венгрия1,0222,2Аргентина5,56153,9 Н.Зеландия1,2723,8Нидерланды13,41169,4 Португалия1,0724,7Мексика5,46186,3 Гонконг0,6727,6Испания4,79211,8 Чили1,2527,6Бразилия8,92249,7 Греция0,7540,2Канада18,9261,4 Финляндия2,851,6Италия15,95395,5 Норвегия4,957,7Англия29,9535 Югославия3,563Франция33,59655,3 Дания4,4566,3ФРГ38,62815 Турция1,667Япония61, Австрия4,2676,9США181, ,04140,0821 0,01230,3276 0,53090,518 11, ,03712,6835 0,0711-8,187 0,00272,4453 0,98546, , ,24 11 Государственные расходы на образование в различных странах Fкр=3.0 Применение ф-ии «ЛИНЕЙН» Модель: (по всей выборке) Y= X (10.4) Модель гетероскедастична

Случай уравнения множественной регрессии Имеем: 1. Спецификацию модели: Y t =a 0 +a 1 x 1t +a 2 x 2t +a 3 x 3t +u t (10.5) 2. Выборку наблюдений за переменными {Y,x 1,x 2,x 3 } 3. Модель по этим данным гетероскедастична 4. Известны значения σ(u t ) в каждом наблюдении Задача: преобразовать модель так, чтобы случайные возмущения были гомоскедастичны 12

Способ 1. Делится каждое уравнение наблюдений на свое σ(u t ) и получается: 13 Тогда дисперсия случайного возмущения в каждом уравнении наблюдений есть: Модель (10.6) в каждом уравнении наблюдения имеет одинаковые дисперсии случайного возмущения равные 1 Недостаток способа – оценить σ(u t ) не возможно! (10.6)

Способ 2. Предполагаем, что σ(u t )=λx kt, где x kt регрессор «вызывающий» гетероскедастичность Пусть для примера это регрессор x 2t Уравнение (10.5) делится на значение этого регрессора. Дисперсия случайного возмущения при этом есть: (10.7) λ 2 Уравнения модели (10.7) имеют постоянную дисперсию случайного возмущения равную λ 2

15 Если регрессоров, приводящих к гетероскедастичности, несколько, то делается предположение : Обе части модели (10.5) делятся на величину Σ xj Тогда дисперсия случайного возмущения полученной модели есть :

СтранаY/ВВП1/ВВПСтранаY/ВВП1/ВВП Люксембург 0,0600,1764 Швейцария 0,0520,0098 Уругвай 0,0220,0987 С.Аравия 0,0550,0086 Сингапур 0,0280,0882 Бельгия 0,0600,0084 Ирландия 0,0650,0530 Швеция 0,0900,0081 Израиль 0,0860,0478 Австралия 0,0610,0071 Венгрия 0,0460,0451 Аргентина 0,0360,0065 Н.Зеландия 0,0530,0420 Нидерланды 0,0790,0059 Португалия 0,0430,0405 Мексика 0,0290,0054 Гонконг 0,0240,0363 Испания 0,0230,0047 Чили 0,0450,0363 Бразилия 0,0360,0040 Греция 0,0190,0249 Канада 0,0720,0038 Финляндия 0,0540,0194 Италия 0,0400,0025 Норвегия 0,0850,0173 Англия 0,0560,0019 Югославия 0,0560,0159 Франция 0,0510,0015 Дания 0,0670,0151 ФРГ 0,0470,0012 Турция 0,0240,0149 Япония 0,0590,0010 Австрия 0,0550,0130 США 0,0700,0004 0,02970,0438 0,14530,0105 0,00420,021 0, E-050, ,6280,0585 2,58620,0098 0,09360,0179 1, ,00030, Применение ф-ии «ЛИНЕЙН» Относительные расходы на образование в различных странах Fкр=3.0 Модель : Y= X (10.5)

17 (10.5) (10.4) Диаграмма рассеяния и графики моделей с гетероскедастичными и гомоскедастичными случайными возмущениями.

18 2. Случай уравнения множественной регрессии Продолжим рассмотрение предыдущего примера, но в качестве дополнительного регрессора примем х 2 – численность населения Здесь : Y – расходы на образование x 1 - размер ВВП x 2 - численность населения

19 Страна Расходы на образов ание (Y) ВВП (X1) Числен ность населе ния (X2) РСтрана Расходы на образов ание (Y) ВВП (X1) Численно сть населени я (X2) Р 1Люксембург0,345,670,366,0318Турция1,6066,9744,92111,89 2Уругвай0,2210,132,2912,4219Сауд. Аравия6,40115,978,37124,34 3Сингапур0,3211,342,3913,7320Бельгия7,15119,499,86129,35 4Ирландия1,2318,883,4422,3221Швеция11,22124,158,31132,46 5Израилб1,8120,943,8724,8122Австралия8,66140,9814,62155,60 6Новая Зеландия1,2723,833,1026,9323Аргентина5,56153,8527,06180,91 7Гонконг0,6727,565,0732,6324Нидерланды13,41169,3814,14183,52 8Венгрия1,0222,1610,7132,8725Испания4,79211,7837,43249,21 9Португалия1,0724,679,9334,6026Мексика5,46186,3367,40253,73 10Чили1,2527,5711,1038,6727Канада18,90261,4123,94285,35 11Греция0,7540,159,6049,7528Бразилия8,92249,72123,03372,75 12Финляндия2,8051,624,7856,4029Италия15,95395,5257,04452,56 13Норвегия4,9057,714,0961,8030Великобритания29,90534,9755,95590,92 14Дания4,4566,325,1271,4431Франция33,59655,2953,71709,00 15Австрия4,2676,887,5184,3932ФРГ38,62815,0061,56876,56 16Югославия3,5063,0322,3485,3733Япония61,611040,45116,781157,23 17Швейцария5,31 101,6 56,37108,0234США181,302586,40227,642814,04 Исходные данные для построения модели

20 Предполагается, что дисперсию случайного возмущения можно представить в виде: где: σ 0 2 – дисперсия единицы веса λ – заданная константа, например ±0.5; ±1; ±2; Вес случайного остатка вычисляется по правилу:

Рассмотренные способы устранения гетероскедастичности носят название «Взвешенный метод наименьших квадратов». Теорема. Если в схеме Гаусса-Маркова не выполняется предпосылка о гомоскедастичности случайных возмущений, то наилучшей линейной процедурой оценки параметров модели является: 21 где: Р матрица ковариаций случайных возмущений в уравнения наблюдений:

22 Выводы : 1. Гетероскедастичность приводит к смещенности оценок параметров модели 2. Одним из способов обнаружения гетероскедастичности является тест Голдфелда - Квандта 3. Взвешенный метод наименьших квадратов позволяет получить несмещенные оценки параметров модели в условиях гетероскедастичности