Старкова Людмила Яковлевна Преподаватель математики ПУ 10 Решение показательных уравнений. Северск 2010

2 Показательными принято называть уравнения, в которых неизвестное входит только в показатели степеней с постоянными основаниями Все показательные уравнения сводятся к простейшим показательным уравнениям или уравнениям с одинаковыми основаниями в обеих частях, или с 1 в правой части уравнения. В последнем случае нет необходимости представлять 1 как степень с соответствующим основанием и нулевым показателем. Решения стандартны, а значит, не требуют воспроизведения теоретических фактов – так, например, можно не ссылаться на свойство монотонности, из которого следует обратимость показательной функции, позволяющая утверждать единственность корня уравнения. а f(x) = а g(x) где а > 0, a 1 равносильно уравнению f(x) = g(x)

3 Уровни Уровень С Уровень СУровень В Выполнять несложные преобразования выражений применяя ограниченный набор формул связанных со свойствами степеней решать нетиповые задачи с неоднократным применением изученного математического аппарата. Решать простейшие показательные уравнения вида а f(x) = а g(x) где а > 0 a 1, равносильно уравнению f(x) = g(x) разрешается пользоваться справочными материалами Уметь применять полученные знания в нетиповых ситуациях т.е. решать нетиповые учебные задачи Преобразовывать усвоенные алгоритмы в соответствии с заданной нетиповой учебной ситуацией. Уровень А

4 Справочный материал Корень n-й степени. Арифметическим корнем n –ой степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число х, n-я степень которого равна а : Свойства корней (а 0, b>0 )

5 Уровень А 1.а) 2 2х–4 = 64 2.а) 5 3х–2 = 5 10–х 3.а) 2 -х+3 = 4 4.а) – 2x = 27 2x 5.а) 2 4х+3 = b ) 7. b) 8. b) 9. b) 10. b) Приведение всех частей уравнения к одному общему основанию ответ

6 2.7 x x = x x = х+1 +5 х +5 х – 1 = 31 Вынесение общего множителя за скобки Приведение к квадратному уравнению 5.3 2х х - 5 = x – x – 4 = x x + 1 – 1 =0 8.9 x - 3 x + 1 = 56 ответ

7 a.9 х + 6 х = 2 4 х b.4 2 2х – 6 х = х c.32 х+3 3 3х х+2 = 600 х+7 d.2 х+2 – 2 х+3 +5 х-2 = 5 х+1 +2 х+4 e.2 х-1 = 8 х х-2 ответ

8 Приведение к одному основанию 1.Пример Решение: Перепишем его в виде Корнями этого уравнения являются такие числа x, для которых х 2 – 2х – 1 = 2 Приходим к квадратному уравнению х 2 – 2х – 3 = 0, корни которого, числа 3 и –1. Ответ: 3; Пример Решение: используем формулу а х b x = (ab) x x = 3. Ответ: 3 3.Пример 4 х = 5 Решение: x = log 4 5 Ответ: log Пример 3 х = – 4 Решение: Решений нет т. к. 3 х > 0. Ответ: х 5.Пример 27 х = 9 Решение: представим 27 как 3 3, а 9 как 3 2 получим уравнение 3 3х = 3 2 3х = 2 Ответ: Уровень А

9 1.Пример 7 2х – 87 х + 7 =0 Решение : Пусть 7 х = у, тогда у 2 – 8у + 7=0 у 1 = 1; у 2 = 7; 7 х =1; х 1 = 0; 7 х = 7; х 2 = 1 Ответ:0;1 Приведение к квадратному уравнению

10 Вынесение общего множителя за скобки. 1.Пример 3 х+2 – 23 х = 63 Решение: В левой части равенства вынесем за скобки 3 в наименьшей из степеней – 3 x, 3 х+2 – 23 х = 63; 3 х ·(32–2) = 63; 3 х ·7 = 63; 3 х = 32; х = 2 Ответ: 2 2.Пример 5 2x 2x x 2x + 5 2x 2x – 1 = 31. выносим получим 5 2х 2х – 1 ( ) = 31 52х 52х – 1 31 = 52х 52х = 1 2х 2х – 1 = 0 х = Ответ:

11

Для самостоятельного решения 12 А. Г. Мордкович Задачник кл. стр. 134 Обязательный минимум: 40.1 (а, г), 40.2 (б, г) 40.3 (б, в), 40.5 (а, б) Средней сложности С 40.6 по 40.9 под буквами (а и б) 40.13(а, б) (а, б) Повышенной сложности С до по собственному выбору.

Уровень А Уровень СУровень В

14 Литература Ш. А. Алимов. Ю М. Колягин Алгебра и начала анализа 10 – 11кл М., просвещение 2006 г. Г. В. Дорофеев, Г. К. Муравин, е. А. Седова сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике (курс А ) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. Дрофа, 2004г А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа 10 – 11кл в 2-х частях М., Мнемозина 2009 г.

ЗАТО Северск 2007